モノイド環のソースを表示
←
モノイド環
ナビゲーションに移動
検索に移動
あなたには「このページの編集」を行う権限がありません。理由は以下の通りです:
この操作は、次のグループに属する利用者のみが実行できます:
登録利用者
。
このページのソースの閲覧やコピーができます。
[[抽象代数学]]における'''モノイド環'''（モノイドかん、{{lang-en-short|''monoid ring''}}）あるいは'''モノイド多元環'''（モノイドたげんかん、{{lang-en-short|''monoid algebra''}}; モノイド代数）は、（[[単位的環|単位的]]）[[環 (数学)|環]]とモノイドから構成される単位的[[環上の多元環|多元環]]で、[[多項式環]]の概念を一般化するものである。 実際、環 {{mvar|R}} 上の一変数多項式環 {{math|''R''[''x'']}} は {{mvar|R}} と（{{math|0}} を含む）[[自然数]]全体の成す（加法的）モノイド {{math|'''N'''}} （あるいは適当な[[不定元]] {{mvar|x}} を用いて乗法的に書いた可換モノイド {{math|{{mset|''x''<sup>''n''</sup> | ''n'' ∈ '''N'''}}}}）から得られるモノイド環 {{math|''R''[{{mset|''x''<sup>''n''</sup>}}]}} であり、同様に（加法）モノイド {{math|'''N'''<sup>''n''</sup>}} は {{mvar|n}}-変数の多項式環 {{math|''R''['''N'''<sup>''n''</sup>] {{=}}: ''R''[X<sub>1</sub>, …, X<sub>''n''</sub>]}} を与える。 与えられたモノイドがさらに[[群 (数学)|群]]を成すとき、得られるモノイド環は[[群環]]と呼ばれる。 == 定義 == {{mvar|R}} を環とし {{mvar|G}} をモノイドとする。以下の二つは本質的に同じ構造を定める。 {{ordered list |1= {{mvar|G}} の {{mvar|R}} 上の'''モノイド環''' {{math|''R''[''G'']}}（あるいは {{mvar|RG}} とも書く）は、{{mvar|G}} の元からなる {{mvar|R}}-係数の「形式和」全体の成す集合 : <math>R[G] := \left\{\sum_{g \in G} r_g\,g \mid r_g \in R,\, r_g=0\text{ for all but finitely many }g\in G\right\}</math> を台集合とする。ここで右辺は各 {{math|''g'' ∈ ''G''}} に対して {{math|''r{{ind|g}}'' ∈ ''R''}} であり、かつ[[補有限|有限個を除くすべて]]の {{mvar|g}} に対して {{math|''r''<sub>''g''</sub> {{=}} 0}} となるような和を元とする集合を意味するものである。環としての演算はこの台集合上に、加法は{{仮リンク|点ごとの和|en|pointwise addition|label=係数ごとの和}}で入れて、乗法は（{{mvar|R}} と {{mvar|G}} とが元ごとに可換となるものとして）{{mvar|G}} における積を線型に拡張する。 |2= {{math|''R''[''G'']}} は写像 {{math|φ: ''G'' → ''R''}} でその[[関数の台|台]] {{math|supp(''φ'') {{=}} {{mset|''g'' | φ(''g'') ≠ 0}}}} が[[有限集合|有限]]となるもの全体の成す集合 : <math>R[G] := \{\varphi\colon G \to R \mid |\operatorname{supp}(\varphi)|<\infty\}</math> で、写像の{{仮リンク|点ごとの加法|en|pointwise addition|label=通常の加法}}と[[畳み込み]] : <math> (\phi \psi)(g) = \sum_{k\ell=g} \phi(k) \psi(\ell)</math> を乗法として持つ環として定義できる<ref group="注">ここで {{mvar|''g'' ∈ ''G''}} において {{math|''r'' ∈ ''R''}}, それ以外のとき {{math|0 ({{=}} 0{{ind|''R''}})}} となる写像 {{math|φ ∈ ''R''[''G'']}} を {{math|φ {{=}} ''r'' ⋅ ''g'' {{=}} ''rg''}} のように書くものとすれば、上記の形式和としての定義がその演算をも含めて回復される。例えば {{math|''r'', ''s'' ∈ ''R''}}, {{math|''g'', ''h'' ∈ ''G''}} に対して {{math|(''r''⋅''g'')(''s''⋅''h'') {{=}} (''rs'')⋅(''gh'')}} などが確認できる。</ref>。 }} 言い方を変えれば、前者の「形式和」の意味は後者の写像として理解される。<ref group="注">より厳密には、{{math|''x'' {{=}} ∑{{ind|''g''}} ''r''{{ind|''g''}}⋅''g''}} および {{math|''φ'': ''G'' → ''R''}} に対して、[[双対対|内積]] {{math|(''x'', ''φ'') :{{=}} ∑{{ind|''g''}} ''r''{{ind|''g''}}''φ''(''g'') ∈ ''R''}} に関する意味で、形式和の集合 {{math|''R''[''G'']}} と写像空間 {{mvar|''R''{{msup|''G''}}}} は「双対」の関係にある。</ref> * {{math|''R''[''G'']}} は環として[[単位的環|単位的]]である。実際、{{mvar|R}} の乗法単位元 {{math|1}} と {{mvar|G}} の単位元 {{mvar|e}} に対して、{{math|1⋅''e'' ∈ ''R''[''G'']}} は上記乗法の単位元を与える。 * {{math|''R''[''G'']}} が環として可換となるのは、{{mvar|G}} が可換モノイドであるときである。 * '''[[係数環の変更]]''': 環 {{mvar|A, B}} とその間の環準同型 {{math|''f'': ''A'' → ''B''}} に対して、モノイド環の間の準同型 {{math|''F'': ''A''[''G''] → ''B''[''G'']}} が {{math|(''Fφ'')(''g'') :{{=}} ''f''(''φ''(''g''))}}（形式和で書けば {{math|''F''(∑ ''r''{{msub|''g''}}⋅''g'') :{{=}} ∑ ''f''(''r''{{msub|''g''}})⋅''g''}}）とおくことにより一意的に定まる。 {{math|''r'' ∈ ''R''}} に対して元ごとのスカラー倍 : <math> (r\phi)(g) := r(\phi(g))\qquad \left(r\sum_g r_g\cdot g := \sum_g (rr_g)g\right)</math> を定義して {{math|''R''[''G'']}} は {{mvar|R}} 上の[[環上の多元環|多元環]]になる。 == 普遍性 == 環 {{mvar|R}} とモノイド {{mvar|G}} が与えられると、各 {{mvar|r}} を {{math|''r''⋅1}} （{{math|1 {{=}} 1{{ind|''G''}}}} は {{mvar|G}} の単位元）に送る[[環準同型]] {{math|''α'': ''R'' → ''R''[''G'']}} と、各 {{mvar|g}} を {{math|1⋅''g''}} （{{math|1 {{=}} 1{{ind|''R''}}}} は {{mvar|R}} の乗法単位元）に送る{{仮リンク|モノイド準同型|en|monoid homomorphism}} {{math|''β'': ''G'' → ''R''[''G'']}} （{{math|''R''[''G'']}} は乗法によりモノイドと見る）が存在するという意味で {{mvar|R}} と {{mvar|G}} は {{math|''R''[''G'']}} に標準的に埋め込めて、任意の {{math|''r'' ∈ ''R''}} と {{math|''g'' ∈ ''G''}} に対して {{math|''α''(''r'')}} と {{math|''β''(''g'')}} は常に可換となる。このとき、モノイド環の普遍性とは次のように述べられる。 ; モノイド環の普遍性 : 任意の環 {{mvar|S}} について、環準同型 {{math|''α′'': ''R'' → ''S''}} およびモノイド準同型 {{math|''β′'': ''G'' → ''S''}} （''S'' は乗法についてモノイドと見る）の組で {{math|''α′''(''r'')}} と {{math|''β′''(''g'')}} {{math|(''r'' ∈ ''R'', ''g'' ∈ ''G'')}} が常に可換となるものが与えられるならば、環準同型 {{math|''γ'': ''R''[''G''] → ''S''}} で {{math|''γ'' ∘ ''α'' {{=}} ''α′''}} かつ {{math|''γ'' ∘ ''β'' {{=}} ''β′''}} を満たすものが一意的に存在する。 [[圏論]]的に述べれば、モノイドの圏 {{math|'''Mon'''}} と結合的 {{mvar|R}}-多元環の圏 {{math|''R''-'''Alg'''}} に対して、[[函手]] {{math|''U'': ''R''-'''Alg''' → '''Mon'''}} を環にその乗法モノイドを対応させるものとすれば、標準的な埋め込み {{math|''G'' → ''U''(''R''[''G'']); ''g'' ↦ 1⋅''g''}} が普遍である。即ち {{mvar|''R''}}-多元環 {{mvar|A}} と任意のモノイド準同型 {{math|''f'': ''G'' → ''U''(''A'')}} に対し {{math|''F''({{sum| }}''r''{{msub|''g''}}⋅''g'') {{=}} {{sum| }}''r''{{msub|''g''}}⋅''f''(''g'')}} となる {{mvar|F}} が一意に定まる。別な言い方をすれば、モノイドにモノイド環を対応させる函手は {{mvar|''U''}} の[[随伴函手|左随伴]]である。 ==添加== '''添加''' (augmentation) とは次で定義される環準同型 {{nowrap|''η'': ''R''[''G''] → ''R''}} である： : <math> \eta(\sum_{g\in G} r_g g) = \sum_{g\in G} r_g.</math> ''η'' の[[核 (代数学)|核]]は'''添加イデアル''' (augmentation ideal) と呼ばれる。これは[[自由加群|自由]] ''R'' [[環上の加群|加群]]で、すべての 1 ≠ ''g'' ∈ ''G'' に対する 1 − ''g'' からなる基底を持つ。 ==一般化== * {{mvar|G}} が[[半群]]であれば、同じ構成により'''半群環''' (semigroup ring) ''R''[''G''] が生じる。モノイド環は必ず単位的となるが、半群環は（半群に単位元の存在が必ずしも言えないから）そうでない。 {{mvar|A}} は環、{{mvar|G}} は[[全順序群]]、すなわち {{math|α < β かつ γ < δ ならば αγ < βδ}} を満たす群とするとき、 : {{math|''S''(''G'',''A'') :{{=}} {{mset|''f'': ''G'' → ''A'' | supp(''f'') が整列集合}}}} と置けば、{{math|''S''(''G'',''A'')}} は畳み込み積を乗法、成分ごとの和を加法として環を成す。{{mvar|A}} が[[可換体|体]]のとき {{math|''S''(''G'',''A'')}} は[[可除環]]になる。例えば {{math|''G'' {{=}} '''Z'''}} を整数の通常の大小関係を順序とする全順序群とすれば、得られる環 {{math|''S''('''Z''',''A'')}} は {{mvar|A}}-係数[[形式ローラン級数]]環である。 == 注釈 == {{reflist|group="注"}} == 参考文献 == {{reflist}} *{{cite book | first = Serge | last = Lang | authorlink=Serge Lang | title = Algebra | publisher = [[Springer-Verlag]] | location = New York | year = 2002 | edition = Rev. 3rd | series = [[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=211 | isbn=0-387-95385-X}} == 関連文献 == * R. Gilmer. ''Commutative semigroup rings''. University of Chicago Press, Chicago–London, 1984. ==関連項目== * [[自由代数]] == 外部リンク == * {{MathWorld|urlname=SemigroupAlgebra|title=SemigroupAlgebra|author=Barile, Margherita.}} * {{SpringerEOM|urlname=Semi-group_algebra|title=Semi-group algebra}} {{DEFAULTSORT:ものいとかん}} [[Category:環論]] [[Category:数学に関する記事]]
このページで使用されているテンプレート:
テンプレート:Cite book
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Lang-en-short
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Math
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:MathWorld
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Mvar
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Nowrap
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Ordered list
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Reflist
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:SpringerEOM
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:仮リンク
(
ソースを閲覧
)
モノイド環
に戻る。
ナビゲーション メニュー
個人用ツール
ログイン
名前空間
ページ
議論
日本語
表示
閲覧
ソースを閲覧
履歴表示
その他
検索
案内
メインページ
最近の更新
おまかせ表示
MediaWiki についてのヘルプ
特別ページ
ツール
リンク元
関連ページの更新状況
ページ情報