モース理論のソースを表示

{{要改訳}}
{{参照方法|date=2024-11}}
{{redirect|モース関数|調和的振動子|モースポテンシャル}}

[[微分位相幾何学|微分トポロジー]]において、'''モース理論'''（モースりろん、{{lang-en-short|Morse theory}}）は、[[多様体]]上の[[微分可能函数]]を研究することにより、多様体の位相的性質の分析を可能とする。{{仮リンク|マーストン・モース|en|Marston Morse}} (Marston Morse) の基本的な見方に従うと、多様体上の典型的な微分可能函数はその位相的性質を極めて直接的に反映する。モース理論は、多様体上の[[CW複体|CW構造]]や{{仮リンク|ハンドル分解|en|handle decomposition}}を見つけたり、多様体の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]の本質的な情報を与えたりすることができる。

モース以前は、[[アーサー・ケイリー]] (Arthur Cayley) と[[ジェームズ・クラーク・マクスウェル]] (James Clerk Maxwell) が[[トポグラフィー]]の文脈で、モース理論のいくつかのアイデアを考え出した。モースの元来の応用は、[[測地線]]の理論（経路上のエネルギー[[汎函数]]の[[臨界点 (数学)|臨界点]]を調べる理論）への応用であった。これらのテクニックは、[[ラウル・ボット]] (Raoul Bott) の{{仮リンク|周期性定理|en|Bott periodicity theorem}}の証明に使われた。

モース理論の複素多様体での類似が、[[ピカール・レフシェッツ理論]]である。
<!---:''"Morse function" redirects here. In another context, a "Morse function" can also mean an anharmonic oscillator: see [[Morse potential]]''

In [[differential topology]], '''Morse theory''' enables one to analyze the [[topological space|topology]] of a [[manifold]] by studying [[differentiable function]]s on that manifold. According to the basic insights of [[Marston Morse]], a typical differentiable function on a manifold will reflect the topology quite directly. Morse theory allows one to find [[CW complex|CW structures]] and [[handle decomposition]]s on manifolds and to obtain substantial information about their [[homology (mathematics)|homology]].

Before Morse, [[Arthur Cayley]] and [[James Clerk Maxwell]] had developed some of the ideas of Morse theory in the context of [[topography]]. Morse originally applied his theory to [[geodesic]]s ([[critical point (mathematics)|critical points]] of the energy [[functional (mathematics)|functional]] on paths). These techniques were used in [[Raoul Bott]]'s proof of his [[Bott periodicity theorem|periodicity theorem]].

The analogue of Morse theory for complex manifolds is [[Picard–Lefschetz theory]].-->

==基本概念==
[[Image:Saddle point.png|thumb|right|鞍点]]

説明のために、山がちな地形 M を考える。[[函数]] f : M → '''R''' を M 上の各点の高さを表す写像とすると、'''R''' 上のある点の[[像 (数学)#逆像|逆像]]は単純に[[等位集合]]（等高線）となる。各々の等高線の連結成分は、点、閉曲線、[[曲線の特異点|二重点]](double point)などになる。点は山頂または窪地に、二重点は[[鞍点]](saddle point)に対応する。ここで鞍点とは、稜線と谷間が交差する点のことである（右図の赤い点）。等高線はより高次の点（三重点など）を含むかもしれないが、これらは少しの変形で消せるか、または二重以下の点の組み合わせに解消できる。言い換えると、三重以上の点が現れるのは極めて稀ということである。
<!---==Basic concepts==
[[Image:Saddle point.png|thumb|right|A saddle point]]

Consider, for purposes of illustration, a mountainous landscape ''M''.  If ''f'' is the [[function (mathematics)|function]] ''M'' → '''R''' sending each [[Point (geometry)|point]] to its elevation, then the [[inverse image]] of a point in '''R''' (a [[level set]]) is simply a [[contour line]].  Each connected component of a contour line is either a point, a simple [[closed curve]], or a closed curve with a [[Singular point of a curve|double point]].  Contour lines may also have points of higher order (triple points, etc.), but these are unstable and may be removed by a slight deformation of the landscape.  Double points in contour lines occur at [[saddle points]], or passes.  Saddle points are points where the surrounding landscape curves up in one direction and down in the other.-->

[[Image:Saddle contours.svg|thumb|left|鞍点の周りの等高線]]
この地形を水に浸すことを想像してみる。水が高さ a へ到達すると、水でひたされている領域は f<sup>−1</sup>(−∞, a] 、つまり高さが a 以下の地点となる。次に、水位を上げていったときこの水面のつながりがどのように変化するか考えてみよう。直感的には、a が[[臨界点 (数学)|臨界点]](critical point)を超えない限りは変化しないように思える。ここで臨界点とは、f の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]が 0 となる点（より一般には、f の[[ヤコビ行列]]が最大ランクを持たない点）である。言い換えると、水位が下記の点に達するときに、水面のつながり方が変化する。

:(1) 水を図形に充填し始めたとき (窪地)
:(2) 水位が鞍点に達したとき (峠) 
:(3) 完全に図形が水没したとき (山頂)
<!---[[Image:Saddle contours.svg|thumb|left|Contour lines around a saddle point]]
Imagine flooding this landscape with water. Then, the region covered by water when the water reaches an elevation of ''a'' is ''f''<sup>−1</sup>(−∞, ''a''], or the points with elevation less than or equal to ''a''.  Consider how the topology of this region changes as the water rises.  It appears, intuitively, that it does not change except when ''a'' passes the height of a [[Critical point (mathematics)|critical point]]; that is, a point where the [[gradient]] of ''f'' is 0(that is the [[Jacobian matrix]] acting as a linear map from the tangent space at that point to the tangent space at its image under the map ''f'' does not have maximal rank).  In other words, it does not change except when the water either (1) starts filling a basin, (2) covers a saddle (a [[mountain pass]]), or (3) submerges a peak.-->

[[Image:3D-Leveltorus.png|thumb|right|トーラス]]
これら 3つのタイプの臨界点 – 窪地、峠、山頂 (または極小点、鞍点、極大点とも言う) – に対し、指数を割り付ける。直感的に言うと、その点の周りで f が減少する独立した方向の数を、臨界点 b の指数とする。二次元面を考えている今の場合、極小点、鞍点、極大点の指数はそれぞれ 0, 1, 2 となる。厳密には、臨界点の指数は、その点での[[ヘッセ行列]]の作用が負定値となるような最大部分空間の次元である。

より一般の面 M を考えよう。M<sup>a</sup> を f<sup>−1</sup>(−∞, a] で定義する。さきの例と同様に、M<sup>a</sup> のトポロジーがどのように a の増加に対し変化するのかを分析できる。例えば M が右図のように立った[[トーラス]]で、 f が垂直軸への射影とすれば、f は平面の上の高さを表す。
<!---[[Image:3D-Leveltorus.png|thumb|right|The torus]]
To each of these three types of critical points – basins, passes, and peaks (also called minima, saddles, and maxima) – one associates a number called the index. Intuitively speaking, the index of a critical point ''b'' is the number of independent directions around ''b'' in which ''f'' decreases. Therefore, the indices of basins, passes, and peaks are 0, 1, and 2, respectively.Rigorously , index of a critical point is the dimension of the negative-definite submatrix of the [[hessian matrix]] calculated at that point . In case of smooth maps , the [[hessian matrix]] turns out to be a [[diagonal matrix]]

Define ''M<sup>a</sup>'' as ''f''<sup>−1</sup>(−∞, ''a'']. Leaving the context of topography, one can make a similar analysis of how the topology of ''M<sup>a</sup>'' changes as ''a'' increases when ''M'' is a [[torus]] oriented as in the image and ''f'' is projection on a vertical axis, taking a point to its height above the plane.-->

[[Image:3D-Cylinder and disk with handle.png|thumb|left|この図はホモトピー同値である。]]
[[Image:3D-Cylinder with handle and torus with hole.png|thumb|right|この図はホモトピー同値である。]]
トーラスの下の端から順に、p, q, r, s を指数がそれぞれ 0, 1, 1, 2 である臨界点とする。a が 0 より小さいときは、M<sup>a</sup> は空集合である。a が p の高さを通り過ぎた後、0<a<f(q) のときに、M<sup>a</sup> は空集合に繋がる点（0-cell）に[[ホモトピー同値]]な[[円板 (数学)|円板]]になる。次に、a がレベル q を超えた f(q)<a<f(r) のとき、M<sup>a</sup> は円筒状となり、（左に図示するように）1-cell (線分)がくっついた円板にホモトピー同値となる。さらに a がレベル r を超え f(r)<a<f(s) となると、M<sup>a</sup> は円板がくりぬかれたトーラスとなり、（右に図示するように）1-cellがくっついた[[円柱 (数学)|円筒]]にホモトピー同値となる。 最後に、a が臨界レベル s よりも大きくなると、M<sup>a</sup> はトーラスとなる。これも、円板がくりぬかれたトーラスに 2-cellである円板をくっつけたもの、と言える。
<!---[[Image:3D-Cylinder and disk with handle.png|thumb|left|These figures are homotopy equivalent.]]
[[Image:3D-Cylinder with handle and torus with hole.png|thumb|right|These figures are homotopy equivalent.]]
Starting from the bottom of the torus, let ''p'', ''q'', ''r'', and ''s'' be the four critical points of index 0, 1, 1, and 2, respectively. When ''a'' is less than 0, ''M<sup>a</sup>'' is the empty set.  After ''a'' passes the level of ''p'', when 0<''a''<''f''(''q''), then ''M<sup>a</sup>'' is a [[Disk (mathematics)|disk]], which is [[homotopy equivalent]] to a point (a 0-cell), which has been "attached" to the empty set. Next, when ''a'' exceeds the level of ''q'', and ''f''(''q'')<''a''<''f''(''r''), then ''M<sup>a</sup>'' is a cylinder, and is homotopy equivalent to a disk with a 1-cell attached (image at left). Once ''a'' passes the level of ''r'', and ''f''(''r'')<''a''<''f''(''s''), then ''M<sup>a</sup>'' is a torus with a disk removed, which is homotopy equivalent to a [[Cylinder (geometry)|cylinder]] with a 1-cell attached (image at right).  Finally, when ''a'' is greater than the critical level of ''s'', ''M<sup>a</sup>'' is a torus. A torus, of course, is the same as a torus with a disk removed with a disk (a 2-cell) attached.-->

従って、次のようなルールを持っているように思われる。M<sup>α</sup> のトポロジーは、α が臨界点の高さを通過しない限り変化しない。そして指数 γ の臨界点を通るときに γ-cell がくっつけられる。このルールは複数の臨界点が同じ高さにある場合については何も言えないが、そうした状況は f を少し摂動させることで回避できる。図形（あるいは、[[ユークリッド空間]]へ[[埋め込み (数学)|埋め込まれた]]多様体）の場合には、この摂動は図形を傾ける(座標系を回転させる)というシンプルな操作になるだろう。

注意として、このルールは臨界点が非退化であることが前提となっている。このことを理解するために、M = '''R''' で f(x) = x<sup>3</sup> を考えよう。x=0 は f の臨界点であるが、M<sup>α</sup> のトポロジーは α が 0 を通過しても変わらない。原因は f<nowiki>''</nowiki>(0) = 0 つまり x=0 での f のヘッセ行列（今は M が一次元のため、単に f の二回微分）が 0 であることにある。このような点を退化した臨界点という。この退化した臨界点は、例えば座標系を少し回転させるだけで消えてしまうか、または、2つの非退化な臨界点へ分解してしまう。
<!---One therefore appears to have the following rule: the topology of ''M''<sup>α</sup> does not change except when α passes the height of a critical point, and when α passes the height of a critical point of index γ, a γ-cell is attached to ''M''<sup>α</sup>.  This does not address the question of what happens when two critical points are at the same height.  That situation can be resolved by a slight perturbation of ''f''.  In the case of a landscape (or a manifold [[embedding|embedded]] in [[Euclidean space]]), this perturbation might simply be tilting the landscape slightly, or rotating the coordinate system.

This rule, however, is false as stated.  To see this, let ''M'' = '''R''' and let ''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>.  Then 0 is a critical point of ''f'', but the topology of ''M''<sup>α</sup> does not change when α passes 0.  In fact, the concept of index does not make sense.  The problem is that the second derivative is also 0 at 0.  This kind of situation is called a degenerate critical point.  Note that this situation is unstable: by rotating the coordinate system under the graph, the degenerate critical point either is removed or breaks up into two non-degenerate critical points.-->

== 形式的な拡張 ==
[[多様体#可微分多様体|微分可能多様体]] M の上の実数に値を持つ[[滑らかな関数|滑らかな函数]] f : M → '''R''' に対し、f の[[微分#一般化|微分]]が 0 となるような点を f の[[臨界点 (数学)|臨界点]](critical points)と言い、f による像は{{仮リンク|臨界値|en|critical value}}(critical value)と言う。臨界点 b で 2階偏微分の行列（[[ヘッセ行列]]）が非特異ならば、b を'''非退化な臨界点'''と言い、ヘッセ行列が特異であれば、b を'''退化した臨界点'''と言う。
<!---==Formal development==
For a real-valued [[smooth function]] ''f'' : ''M'' → '''R''' on a [[differentiable manifold]] ''M'', the points where the [[differential (calculus)|differential]] of ''f'' vanishes are called [[critical point (mathematics)|critical points]] of ''f'' and their images under ''f'' are called [[critical value]]s.  If at a critical point ''b'', the matrix of second partial derivatives (the [[Hessian matrix]]) is non-singular, then ''b'' is called a '''non-degenerate critical point'''; if the Hessian is singular then ''b'' is a '''degenerate critical point'''.-->

再び一次元 (M = '''R''') の例を考える。'''R''' から '''R''' への函数 
:<math>f(x)=a + b x+ c x^2+d x^3+\cdots</math>
は、b=0であれば、原点で臨界点を持つ。臨界点は c≠0（つまり、f は、a+cx<sup>2</sup>+...の形）であれば非退化であり、c=0（つまり、f は、a+dx<sup>3</sup>+...の形）であれば退化している。退化した臨界点の簡単な例が、先程の f(x) = x<sup>3</sup> の例の[[猿の腰掛け]]である。
<!---For the functions
:<math>f(x)=a + b x+ c x^2+d x^3+\cdots</math>
from '''R''' to '''R''', ''f'' has a critical point at the origin if ''b''=0, which is non-degenerate if ''c''≠0 (i.e. ''f'' is of the form ''a''+''cx''<sup>2</sup>+...) and degenerate if ''c''=0 (i.e. ''f'' is of the form ''a''+''dx''<sup>3</sup>+...). A less trivial example of a degenerate critical point is the origin of the [[monkey saddle]].-->

f の非退化臨界点 b の'''[[臨界点 (数学)|臨界指数]]'''(index)は、 b での M の[[接空間]]でヘッセ行列が負定値であるような最大部分空間の次元である。直観的には、臨界指数は f の値が減少する方向の数に対応する。退化性と臨界点の指数は、[[シルベスターの慣性法則]]が示しているように、使用する局所座標系の選択には依存しない。
<!---The '''[[Critical point (mathematics)#Several variables|index]]''' of a non-degenerate critical point ''b'' of ''f'' is the dimension of the largest subspace of the [[tangent space]] to ''M'' at ''b'' on which the Hessian is negative definite. This corresponds to the intuitive notion that the index is the number of directions in which ''f'' decreases.  The degeneracy and index of a critical point are independent of the choice of the local coordinate system used, as shown by [[Sylvester's law of inertia|Sylvester's Law]].-->

===モースの補題===
b を f : M → '''R''' の非退化臨界点とすると、b の[[近傍 (位相空間論)|近傍]] U の中に{{仮リンク|チャート (位相|label=近傍座標系|en|chart (topology)}}(chart) (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) が存在し、すべての i に対し <math>x_i(b) = 0</math> と
:<math>f(x) = f(b) - x_1^2 - \cdots - x_{\alpha}^2 + x_{\alpha +1}^2 + \cdots + x_n^2 </math>
が U 全体で成り立つ。ここで α は b での f の指数に等しい。モースの補題の系として、非退化な臨界点は[[孤立点]]である。（複素領域への拡張は、[[:en:Method of steepest descent#Complex Morse Lemma|複素モース補題]](Complex Morse Lemma)を参照、一般化については{{仮リンク|モース・パレの補題|en|Morse-Palais lemma}}(Morse-Palais lemma)を参照）
<!---===Morse lemma===
Let ''b'' be a non-degenerate critical point of ''f'' : ''M'' → '''R'''.  Then there exists a [[chart (topology)|chart]] (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) in a [[neighborhood (topology)|neighborhood]] ''U'' of ''b'' such that <math>x_i(b) = 0</math> for all ''i'' and
:<math>f(x) = f(b) - x_1^2 - \cdots - x_{\alpha}^2 + x_{\alpha +1}^2 + \cdots + x_n^2 </math>
throughout ''U''. Here α is equal to the index of ''f'' at ''b''. As a corollary of the Morse lemma, one sees that non-degenerate critical points are [[isolated point|isolated]].  (Regarding an extension to the complex domain see [[Method of steepest descent#Complex Morse Lemma|Complex Morse Lemma]]. For a generalization, see [[Morse-Palais lemma]]).-->

=== 基本定理 ===
多様体 M 上の滑らかな実数値函数は、退化した臨界点を持たないとき、'''モース函数'''(Morse function)という。モース理論の基本的結果から、ほとんどすべての函数はモース函数であることが言える。厳密に言うと、モース函数の集合は、 C<sup>2</sup>位相ですべての滑らかな函数 M → '''R''' の集合の稠密な開部分集合をなすということである。このことを「典型的な函数はモース函数である」、あるいは、「{{仮リンク|ジェネリック性|label=ジェネリック|en|generic property}}(generic)な函数はモース函数である」ということもある。<ref group="注釈">「ジェネリック」なということの意味は、「ほとんどすべての」という意味である。</ref>

このことを示す前に、M<sup>a</sup> = f<sup>−1</sup>(−∞, a] のトポロジーが a の変化につれて、いつ変化するのかという問題に興味が湧く。この問題の答えの半分は次の定理によって与えられる。
<!---=== Fundamental theorems ===
A smooth real-valued function on a manifold ''M'' is a '''Morse function''' if it has no degenerate critical points.  A basic result of Morse theory says that almost all functions are Morse functions.  Technically, the Morse functions form an open, dense subset of all smooth functions ''M'' → '''R''' in the ''C''<sup>2</sup> topology.  This is sometimes expressed as "a typical function is Morse" or "a [[generic property|generic]] function is Morse".

As indicated before, we are interested in the question of when the topology of ''M''<sup>''a''</sup> = ''f''<sup>−1</sup>(−∞, ''a''] changes as ''a'' varies.  Half of the answer to this question is given by the following theorem.-->

:'''定理：''' f を M 上の滑らかな実数値函数、a < b、f<sup>−1</sup>[a, b] は[[コンパクト空間|コンパクト]]で、a と b の間には臨界値が存在しないとすると、M<sup>a</sup> は M<sup>b</sup> と[[微分同相]]であり、M<sup>b</sup> は M<sup>a</sup> へ{{仮リンク|連続縮小|en|deformation retract}}(deformation retract)される。

この定理は、a が臨界点を通過したとき、M<sup>a</sup> のトポロジーがどのように変化するのかを知るためも興味がもたれる。次の定理はこの問いに対する答えである。

:'''定理：'''  f を M 上の滑らかな実数値函数、p を指数 γ である f の非退化臨界点とし、f(p) = q とする。f<sup>−1</sup>[q−ε, q+ε] はコンパクトで、p の近くには臨界点がないとすると、M<sup>q +ε</sup> は γ-cell を継ぎ足した M<sup>q−ε</sup> に[[ホモトピー同値]]である。
<!---:'''Theorem.''' Suppose ''f'' is a smooth real-valued function on ''M'', ''a'' < ''b'', ''f''<sup>−1</sup>[''a'', ''b''] is [[compact space|compact]], and there are no critical values between ''a'' and ''b''.  Then  ''M''<sup>''a''</sup> is [[diffeomorphic]] to ''M''<sup>''b''</sup>, and ''M''<sup>''b''</sup> [[deformation retract]]s onto  ''M''<sup>''a''</sup>.

It is also of interest to know how the topology of ''M''<sup>''a''</sup> changes when ''a'' passes a critical point.  The following theorem answers that question.

:'''Theorem.'''  Suppose ''f'' is a smooth real-valued function on ''M'' and ''p'' is a non-degenerate critical point of ''f'' of index γ, and that ''f''(''p'') = ''q''.  Suppose ''f''<sup>−1</sup>[''q''−ε, ''q''+ε] is compact and contains no critical points besides ''p''.  Then ''M''<sup>''q''+ε</sup> is [[homotopy equivalent]] to ''M''<sup>''q''−ε</sup> with a γ-cell attached.-->

これらの結果は前のセクションで述べた「ルール」を一般化し定式化したものである。

以上の2つの結果と、任意の微分可能多様体上にモース函数が存在するという事実を使い、任意の微分可能多様体は、指数 n の臨界点に対し n-cell をもつCW複体であるということを証明できる。証明するためには、各々の臨界レベルにひとつの臨界点を持つように整列させることができるというテクニカルな事実を必要とする。このテクニックは普通は臨界点を再整列させるため{{仮リンク|勾配的ベクトル場|en|gradient-like vector field}}(gradient-like vector field)を使い証明することができる。
<!---These results generalize and formalize the 'rule' stated in the previous section.  As was mentioned, the rule as stated is incorrect; these theorems correct it.

Using the two previous results and the fact that there exists a Morse function on any differentiable manifold, one can prove that any differentiable manifold is a CW complex with an ''n''-cell for each critical point of index ''n''.  To do this, one needs the technical fact that one can arrange to have a single critical point on each critical level, which is usually proven by using [[gradient-like vector field]]s to rearrange the critical points.-->

===モース不等式===
モース理論は多様体のホモロジーのいくつかの強い結果を証明することに使える。f : M → '''R''' の指数 γ の臨界点の数は、f を「登る」ことで得られるCW複体の中の γ cells の数に等しい。位相空間のホモロジー群のランクの交代和が、ホモロジーの計算に使うチェイン群のランクの交代和に等しいという事実と、胞体チェイン群を使えば（{{日本語版にない記事リンク|胞体ホモロジー|en|cellular homology}}<!--(cellular homology)-->を参照）、[[オイラー標数]] <math>\chi(M)</math> が、和
:<math>\sum(-1)^{\gamma}C^{\gamma}\,=\chi(M)</math>
に等しいことは明らかである。ここで C<sup>γ</sup> は指数 γ の臨界点の数である。また、胞体ホモロジーにより、CW複体 M の n-次ホモロジー群のランクは、M の n-cells の数以下であることも分かる。従って γ 次ホモロジー群のランク、つまり[[ベッチ数]] <math>b_\gamma(M)</math> は M のモース函数の指数 γ の臨界指数以下である。より強く、'''モース不等式'''(Morse inequalities)、
:<math>C^\gamma -C^{\gamma -1}+-\cdots - (-1)^\gamma C^0 \ge b_\gamma(M)-b_{\gamma-1}(M)+- \cdots - (-1)^\gamma b_0(M).</math>
が成り立つ。

とくに、任意の
: <math>\gamma \in \{0,\dots,n=\dim M\}</math>
に対し、
:<math>C^\gamma\ge b_\gamma(M)</math>
を得る。

このことは、多様体のトポロジーを研究するための力強いツールとなる。閉じた多様体上に、ちょうど k 個の臨界点を持つモース函数 f : M → '''R''' が存在するとしてみよう。この f の存在は M にどのような制限を課すだろうか？　k = 2 の場合は1952年にレーブ(Reeb)により研究された。{{日本語版にない記事リンク|レーブの球定理|en|Reeb sphere theorem}}<!--(Reeb sphere theorem)-->は M が球 <math>S^n</math> に同相であることを言っている。k = 3 の場合は、おそらく低次元の多様体のみが可能となり<!-- もしかして原文そのものがなんとなく曖昧だったりして… -->、M は{{日本語版にない記事リンク|イールス・クーパー多様体|en|Eells–Kuiper manifold}}<!--(Eells–Kuiper manifold)-->と同相となる。1982年に[[エドワード・ウィッテン]]は、'摂動作用素'（{{lang-en-short|[[wikt:perturbed |perturbed]] operator}}）<math>d_t = e^{-tf} d e^{tf}</math>について[[ド・ラームコホモロジー]]を考えることによって、モース不等式において解析的な方法を開拓した<ref>{{harvnb | Witten | 1982 }}、{{harvnb | Roe | 1998 }}</ref>。<!-- 次節'モースホモロジー'も改訂必要。（英語版には新しい節'Application to classification of closed 2-manifolds'がその前に追加されている。） -->

===モースホモロジー===
{{仮リンク|モースホモロジー|en|Morse homology}}(Morse homology)は、[[可微分多様体|滑らかな多様体]](smooth manifold)の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]を理解するためのとくに容易な方法である。モースホモロジーは、モース函数と[[リーマン計量]]を選択することにより定義する。基本定理は、結果として出てくるホモロジーは多様体の不変量である（つまり、函数と計量とは独立）という定理で、多様体の特異ホモロジーと同型となる。この定理はモースホモロジーと特異[[ベッチ数]]が一致することを意味し、モース不等式の証明となっている。モースホモロジーの無限次元の類似は[[フレアーホモロジー]]である。

[[エドワード・ウィッテン]](Edward Witten)は、1982年に[[調和函数]]を使い、モース理論へのアプローチする別の方法を開発した。<ref>[http://faculty.tcu.edu/richardson/Seminars/MorseTheory_Igor.pdf Witten’s Proof of Morse Inequalities] by Igor Prokhorenkov</ref>
<!---===Morse homology===
[[Morse homology]] is a particularly easy way to understand the [[Homology (mathematics)|homology]] of [[smooth manifold]]s. It is defined using a generic choice of Morse function and [[Riemannian metric]].  The basic theorem is that the resulting homology is an invariant of the manifold (i.e., independent of the function and metric) and isomorphic to the singular homology of the manifold; this implies that the Morse and singular [[Betti number]]s agree and gives an immediate proof of the Morse inequalities.  An infinite dimensional analog of Morse homology is known as [[Floer homology]].

[[Ed Witten]] developed another related approach to Morse theory in 1982 using [[harmonic function]]s.<ref>[http://faculty.tcu.edu/richardson/Seminars/MorseTheory_Igor.pdf Witten’s Proof of Morse Inequalities] by Igor Prokhorenkov</ref>-->

==モース・ボットの理論==
モース函数の考え方は、非退化臨界点しか持たない多様体上の函数を考えることへと一般化できる。'''モース・ボットの函数'''(Morse–Bott function)は、多様体上の滑らかな函数であって、臨界点の集合が閉じた多様体であり、法線の方向に[[ヘッセ行列]]が非退化なものである。（同じことであるが、臨界点でのヘッセ行列の核は、臨界部分多様体への接空間に等しくなる。）モース函数は、臨界多様体が 0 次元のときの特別な場合である。（従って、臨界点でのヘッセ行列はすべての方向へ非退化、つまり、核を持たない。）

臨界指数は、非常に自然に、ペア
:<math>(i_-, i_+),</math>
と考えることができる。ここで i<sub>−</sub> は、臨界多様体の与えられた点での不安定な多様体の次元であり、i<sub>+</sub> は i<sub>−</sub> に臨界多様体の次元を足した次元である。モース・ボットの函数が、臨界軌跡上の小さな函数で摂動されると、摂動された函数の臨界多様体の上のすべての臨界点の指数は、i<sub>−</sub> と i<sub>+</sub>との間に存在することとなる。
<!---==Morse–Bott theory==
The notion of a Morse function can be generalized to consider functions that have nondegenerate manifolds of critical points. A '''Morse–Bott function''' {{anchor|Morse–Bott function}} is a smooth function on a manifold whose [[critical set]] is a closed submanifold and whose Hessian is non-degenerate in the normal direction. (Equivalently, the kernel of the Hessian at a critical point equals the tangent space to the critical submanifold.) A Morse function is the special case where the critical manifolds are zero-dimensional (so the Hessian at critical points is non-degenerate in every direction, i.e., has no kernel).

The index is most naturally thought of as a pair

:<math>(i_-, i_+),</math>

where ''i''<sub>−</sub> is the dimension of the unstable manifold at a given point of the critical manifold, and ''i''<sub>+</sub> is ''i''<sub>−</sub> plus the dimension of the critical manifold. If the Morse–Bott function is perturbed by a small function on the critical locus, the index of all critical points of the perturbed function on a critical manifold of the unperturbed function will lie between ''i''<sub>−</sub> and ''i''<sub>+</sub>).-->

モース・ボット函数は、一般のモース函数よりも扱いやすい。モース・ボット函数は、可視化することができ、それを使い簡単に計算できて、典型には対称性を持っている。それらは、正の次元の臨界モデルをもたらすことが多い。[[ラウル・ボット]](Raoul Bott)は、モース・ボットの理論を、{{仮リンク|ボットの周期性定理|en|Bott periodicity theorem}}(Bott periodicity theorem)の証明に使用した。

{{仮リンク|ラウンド函数|en|Round function}}(Round function)は、モース・ボット函数の例であり、そこでは臨界点の集合が円（の非交和）となる。

モース・ボット函数に対しても{{仮リンク|モースホモロジー|en|Morse homology}}(Morse homology)を定式化できる。モース・ボットホモロジーの微分形式は、[[スペクトル系列]](spectral sequence)により計算される。フレデリック・ブルジェオス(Frederic Bourgeois)は、彼の一連の仕事の中でモース・ボット版のシンプレクティック場の理論にアプローチしたが、本質的な解析の難しさのため公開されなかった。
<!---Morse–Bott functions are useful because generic Morse functions are difficult to work with; the functions one can visualize, and with which one can easily calculate, typically have symmetries. They often lead to positive-dimensional critical manifolds. [[Raoul Bott]] used Morse–Bott theory in his original proof of the [[Bott periodicity theorem]].

[[Round function]]s are examples of Morse–Bott functions, where the critical sets are (disjoint unions of) circles.

[[Morse homology]] can also be formulated for Morse–Bott functions; the differential in Morse–Bott homology is computed by a [[spectral sequence]].  Frederic Bourgeois sketched an approach in the course of his work on a Morse–Bott version of symplectic field theory, but this work was never published due to substantial analytic difficulties.-->

==脚注==
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=== 注釈 ===
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=== 出典 ===
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* {{cite book|last=Roe|first= John|title= Elliptic Operators, Topology and Asymptotic Method |edition=2nd |series=Pitman Research Notes in Mathematics Series |volume= 395 |publisher= Longman |year= 1998 |isbn= 0582325021 | ref = harv }}
* {{cite journal|last=Witten |first=Edward |title=Supersymmetry and Morse theory |journal=[[Journal of Differential Geometry|J. Differential Geom.]] |volume=17 |year=1982 |issue=4 |pages=661–692 |doi=10.4310/jdg/1214437492 |doi-access=free | ref = harv }}
==参考文献==
* Bott, Raoul (1988). [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0 Morse Theory Indomitable.] ''Publications Mathématiques de l'IHÉS.'' '''68''', 99–114.
* Bott, Raoul (1982). ''Lectures on Morse theory, old and new.'', Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7, no. 2, 331–358.
* Cayley, Arthur (1859). [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cayleyconslo.pdf On Contour and Slope Lines.] ''The Philosophical Magazine'' '''18''' (120), 264-268.
* Guest, Martin (2001). [https://arxiv.org/abs/math/0104155 arXiv abstract] ''Morse Theory in the 1990's''
* Matsumoto, Yukio (2002). An Introduction to Morse Theory
* Maxwell, James Clerk (1870).  [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/hilldale.pdf On Hills and Dales.] ''The Philosophical Magazine'' '''40''' (269), 421–427.
* {{cite book | last=Milnor | first=John | title=Morse Theory | publisher= Princeton University Press | year=1963 | isbn=0-691-08008-9 }} A classic advanced reference in mathematics and mathematical physics.
* Milnor, John (1965). Lectures on the [[h-Cobordism theorem]] - scans available [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/hcobord.pdf here]
* Morse, Marston (1934). "The Calculus of Variations in the Large", ''American Mathematical Society Colloquium Publication'' '''18'''; New York.
* Matthias Schwarz: ''Morse Homology'', Birkhäuser, 1993.
* Seifert, Herbert & Threlfall, William (1938). Variationsrechnung im Grossen
* Witten, Edward (1982). ''Supersymmetry and Morse theory.'' J. Differential Geom. 17 (1982), no. 4, 661–692.

==関連項目==
* {{仮リンク|デジタルモース理論|en|Digital Morse theory}}(Digital Morse theory)
* {{仮リンク|離散モース理論|en|Discrete Morse theory}}(Discrete Morse theory)
* {{仮リンク|ヤコビ集合|en|Jacobi set}}(Jacobi set)
* {{仮リンク|ラグラジアングラスマン多様体|en|Lagrangian Grassmannian}}(Lagrangian Grassmannian)
* {{仮リンク|ルスターニク・シュニレルマンカテゴリ|en|Lusternik–Schnirelmann category}}(Lusternik–Schnirelmann category)
* {{仮リンク|モース・スメール系|en|Morse–Smale system}}(Morse–Smale system)
* [[サードの定理|サードの補題]]
* {{仮リンク|層化されたモース理論|en|Stratified Morse theory}}(Stratified Morse theory)

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