モデル理論のソースを表示

{{Otheruses|数学の領域|数学および科学の他の分野における非形式的な概念|数理モデル}}
'''モデル理論'''（もでるりろん、[[英語|英]] : Model theory）は、[[数理論理学]]による手法を用いて[[数学的構造]]（例えば、[[群 (数学)|群]]、[[可換体|体]]、[[グラフ理論|グラフ]]、[[集合論]]の[[宇宙 (数学)|宇宙]]）を研究（分類）する[[数学]]の分野である。

モデル理論における研究対象は、[[形式言語]]の文に意味を与える{{仮リンク|構造 (数理論理学)|label=構造|en|Structure (mathematical logic)}}としての[[モデル (自然科学)|モデル]]である。もし言語のモデルがある特定の{{仮リンク|文 (数理論理学)|label=文|en|Sentence (mathematical logic)}}または{{仮リンク|理論 (数学)|label=理論|en|Theory (mathematics)}}（特定の条件を満足する文の集合）を満足するならば、それはその文または'''理論のモデル'''と呼ばれる。

モデル理論は[[代数学|代数]]および[[普遍代数学|普遍代数]]と関係が深い。

この記事では、無限構造の[[有限]][[一階述語論理|一階]]モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする[[有限モデル理論]]は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。[[ゲーデルの完全性定理|完全性]]は[[高階述語論理]]または[[無限論理]]において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。しかしながら、研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。

== 概要 ==
[[プログラム意味論]]において[[操作的意味論]]と[[表示的意味論]]があるように、[[数理論理学]]における（論理式の）操作的意味論に相当するものが[[証明論]]であるのに対し、'''モデル理論'''は同様の類推で表示的[[意味論 (論理学)|意味論]]に当たる。すなわち、前者は論理式の証明中での振る舞いを定めた形式的体系を研究するのに対して、後者は論理式の構成要素である記号に数学的対象（元、関数、関係等）を割り当てる解釈（モデル）を研究の対象とする。{{仮リンク|張晨鐘|label=Chang|en|Chen Chung Chang}}および{{仮リンク|ハワード・ジェローム・クライスラー|label=Keisler|en|Howard Jerome Keisler}} (1990) の一ページ目を引用すると：

:[[普遍代数学|普遍代数]] + {{仮リンク|構造 (数理論理学)|label=構造|en|Structure (mathematical logic)}} = '''モデル理論'''.

普遍代数学では（等号以外の）関係記号を備えず専ら関数記号のみを備える理論のモデル（代数）を考察対象とするのに対し、（一階述語論理の）モデル理論ではより一般に関係記号をも備えた理論のモデルを考察対象とするということである。モデル理論は1990年代に急速に発展し、より現代的な定義は{{仮リンク|ウィルフリッド・ホッジス|en|Wilfrid Hodges}} (1997) によって与えられた：

:'''モデル理論''' = [[代数幾何学]] − [[可換体|体]].

代数幾何学では主に[[代数的集合]]のような体上の[[定義可能集合]]を考察対象とするが、モデル理論では体に限らない一般のモデルにおける代数的集合をも考察対象とするということである。

モデル理論の不完全かつ幾分恣意的な下位区分として、古典モデル理論、[[群 (数学)|群]]および[[可換体|体]]への応用、および幾何学的モデル理論がある。ここに含まれていないものに{{仮リンク|計算可能モデル理論|en|Computable model theory}}があるが、これは論理学の独立した下位分野として見ることができると言っても良い。[[ゲーデルの完全性定理]]を含む古典モデル理論初期の定理の例は、上方および下方[[レーヴェンハイム-スコーレムの定理]]、{{仮リンク|ロバート・ローソン・ヴォート|label=ヴォート|en|Robert Lawson Vaught}}の two-cardinal 定理、[[デイナ・スコット|スコット]]の同形定理、タイプ排除定理 (omitting types theorem) 、そして{{仮リンク|リル＝ナルゼウスキの定理|en|Omega-categorical theory}}がある。モデル理論が体へ応用された初期の結果の例は、[[アルフレト・タルスキ|タルスキ]]の[[実閉体]]についての{{仮リンク|量化記号消去法|en|Quantifier elimination}}、疑有限体 (pseudo finite field) 上の{{仮リンク|ジェームズ・アックス|label=アックス|en|James Ax}}の定理、そして[[アブラハム・ロビンソン|ロビンソン]]の[[超準解析]]の開発がある。古典モデル理論の発展において、{{仮リンク|安定理論|en|Stable theory}}の誕生が（非可算カテゴリー論 [uncountably categorical theory] 上の{{仮リンク|Morleyの範疇性定理|en|Morley's categoricity theorem}}および[[サハロン・シェラハ|シェラハ]]の分類プログラムを通して）重要なステップとなった。この安定理論は、理論が満たす構文条件<!-- 統語論的条件 -->に基づく[[:en:Morley rank|ランク]]と[[独立性 (数理論理学)|独立性]]の算法<!-- 部分積分？ -->を発展させた。この数十年で、応用モデル理論はより純粋な安定理論と繰り返し融合してきた。この合成の結果は、この記事では幾何学的モデル理論と呼ばれている。幾何学的モデル理論は、古典幾何学的安定理論と同じく、例えば{{仮リンク|o-minimality|en|o-minimal theory}}を含むために利用されている。幾何学的モデル理論の例は、[[代数多様体の函数体|関数体]]についての{{仮リンク|Mordell–Lang予想|en|Glossary of arithmetic and Diophantine geometry#M}}の[[エウド・フルショフスキー|フルショフスキー]]による証明がある。幾何学的モデル理論の目標は、純粋なモデル理論の研究において実際に開発されたツールによって、さまざまな[[数学的構造]]における[[定義可能集合]]の詳細な研究を行い、''数学の地理学''を提供することである。

== 例 ==
非自明なモデルの文脈における[[統語論]]および[[意味論 (論理学)|意味論]]を含む基本的な関係を説明するために、統語論側で[[ペアノの公理]]のような[[自然数]]についての適切な[[公理]]とその関連する理論から始めることができる。意味論側では、通常の連続数がモデルを構成する。1930年代、[[トアルフ・スコーレム|スコーレム]]はその公理を満たす別のモデル（[[算術の超準モデル]]）を開発した。これはある特定のモデルにおいて、言語または理論を{{仮リンク|解釈 (論理学)|label=解釈|en|Interpretation (logic)}}することによって何を意味するのかを説明する。より伝統的な例は、ある群によって与えられたモデルの文脈において、群のような特定の[[代数系]]の公理を解釈することである。

== 普遍代数 ==
{{main|普遍代数学}}

普遍代数の根本的な概念は{{仮リンク|シグネチャ (論理学)|label=シグネチャ|en|Signature (logic)}} σ および σ-代数である。これらの概念は{{仮リンク|構造 (数理論理学)|label=構造|en|Structure (mathematical logic)}}の記事において詳細に定義されている。

== 有限モデル理論 ==
{{main|有限モデル理論}}

有限モデル理論は、[[普遍代数学|普遍代数]]と密接に関連しているモデル理論の領域である。普遍代数のいくつかの領域と同様に、またモデル理論の他の領域と反対に、有限モデル理論は主に[[有限集合|有限]]代数またはより一般的にはシグネチャ σ の有限 σ-{{仮リンク|構造 (数理論理学)|label=構造|en|Structure (mathematical logic)}}を対象としている。

== 一階述語論理 ==
{{main|一階述語論理}}

[[#普遍代数|普遍代数]]が{{仮リンク|シグネチャ (論理学)|label=シグネチャ|en|Signature (logic)}}の[[意味論 (論理学)|意味論]]を与える一方、[[数理論理学|論理]]は[[統語論]]を与える。[[恒等式]]および{{仮リンク|疑恒等式|en|Quasiidentity}}の項とともに、普遍代数はいくつかの限定的な統語論のツールも利用している。例えば、一階述語論理は[[量化]]を明確にし[[否定]]を取り入れた結果である。

== 公理化可能性、量化記号消去、およびモデル完全性 ==
モデル理論を群のような（[[グラフ理論]]においては[[木 (数学)|木]]のような）[[数学的対象]]のクラスへ応用する最初のステップは、多くの場合は自明であるが、シグネチャ σ を選択することおよびその数学的対象を σ-構造で表現することである。次のステップは、そのクラスが{{仮リンク|初等クラス|en|Elementary class}}、すなわち、一階述語論理における公理化可能である（すなわち、σ-構造が理論''T''を満足する場合のみ、クラス内にそのσ を含むような理論''T'' が存在する）ことを示すことである。例えば、このステップは木では失敗する、[[連結空間|連結性]]が一階述語論理内で表現できないためである。公理化可能性は、モデル理論が正当な対象について語ることができるのを保証する。量化記号消去法は、モデル理論がその対象について多くのことを言い過ぎないようにすることを保証する。理論 ''T'' は、''T'' におけるすべてのモデルの{{仮リンク|部分構造 (数学)|label=下位構造|en|Substructure (mathematics)}}（これもモデルである）が[[初等部分構造|初等下位構造]]なら{{仮リンク|モデル完全|en|Model-complete}}と呼ばれる。

== 範疇性 ==
[[#一階述語論理|一階述語論理]]の節で見られたように、一階理論は範疇的でありえない。すなわち、一階述語論理は[[同型写像|同形]]なある一意なモデルを、そのモデルが有限でない限り記述することができない。しかし、二つの有名なモデル理論に関する定理は[[基数]]κ についての κ-範疇性のより弱い概念を扱うことができる。もし[[濃度 (数学)|濃度]]がκ である理論''T''の二つのモデルが同形であるならば, ''T'' は'''κ-範疇的'''と呼ばれる。κ-範疇性の疑問は、κ がその言語の濃度よりも大きいかどうか（すなわち、<math>\aleph_0</math>&nbsp;+&nbsp;|σ|, ここで |σ| はシグネチャの濃度）に決定的に依存していることが分かる。有限または可算のシグネチャについて、これは非可算のκ についての<math>\aleph_0</math>-濃度と κ-濃度の間に根本的な相違があることを意味している。

== モデル理論と集合論 ==
[[集合論]]（これは[[可算集合|可算]]言語において表現されている）は可算モデルをもつ。すなわち、非可算集合の存在を仮定している集合論の文が可算モデルにおいても真であることから、これは{{仮リンク|スコーレムのパラドックス|en|Skolem's paradox}}として知られている。特に、[[連続体仮説]]の[[独立性 (数理論理学)|独立性]]の証明はモデル''内''から見たとき非可算として現れるがモデル''外''から見たとき可算となるような集合をモデルの対象として必要とする。

モデル理論的な観点は[[集合論]]にとって有用である。例えば、[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]が[[ポール・コーエン (数学者)|コーエン]]により開発された[[強制法]]を用いて行った[[構成可能集合]]に対する仕事によって、（哲学的に興味深い）[[選択公理]]の[[独立性 (数理論理学)|独立性]]および集合論の他の公理からの[[連続体仮説]]を証明することができる。

== モデル理論のその他の基礎概念 ==
=== 縮小と拡大 ===
{{main|[[:en:Reduct]]}}

=== 解釈可能性 ===
{{main|[[:en:Interpretation (model theory)]]}}

=== コンパクト性定理と完全性定理の使用 ===
[[ゲーデルの完全性定理]]は、ある理論が[[無矛盾]]である、すなわちその理論によって矛盾が生じない場合だけ、その理論はモデルを持つこと述べている。これはモデル理論の核心であり、モデルを見ることで理論についての疑問に答えることができ、逆も同様である。理論の完全性を{{仮リンク|完全理論|en|Complete theory}}と混同しないこと。

[[コンパクト性定理]]は、もし文S のすべての有限部分集合が[[充足可能性問題|充足可能]]なら文S の集合は充足可能であることを述べている。[[証明論]]の文脈においては、すべての証明が持つことのできる証明において用いられる{{仮リンク|前件|en|Antecedent (logic)}}の数は有限なので、類似の言明は自明である。モデル理論の文脈では、しかしながら、この証明はより困難となる。この証明には二つのよく知られたものがある。一つは[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]によるもの（複数の証明を経由して行われた）で、もう一つが{{仮リンク|アナトリー・マルチェフ|label=マルチェフ|en|Anatoly Ivanovich Malcev}}によるもの（これはより直接的で結果として生じるモデルの濃度を制限することができる）である。

モデル理論は通常、[[一階述語論理]]と結びついており、（完全性やコンパクト性のような）多くの重要な結果は[[二階述語論理]]や他の代わりの理論では成り立たない。一階述語論理では、すべての無限濃度は[[可算集合|可算]]である言語にとっては同じに見える。これは[[レーヴェンハイム-スコーレムの定理]]において次のように表現されている。無限モデル<math>\mathfrak{A}</math>（少なくともその言語の無限モデル）を持つ全ての可算理論は、全ての文において<math>\mathfrak{A}</math>と一致する全ての無限濃度のモデルを持つ、すなわちそれらは'[[初等同値性|初等同値]]'である。

=== 型 ===
{{Main|[[:en:Type (model theory)]]}}

== 初期の歴史 ==
主題としてのモデル理論はおおよそ二十世紀の中頃から存在している。しかしながら、特に[[数理論理学]]においてそれ以前から研究されていたいくつかの理論はモデル理論的な性質を持っていたと考えることができる。モデル理論の系譜における最初の顕著な成果は{{仮リンク|レオポールト・レーヴェンハイム|en|Leopold Löwenheim}}により1915年に発表された下方[[レーヴェンハイム-スコーレムの定理]]の特別な事例である。[[コンパクト性定理]]は、[[トアルフ・スコーレム]]による仕事において萌芽が見られるが<ref>''Vaught、van HeijenoortおよびDrebenの三人の解説者はみな、コンパクト性およびコンパクト性定理が Skolem (1923) の中に暗に示されていることを認めている [...],'' Dawson (1993).</ref>、[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]の[[ゲーデルの完全性定理|完全性定理]]の証明中の[[補題]]として1930年に初めて発表された。レーヴェンハイム-スコーレムの定理およびコンパクト性定理は1936年および1941年に{{仮リンク|アナトリー・モルツェフ|label=モルツェフ|en|Anatoly Maltsev}}によって一般的な形で形式化された。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
=== 標準的教科書 ===
* {{Cite book | last1=[[Chen Chung Chang|Chang]] | first1=Chen Chung | last2=Keisler | first2=H. Jerome | author2-link=Howard Jerome Keisler | title=Model Theory | origyear=1973 | publisher=Elsevier | edition=3rd | series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics | isbn=978-0-444-88054-3 | year=1990 | postscript=<!--None-->}}
* {{Cite book | last1=Hodges | first1=Wilfrid | author1-link=Wilfrid Hodges | title=A shorter model theory | publisher= [[Cambridge University Press]]| location=Cambridge | isbn=978-0-521-58713-6 | year=1997 | postscript=<!--None-->}}
* {{ cite book | last=Marker | first=David | title= Model Theory: An Introduction | publisher=Springer | year=2002 | isbn=0-387-98760-6| series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 217}}
* 板井昌典：「モデル理論」、森北出版、ISBN 978-4-627-08361-5 (2023年2月).

=== 参考書 ===
* {{ cite book | last=Bell | first=John L. | coauthors=Slomson, Alan B. | year=2006 | title=Models and Ultraproducts: An Introduction | edition=reprint of 1974 | origyear=1969 | publisher=[[Dover Publications]] | isbn=0-486-44979-3 }}
* {{ cite book | last=Ebbinghaus | first=Heinz-Dieter | coauthors=Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | title=Mathematical Logic | year=1994 | isbn= 0-38794258-0}}
* {{ cite book | author = Hinman, Peter G. | title = Fundamentals of Mathematical Logic | publisher = [[A K Peters, Ltd.|A K Peters]] | year = 2005 | isbn = 1-568-81262-0}}
* {{ cite book | last=Manzano | first=Maria | authorlink=Maria Manzano | publisher=[[Alianza editorial]] | title=Teoria de modelos | year=1989 | isbn=84-206-8126-1 }}
* {{ cite book | last=Hodges | first=Wilfrid | authorlink=Wilfrid Hodges | publisher=[[Cambridge University Press]] | title=Model theory | year=1993 | isbn=0-521-30442-3 }}
* {{ cite book | last=Manzano | first=Maria | authorlink=Maria Manzano | publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] | title=Model theory | year=1999 | isbn=0-19-853851-0 }}
* {{ cite book | last=Poizat | first=Bruno | publisher=Springer | title=A Course in Model Theory | year=2000 | isbn=0-387-98655-3 }}
* {{cite book | last=Rautenberg | first=Wolfgang | doi=10.1007/978-1-4419-1221-3 | title=A Concise Introduction to Mathematical Logic | url=http://www.springerlink.com/content/978-1-4419-1220-6/ | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=[[ニューヨーク|New York]] | edition=3rd | isbn=978-1-4419-1220-6 | year=2010 }}
* {{ cite book | last=Rothmaler | first=Philipp | title=Introduction to Model Theory | publisher=[[Taylor and Francis|Taylor & Francis]] | year=2000 | edition=new | isbn=9056993135 }}

=== オンラインテキスト ===
* {{ cite book | last=Chatzidakis | first=Zoe | year=2001 | title=Introduction to Model Theory | pages=26 pages in [[Device independent file format|DVI]] format | url=http://www.logique.jussieu.fr/~zoe/papiers/MTluminy.dvi }}
* {{ cite book | last=Pillay | first=Anand | title=Lecture Notes – Model Theory | year=2002 | url=http://www.math.uiuc.edu/People/pillay/lecturenotes_modeltheory.pdf | pages=61 pages }}
* [[Wilfrid Hodges|Hodges, Wilfrid]], ''[http://plato.stanford.edu/entries/modeltheory-fo/ First-order Model theory]''. The Stanford Encyclopedia Of Philosophy, E. Zalta (ed.).
* Simmons, Harold (2004), ''[http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/BOOKS/ModelTheory.pdf An introduction to Good old fashioned model theory]''. Notes of an introductory course for postgraduates (with exercises).
* J. Barwise and S. Feferman (editors), [http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235417263 Model-Theoretic Logics], Perspectives in Mathematical Logic, Volume 8, New York: Springer-Verlag, 1985.

== 関連項目 ==
{{col-begin}}
{{col-break}}
* [[:en:Axiomatizable class|公理化可能クラス]]
* [[:en:Compactness theorem|コンパクト性定理]]
* [[記述計算量]]
* [[:en:Elementary equivalence|初等同値]]
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* [[:en:List of first-order theories|一階理論]]
* [[強制法]]
* [[超実数]]
* [[:en:Institutional model theory|制度モデル理論]]
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* [[:en:Kripke semantics|クリプキ意味論]]
* [[レーヴェンハイム-スコーレムの定理]]
* [[証明論]]
* [[:en:Saturated model|飽和モデル]]
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{{Logic}}

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