モンスター群のソースを表示

{{About|散在型単純群のうち最大のもの|タルスキのモンスター群と呼ばれる無限群|{{仮リンク|タルスキのモンスター群|en|Tarski monster group}}}}
{{Groups}}

群論という現代代数学の分野において、'''モンスター群'''（モンスターぐん、{{lang-en-short|Monster group}}）{{mvar|M}} とは最大の{{仮リンク|散在型単純群|en|sporadic groups}}であり、その[[位数 (群論)|位数]]は
:{{math|1=  2{{sup|46}} ⋅ 3{{sup|20}} ⋅ 5{{sup|9}} ⋅ 7{{sup|6}} ⋅ 11{{sup|2}} ⋅ 13{{sup|3}} ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71}}
:{{math|1== 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000}}
:{{math|1=≈ 8{{e|53}}}}
である。'''{{仮リンク|Bernd Fischer (mathematician)|label=フィッシャー|en|Bernd Fischer (mathematician)}}・{{仮リンク|Robert Griess|en|Robert Griess|label=グリース}}モンスター'''あるいは '''Friendly Giant''' と呼ばれることもある。

[[有限群|有限]][[単純群|単純]][[群 (数学)|群]]は完全に[[有限単純群の分類|分類]]されている。そのような群は18種類の[[可算集合|可算]]無限族の1つに属するか、あるいはそのような系統的なパターンに従わない26個の散在群の1つである。モンスター群は他の散在群のうち6個を除くすべてを{{仮リンク|部分商|en|subquotient}}として含む。{{仮リンク|ロバート・グリース|en|Robert Griess}} (Robert Griess) はこれら6個の例外を {{仮リンク|Pariah group|en|Pariah group|label=pariahs}} と呼び、他の20個を ''happy family'' と呼んでいる。

モンスターの良い構成的定義をすることはその複雑さのため難しい。

==歴史==
モンスターは{{仮リンク|ベルンド・フィシャー|en|Bernd Fischer (mathematician)}}（Bernd Fischer, 未発表，1973年頃）と {{harvs|txt|authorlink=Robert Griess|first=Robert|last= Griess|year=1976}} によって，フィッシャーの{{仮リンク|ベビーモンスター群|en|baby monster group}}の{{仮リンク|二重被覆群|label=二重被覆|en|double covering group}}をある[[対合]]の[[中心化群]]として含む単純群として予言された．数か月のうちにグライス (Griess) により {{math|M}} の位数が{{仮リンク|トンプソンの位数公式|en|Thompson order formula}}を用いて計算され，フィシャー，コンウェイ (Conway)，ノートン (Norton)，トンプソンは既知の散在群の多くと新しい2つを含む，他の群を部分商として発見した．新しい2つは，{{仮リンク|トンプソン群 (有限)|label=トンプソン群|en|Thompson group (finite)}}と{{仮リンク|原田・ノートン群|en|Harada–Norton group}}である．モンスターの[[指標理論|指標表]]は，194行194列からなるが，1979年にフィッシャーとドナルド・リヴィングストーン (Donald Livingstone) によって，マイケル・ソーン (Michael Thorne) によって書かれたコンピュータプログラムを用いて計算された．1970年代にはモンスターが実際に存在することははっきりしていなかった．{{harvtxt|Griess|1982}} は {{math|M}} を，{{math|196,884}}次元の可換[[非結合環]]である{{仮リンク|グリース代数|en|Griess algebra}}の[[自己同型群]]として構成した．彼は彼の構成を最初に Ann Arbor Jan. 14, 1980 に発表した．彼は1982年の論文でモンスターを Friendly Giant と呼んだが，この名前は一般には受け入れられていない．{{harvs|txt|authorlink=John Horton Conway|first=John |last=Conway|year=1985}} と {{harvs|txt|authorlink=Jacques Tits|first=Jacques|last=Tits|year1=1984|year2=1985}} は続いてこの構成を単純化した．

グリースの構成はモンスターの存在を示した．{{harvs|txt|authorlink=John G. Thompson|last=Thompson|year=1979}} は（有限単純群の分類から来るいくつかの条件を満たす単純群としての）その一意性が {{math|196,883}} 次元の[[忠実表現]]の存在から従うことを示した．そのような表現の存在の証明は {{harvs|txt|authorlink=Simon P. Norton|last=Norton|year=1985}} により発表されたが，彼は詳細を出版することはなかった．{{harvtxt|Griess|Meierfrankenfeld|Segev|1989}} はモンスターの一意性の初めての完全な出版された証明を与えた（正確には，彼らはモンスターと同じ対合の中心化群を持つ群はモンスターと同型であることを示した）．

モンスターは散在型単純群の発展の全盛であり，以下の3つの部分商のうちどの2つからも構成できる：{{仮リンク|フィッシャー群|en|Fischer group}} {{math|Fi<sub>24</sub>}}, {{仮リンク|ベビー・モンスター|en|Baby Monster}}，{{仮リンク|コンウェイ群|en|Conway group}} {{math|Co<sub>1</sub>}}.

モンスターの{{仮リンク|シューア乗数|en|Schur multiplier}}と{{仮リンク|外部自己同型群|en|outer automorphism group}}はともに[[自明群]]である．

==表現==
忠実な複素表現の最小次数は {{math|196,883}} であり，これは {{math|M}} の位数の最も大きい[[素因数]]3つの積である．任意の体上の最小忠実線型表現は2元体上 {{math|196,882}} 次元であり，最小忠実複素表現の次元より {{math|1}} 小さいだけである．

モンスターの最小忠実置換表現は {{math|2<sup>4</sup> ⋅ 3<sup>7</sup> ⋅ 5<sup>3</sup> ⋅ 7<sup>4</sup> ⋅ 11 ⋅ 13<sup>2</sup> ⋅ 29 ⋅ 41 ⋅ 59 ⋅ 71}} 点（およそ {{math|10{{sup|20}}}} 点）上のものである．

モンスターは[[有理数]]体上の[[ガロワ群]]や{{sfn|Thompson|1984|loc=p. 443}}，{{仮リンク|フルヴィッツ群|en|Hurwitz group}}{{sfn|Wilson|2004}}として実現できる．

モンスターは単純群の中でもその元を表す易しい方法が知られていないという点で異例である．これは「小さい」表現が存在しないことに関して，その大きさが主な原因というわけではない．例えば，単純群 {{math|''A''<sub>100</sub>}} や {{math|SL<sub>20</sub>(2)}} ははるかに大きいが，「小さい」置換あるいは線型表現を持つから計算するのは易しい．交代群は群の大きさに比べて「小さい」置換表現を持ち，リー型のすべての有限単純群は群の大きさに比べて「小さい」線型表現を持つ．モンスター以外のすべての散在群もまたコンピュータで容易に計算できる十分小さい線型表現を持つ（モンスターの次に難しいのはベビー・モンスターであり，4370次元の表現を持つ）．

=== コンピュータによる構成 ===
{{仮リンク|ロバート・アーノット・ウィルソン|label=ロバート・A・ウィルソン|en|Robert Arnott Wilson}} (Robert A. Wilson) は（コンピュータの助けを借りて）モンスター群を生成する2つの（[[有限体|2元体]]を係数とする）196,882 次行列を明示的に見つけた．これは標数 0 の 196,883 次元表現よりも 1 次元低い．これらの行列で計算を実行することは可能だが，そのような行列はそれぞれ 4.5 ギガバイト以上を占めるので，時間と容量の点であまりにも高くつく．

ウィルソンはモンスターの最良の記述は「{{仮リンク|モンスター頂点代数|en|monster vertex algebra}}の自己同型群である」ということだと主張する．しかしこれはそれほど助けにはならない，なぜならば誰も「モンスター頂点代数の本当に単純で自然な構成」を発見していないからである<ref>[http://www.ams.org/notices/200209/what-is.pdf ''What is… The Monster?''] by [[Richard Borcherds|Richard E. Borcherds]], Notices of the [[American Mathematical Society]], October 2002 1077</ref>．

ウィルソンは共同研究者とともに大幅にはやくモンスターについての計算を実行する手法を発見した．{{mvar|V}} を2元体上の 196,882 次元ベクトル空間とする．モンスターの大きい部分群 {{mvar|H}}（望ましくは極大部分群）は計算の実行が容易なように選ばれる．選ばれる部分群 {{mvar|H}} は {{math|3{{sup|1+12}}.2.Suz.2}} である，ただし {{math|Suz}} は{{仮リンク|鈴木群|en|Suzuki group (mathematics)}}である．モンスターの元は {{mvar|H}} の元とある余分な生成元 {{mvar|T}} の語として保存される．{{mvar|V}} のベクトルへのこれらの語の1つの作用を計算することはそれなりにはやい．この作用を用いて（モンスターの元の位数のような）計算を実行することが可能である．ウィルソンは joint stabilizer が自明群となるベクトル {{mvar|u}}, {{mvar|v}} を見つけた．したがって（例えば）モンスターの元 {{mvar|g}} の位数を，{{math|1=''g''<sup>''i''</sup>''u'' = ''u''}} かつ {{math|1=''g''<sup>''i''</sup>''v'' = ''v''}} なる最小の {{math|''i'' &gt; 0}} を見つけることによって計算できる．

（異なる標数における）同じ構成や類似の構成がその局所的でない極大部分群のいくつかを見つけるために用いられている．

== 月光現象 ==
モンスター群はコンウェイ (Conway) とノートン (Norton) による[[モンストラス・ムーンシャイン]]予想の2つの主要な要素の1つである．予想は離散数学と非離散数学を関係づけるもので，[[リチャード・ボーチャーズ]] (Richard Borcherds) によって1992年に最終的に証明された．

この設定において，モンスター群は，{{仮リンク|モンスター加群|en|monster module}}という，グリース代数を含む無限次元の{{仮リンク|頂点作用素代数|en|vertex operator algebra}}の自己同型群として見ることができ，[[一般カッツ・ムーディ代数]]{{仮リンク|モンスター・リー環|en|Monster Lie algebra}}に作用する．

== マッケイの {{math|E<sub>8</sub>}} observation ==
モンスターと拡張[[ディンキン図形]] <math>\tilde E_8</math> の間にも関係がある．具体的には図形の頂点とモンスターの共役類との関係であり，''McKay's {{math|E<sub>8</sub>}} observation'' と呼ばれる<ref>[http://arxiv4.library.cornell.edu/abs/0810.1465 Arithmetic groups and the affine E<sub>8</sub> Dynkin diagram] {{webarchive|url=https://archive.is/20120713025510/http://arxiv4.library.cornell.edu/abs/0810.1465 |date=2012年7月13日 }}, by John F. Duncan, in ''Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay''</ref><ref name="monster">{{citation | last = le Bruyn | first = Lieven | title = the monster graph and McKay's observation | url = http://www.neverendingbooks.org/the-monster-graph-and-mckays-observation | date = 22 April 2009 }}</ref>．するとこれは拡張図形 <math>\tilde E_6, \tilde E_7, \tilde E_8</math> と群 {{math|3.''Fi''<sub>24</sub>&prime;}}, {{math|2.''B''}}, {{mvar|M}} の間の関係に拡張される．ここでこれらの群は{{仮リンク|フィッシャー群|en|Fischer group}}，{{仮リンク|ベビー・モンスター群|en|Baby Monster group}}，モンスターの（3/2/1 重中心拡大）である．これらはモンスターの 1A, 2A, 3A 型の元の中心化群に付随する{{仮リンク|散在群|en|sporadic group}}であり，拡大の次数は図形の対称性と対応している．（{{仮リンク|マッケイ対応|en|McKay correspondence}}型の）さらなる関係については，[[:en:ADE classification#Trinities|ADE classification: trinities]] を参照．かなり小さい単純群 {{math|[[射影特殊線型群|PSL]](2, 11)}} との対応やブリング (Bring) の曲線と呼ばれる種数 {{math|4}} の canonic sextic curve の 120 の tritangent plane との対応を（モンスターに対し）含む．

==極大部分群==
[[Image:SporadicGroups.svg|thumb|350px|26個の散在型単純群の図．部分商の関係を示している．pariah たちは丸で囲まれている．]]

モンスターは少なくとも44個の極大部分群の共役類を持つ．約60の同型型の非可換単純群が部分群あるいは部分群の商として見つかる．表される最大の[[交代群]]は {{math|A{{sub|12}}}} である．モンスターは26個の{{仮リンク|散在群|en|sporadic group}}のうち20個を部分商として含む．この図は，{{仮リンク|マーク・ロナン|en|Mark Ronan}} (Mark Ronan) の本 ''Symmetry and the Monster'' にあるものに基づいているが，それらが互いにどのように関係するかを示している．線分は下の群が上の群の部分商であることを意味する．丸い記号はより大きい散在群と関わらない群を表す．明瞭にするため冗長な包含は示されていない．

モンスターの極大部分群の類のうち44は以下のリストにより与えられる．これは（2016年の時点で）{{math|L<sub>2</sub>(13)}}, {{math|U<sub>3</sub>(4)}}, あるいは {{math|U<sub>3</sub>(8)}} の形の非可換単純 {{仮リンク|socle|en|Socle (mathematics)|redirect=1}} を持つ概単純部分群をありうる例外として完全であると信じられている{{sfn|Wilson|2010}}{{sfn|Norton|Wilson|2013}}{{sfn|Wilson|2016}}．しかしながら，極大部分群の表はしばしば微妙な誤りを含んでいることが見つかり，特に以下のリストの部分群のうち少なくとも2つは以前のリストでは誤って除外された．

{{div col|cols=2}}
* {{math|2.B}} {{pad|.5em}} ある対合の中心化群；シロー {{math|47}} 部分群の正規化群 {{math|(47:23) × 2}} を含む．
* {{math|2{{sup|1+24}}.Co{{sub|1}}}} {{pad|.5em}} ある対合の中心化群．
* {{math|3.Fi{{sub|24}}}} {{pad|.5em}} 位数 {{math|3}} のある部分群の正規化群；シロー {{math|29}} 部分群の正規化群 {{math|((29:14) × 3).2}} を含む．
* {{math|2<SUP>2</SUP>.<SUP>2</SUP>E<SUB>6</SUB>(2<sup>2</sup>):S<SUB>3</SUB>}} {{pad|.5em}} クラインの4群の正規化群．
* {{math|2<SUP>10+16</SUP>.O<SUB>10</SUB><SUP>+</SUP>(2)}}
* {{math|2<SUP>2+11+22</SUP>.(M<SUB>24</SUB> × S<SUB>3</SUB>)}} {{pad|.5em}} クラインの4群の正規化群；シロー {{math|23}} 部分群の正規化群 {{math|(23:11) × S<SUB>4</SUB>}} を含む．
* {{math|3<SUP>1+12</SUP>.2Suz.2}} {{pad|.5em}} 位数3の部分群の正規化群．
* {{math|2<SUP>5+10+20</SUP>.(S<SUB>3</SUB> × L<SUB>5</SUB>(2))}}
* {{math|S<SUB>3</SUB> × Th}} {{pad|.5em}} 位数3の部分群の正規化群；シロー 31 部分群の正規化群 {{math|(31:15) × S<SUB>3</SUB>}} を含む．
* {{math|2<SUP>3+6+12+18</SUP>.(L<SUB>3</SUB>(2) × 3S<SUB>6</SUB>)}}
* {{math|3<SUP>8</SUP>.O<SUB>8</SUB><SUP>&minus;</SUP>(3).2<SUB>3</SUB>}}
* {{math|(D<SUB>10</SUB> × HN).2}} {{pad|.5em}} 位数 5 の部分群の正規化群．
* {{math|(3<SUP>2</SUP>:2 × O<SUB>8</SUB><SUP>+</SUP>(3)).S<SUB>4</SUB>}}
* {{math|3<SUP>2+5+10</SUP>.(M<SUB>11</SUB> × 2S<SUB>4</SUB>)}}
* {{math|3<SUP>3+2+6+6</SUP>:(L<SUB>3</SUB>(3) × SD<SUB>16</SUB>)}}
* {{math|5<SUP>1+6</SUP>:2J<SUB>2</SUB>:4}} {{pad|.5em}} 位数 5 の部分群の正規化群．
* {{math|(7:3 × He):2}} {{pad|.5em}} 位数 7 の部分群の正規化群．
* {{math|(A<SUB>5</SUB> × A<SUB>12</SUB>):2}}
* {{math|5<SUP>3+3</SUP>.(2 × L<SUB>3</SUB>(5))}}
* {{math|(A<SUB>6</SUB> × A<SUB>6</SUB> × A<SUB>6</SUB>).(2 × S<SUB>4</SUB>)}}
* {{math|(A<SUB>5</SUB> × U<SUB>3</SUB>(8):3<SUB>1</SUB>):2}} {{pad|.5em}} シロー 19 部分群の正規化群 {{math|((19:9) × A<SUB>5</SUB>):2}} を含む．
* {{math|5<SUP>2+2+4</SUP>:(S<SUB>3</SUB> × GL<SUB>2</SUB>(5))}}
* {{math|(L<SUB>3</SUB>(2) × S<SUB>4</SUB>(4):2).2}} {{pad|.5em}} シロー 17 部分群の正規化群 {{math|((17:8) × L<SUB>3</SUB>(2)).2}} を含む．
* {{math|7<SUP>1+4</SUP>:(3 × 2S<SUB>7</SUB>)}} {{pad|.5em}} 位数 7 の部分群の正規化群．
* {{math|(5<SUP>2</SUP>:4.2<SUP>2</SUP> × U<SUB>3</SUB>(5)).S<SUB>3</SUB>}}
* {{math|(L<SUB>2</SUB>(11) × M<SUB>12</SUB>):2}} {{pad|.5em}} 位数 11 の部分群の正規化群 {{math|(11:5 × M<SUB>12</SUB>):2}} を含む．
* {{math|(A<SUB>7</SUB> × (A<SUB>5</SUB> × A<SUB>5</SUB>):2<SUP>2</SUP>):2}}
* {{math|5<SUP>4</SUP>:(3 × 2L<SUB>2</SUB>(25)):2<SUB>2</SUB>}}
* {{math|7<SUP>2+1+2</SUP>:GL<SUB>2</SUB>(7)}}
* {{math|M<SUB>11</SUB> × A<SUB>6</SUB>.2<SUP>2</SUP>}}
* {{math|(S<SUB>5</SUB> × S<SUB>5</SUB> × S<SUB>5</SUB>):S<SUB>3</SUB>}}
* {{math|(L<SUB>2</SUB>(11) × L<SUB>2</SUB>(11)):4}}
* {{math|13<SUP>2</SUP>:2L<SUB>2</SUB>(13).4}}
* {{math|(7<SUP>2</SUP>:(3 × 2A<SUB>4</SUB>) × L<SUB>2</SUB>(7)):2}}
* {{math|(13:6 × L<SUB>3</SUB>(3)).2}} {{pad|.5em}} 位数 13 の部分群の正規化群．
* {{math|13<SUP>1+2</SUP>:(3 × 4S<SUB>4</SUB>)}} {{pad|.5em}} 位数 13 の部分群の正規化群；シロー 13 部分群の正規化群．
* {{math|L<SUB>2</SUB>(71)}} {{pad|.5em}} {{harvtxt|Holmes|Wilson|2008}} シロー 71 部分群の正規化群 {{math|71:35}} を含む．
* {{math|L<SUB>2</SUB>(59)}} {{pad|.5em}} {{harvtxt|Holmes|Wilson|2004}} シロー 59 部分群の正規化群 {{math|59:29}} を含む．
* {{math|11<SUP>2</SUP>:(5 × 2A<SUB>5</SUB>)}} {{pad|.5em}} シロー 11 部分群の正規化群．
* {{math|L<SUB>2</SUB>(41)}} {{pad|.5em}} {{harvtxt|Norton|Wilson|2013}} はこの形の極大部分群を見つけた；微妙な誤りのためいくつかの以前のリストや論文はそのような極大部分群は存在しないと述べていた．
* {{math|L<SUB>2</SUB>(29):2}} {{pad|.5em}} {{harvtxt|Holmes|Wilson|2002}}
* {{math|7<SUP>2</SUP>:SL<SUB>2</SUB>(7)}} {{pad|.5em}} これは7局所部分群のいくつかの以前のリストでは誤って除かれていた．
* {{math|L<SUB>2</SUB>(19):2}} {{pad|.5em}} {{harvtxt|Holmes|Wilson|2008}}
* {{math|41:40}} {{pad|.5em}} シロー 41 部分群の正規化群．
{{Div col end}}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|超特異素数 (月光理論)|label=超特異素数|en|Supersingular prime (moonshine theory)}}、モンスターの位数を割る素数
* [[モンストラス・ムーンシャイン]]

==脚注==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*[[John Horton Conway|J. H. Conway]] and [[Simon P. Norton|S. P. Norton]], ''Monstrous Moonshine'', Bull. London Math. Soc.  11  (1979), no. 3, 308–339.
*{{Citation | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | title=A simple construction for the Fischer–Griess monster group | doi=10.1007/BF01388521 | mr=782233  | year=1985 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=79 | issue=3 | pages=513–540}}
*[[John Horton Conway|Conway, J. H.]]; Curtis, R. T.; [[Simon P. Norton|Norton, S. P.]]; [[Richard A. Parker|Parker, R. A.]]; and [[Robert Arnott Wilson|Wilson, R. A.]]: ''Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups''. Oxford, England 1985.
*{{Citation | last1=Griess | first1=Robert L. | editor1-last=Scott | editor1-first=W. Richard | editor2-last=Gross | editor2-first=Fletcher | title=Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975) | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | isbn = 978-0-12-633650-4 | mr=0399248 | year=1976 | chapter=The structure of the monster simple group | pages=113–118}}
*{{Citation | last1=Griess| first1=Robert L. | title=The friendly giant | doi=10.1007/BF01389186 | mr=671653 | year=1982 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=69 | issue=1 | pages=1–102}}
*{{Citation | last1=Griess | first1=Robert L | last2=Meierfrankenfeld | first2=Ulrich | last3=Segev | first3=Yoav | title=A uniqueness proof for the Monster | doi=10.2307/1971455  | jstor=1971455 | mr=1025167 | year=1989 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=130 | issue=3 | pages=567–602}}
*{{Citation | last1=Harada | first1=Koichiro | title=Mathematics of the Monster | mr=1690763 | year=2001 | journal=Sugaku Expositions | issn=0898-9583 | volume=14 | issue=1 | pages=55–71}}
*{{Citation | last1=Holmes | first1=P. E. | last2=Wilson | first2=R. A. | title=A new maximal subgroup of the Monster | doi=10.1006/jabr.2001.9037 | mr=1900293  | year=2002 | journal=[[Journal of Algebra]] | issn=0021-8693 | volume=251 | issue=1 | pages=435–447}}
*P. E. Holmes and [[Robert Arnott Wilson|R. A. Wilson]], ''A computer construction of the Monster using 2-local subgroups'', J. London Math. Soc. 67 (2003), 346–364.
*{{Citation | last1=Holmes | first1=Petra E. | last2=Wilson | first2=Robert A. | title=PSL₂(59) is a subgroup of the Monster | doi=10.1112/S0024610703004915 | mr=2025332  | year=2004 | journal=Journal of the London Mathematical Society. Second Series | issn=0024-6107 | volume=69 | issue=1 | pages=141–152}}
*{{Citation | last1=Holmes | first1=Petra E. | last2=Wilson | first2=Robert A. | title=On subgroups of the Monster containing A₅'s | doi=10.1016/j.jalgebra.2003.11.014 | mr=2397402  | year=2008 | journal=[[Journal of Algebra]] | issn=0021-8693 | volume=319 | issue=7 | pages=2653–2667}}
*{{Citation | last1=Holmes | first1=P. E. | title=A classification of subgroups of the Monster isomorphic to S₄ and an application | doi=10.1016/j.jalgebra.2004.01.031 | mr=2408306  | year=2008 | journal=[[Journal of Algebra]] | issn=0021-8693 | volume=319 | issue=8 | pages=3089–3099}}
*{{citation|first=A. A. |last=Ivanov| isbn = 978-0-521-88994-0 |title=The Monster Group and Majorana Involutions|volume=176|publisher=Cambridge University Press|series=Cambridge tracts in mathematics}}
*S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, ''Computer construction of the Monster'', J. Group Theory 1 (1998), 307–337.
*{{Citation | last1=Norton | first1=Simon P. | title=Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982) | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemp. Math. | doi=10.1090/conm/045/822242 | mr=822242  | year=1985 | volume=45 | chapter=The uniqueness of the Fischer–Griess Monster | pages=271–285}}
*{{Citation | last1=Norton | first1=Simon P. | last2=Wilson | first2=Robert A. | title=Anatomy of the Monster. II | doi=10.1112/S0024611502013357 | mr=1888424  | year=2002 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series | issn=0024-6115 | volume=84 | issue=3 | pages=581–598}}
*{{Citation | last1=Norton | first1=Simon P. | title=The atlas of finite groups: ten years on (Birmingham, 1995) | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Math. Soc. Lecture Note Ser. | isbn=978-0-521-57587-4  | doi=10.1017/CBO9780511565830.020 | mr=1647423  | year=1998 | volume=249 | chapter=Anatomy of the Monster. I | pages=198–214}}
*{{Citation | last1=Norton | first1=Simon P. | last2=Wilson | first2=Robert A. | title=A correction to the 41-structure of the Monster, a construction of a new maximal subgroup L2(41) and a new Moonshine phenomenon 
|journal=J. Lond. Math. Soc. (2)|volume= 87 |issue=3|pages= 943–962  | url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/pubs_files/ML241sub.pdf | year=2013}}
*[[Mark Ronan|M. Ronan]], ''Symmetry and the Monster'', Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).
*[[Marcus du Sautoy|M. du Sautoy]], ''Finding Moonshine'', Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as ''Symmetry'', ISBN 978-0-06-078940-4).
*{{Citation | last1=Thompson | first1=John G. | author1-link=John G. Thompson | title=Uniqueness of the Fischer-Griess monster | doi=10.1112/blms/11.3.340 | mr=554400  | year=1979 | journal=The Bulletin of the London Mathematical Society | issn=0024-6093 | volume=11 | issue=3 | pages=340–346}}
*{{Citation | last1=Thompson | first1=John G. | author1-link=John G. Thompson | title=Some finite groups which appear as Gal ''L''/''K'', where ''K''&nbsp;⊆&nbsp;Q(μ<sub>n</sub>) | mr=751155 | year=1984 | journal=Journal of Algebra | volume=89 | issue=2 | pages=437–499 | doi=10.1016/0021-8693(84)90228-X}}
*{{Citation | last1=Tits | first1=Jacques | title=On R. Griess' "friendly giant" | doi=10.1007/BF01388446 | mr=768989  | year=1984 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=78 | issue=3 | pages=491–499}}
*{{Citation | last1=Tits | first1=Jacques | title=Le Monstre (d'après R. Griess, B. Fischer et al.) | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1983-1984__26__105_0 | mr=768956  | year=1985 | journal=Astérisque | issn=0303-1179 | issue=121 | pages=105–122}}
*{{Citation | last1=Wilson | first1=Robert A. | title=Moonshine: the first quarter century and beyond | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Math. Soc. Lecture Note Ser. | isbn=978-0-521-10664-1  | mr=2681789  | year=2010 | volume=372 | chapter=New computations in the Monster | pages=393–403}}
*{{citation | last=Wilson | first=R. A. | title=The Monster is a Hurwitz group | journal=Journal of Group Theory | volume=4 | year=2001 | pages=367–374 | id={{MathSciNet|id=1859175}} | doi=10.1515/jgth.2001.027 | issue=4 | url = http://web.mat.bham.ac.uk/R.A.Wilson/pubs/MHurwitz.ps }}
*{{citation|mr=3483073 
|last=Wilson|first= Robert A.
|title=Is the Suzuki group Sz(8) a subgroup of the Monster? 
|journal=Bull. Lond. Math. Soc. |volume=48 |year=2016|issue= 2|pages= 355–364}}

==外部リンク==
* [http://www.ams.org/notices/200209/what-is.pdf ''What is… The Monster?''] by [[Richard Borcherds|Richard E. Borcherds]], Notices of the [[American Mathematical Society]], October 2002 1077
* [http://mathworld.wolfram.com/MonsterGroup.html MathWorld: Monster Group]
* [http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/M/ Atlas of Finite Group Representations: Monster group]
* [http://www.scientificamerican.com/article/mathematical-games-1980-06/ Scientific American June 1980 Issue: The capture of the monster: a mathematical group with a ridiculous number of elements]

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