モンテル空間のソースを表示

[[関数解析学]]や関連する[[数学]]分野において、'''モンテル空間'''とは、[[モンテルの定理]]に類似した性質を持つ[[線形位相空間]]のことをいう。
より厳密には、モンテル空間とは、[[閉集合|閉]]である{{仮リンク|有界集合 (線形位相空間)|label=有界集合|en|Bounded set (topological vector space)}}が常に[[コンパクト空間|コンパクト]]であるような[[樽型空間]]のことである。
この名称は {{仮リンク|Paul Antoine Aristide Montel|en|Paul Antoine Aristide Montel|label=Paul Montel}} に因む。

[[複素解析]]における古典的な[[モンテルの定理]]により、[[複素平面]]の[[連結空間|連結]][[開集合]]上の[[正則関数]]全体がなす空間はモンテル空間である。

現在興味が持たれるモンテル空間の多くが、[[シュワルツ超函数|超関数]]に対する[[シュワルツ超函数#テスト函数の空間|テスト関数の空間]]である。
<math>\boldsymbol R^n</math> の開集合 <math>\Omega</math> 上の[[滑らかな関数]]の空間 <math>C^\infty(\Omega)</math> はモンテル空間であり、その位相は各 <math>n=1,2,\ldots</math> および各コンパクト部分集合 <math>K\subset\Omega</math> に対して定まる[[半ノルム]]
:<math>\|f\|_{K,n} = \sup_{|\alpha|\le n}\sup_{x\in K}\left|\partial^\alpha f(x)\right|</math>
（<math>\alpha</math> は[[多重指数]]）の族により与えられる。開集合上の[[関数の台#コンパクト台付きの函数|コンパクトな台]]を持つ滑らかな関数の空間 <math>C^\infty_0(\Omega)</math> や、[[シュワルツ空間]]も、通常の位相によりモンテル空間である。

無限次元の[[バナッハ空間]]は、[[ハイネ・ボレルの被覆定理|ハイネ・ボレル性]]を持たない（閉単位球は閉かつ有界であるがコンパクトではない）ので、モンテル空間ではない。

==性質==
* モンテル空間の[[強位相 (極位相)|強双対]]はモンテル空間である。
* モンテル空間は[[回帰的空間|回帰的]]である。
* [[核型空間|核型]]で擬完備 (すなわち閉である有界集合が常に完備) な[[樽型空間]]はモンテル空間である。
* [[フレシェ空間]]でかつモンテル空間でもあるものは、[[可分]]であり、強双対が[[有界型空間]]になる。

==参考文献==
* {{SpringerEOM|title=Montel space|urlname=Montel_space}}
* {{cite book |last=Robertson |first=A.P. |author2=W.J. Robertson |title= Topological vector spaces |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=53 |year=1964 |publisher= [[Cambridge University Press]] | page=74}}
* {{cite book | last = Schaefer | first = Helmuth H.  | year = 1971 | title = Topological vector spaces  | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=3  | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 0-387-98726-6 | page=147 }}
* {{cite book|first=François|last=Treves|title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|publisher=Dover|year=2006|isbn=978-0-486-45352-1}}.

{{Functional Analysis}}

{{DEFAULTSORT:もんてるくうかん}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:位相線型空間]]
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[[Category:数学のエポニム]]

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