モーダストレンスのソースを表示

{{推論規則}}

'''モーダストレンス'''（{{lang-en-short|[[wikt:modus|Modus]] tollens, MT}}）は、'''間接証明'''（indirect proof）や'''[[対偶 (論理学)|対偶]]による証明'''（proof by contraposition）の正式な名称である。[[ラテン語]]で「否定によって肯定する様式」の意。'''[[論理包含|後件]]否定'''（denying the consequent）とも呼ぶが[[妥当性|妥当]]な[[論証]]形式であり、似たような名称の妥当でない論証形式（[[後件肯定]]や[[前件否定]]）とは異なる。

モーダストレンスは次のような形式である。
:P ならば Q である。
:Q は偽である。
:従って、P は偽である。<ref>[http://www.philosophy.uncc.edu/mleldrid/Logic/logiglos.html#modustollens] University of North Carolina, Philosophy Department, Logic Glossary.</ref>

== 形式的記法 ==
[[論理演算]]の記法では、次のようになる。
:<math>((P\to Q) \land \neg Q) \vdash \neg P</math>
ここで <math>\vdash</math> は[[論理的帰結]]を表す。

[[集合論]]の形式では次のようになる。
:<math>P\subseteq Q</math>
:<math>x\notin Q</math>
:<math>\therefore x\notin P</math>
（P は Q の部分集合である。x は Q に属さない。従って、x は P に属さない）

[[自然演繹]]の記法では次のようになる。
:<math>\frac{\vdash P\to Q ~~~ \vdash\neg Q}{\vdash \neg P}</math>

また、次のような形式もある。

:もし P なら Q である。
:Q でない。
:従って、P でない。

== 解説 ==
この論証には2つの前提条件がある。第一の前提は「P ならば Q」という形式の文であり、[[論理包含|含意]]を表している。第二の前提は、Q が偽であることを主張している。これら2つの前提から、論理的に P が偽でなければならないことを結論として導いている。

例えば、次のような例がある。
:ここに火があるなら、ここには酸素がある。
:ここには酸素がない。
:従って、ここには火がない。

別の例を挙げる。
:リジーが殺人者なら、彼女は斧を持っている。
:リジーは斧を持っていない。
:従って、リジーは殺人者ではない。

これらの前提がどちらも真であるとする。[[リジー・ボーデン]]が殺人者なら、彼女は斧を持っていたに違いない。そして、実際にはリジーは斧を持っていなかった。結果として、彼女は殺人者ではないということになった。論証が妥当で、前提が真なら、結論も真となる。

もっとも、殺人者が常に斧を所有しているとは限らないのも自明である。例えば、斧を借りることもできる（従って、リジーは斧を所有していなくとも殺人者の可能性がある）。この場合、最初の前提が偽であることを意味する。論証が妥当であっても、前提が偽なら結論も偽となる。

モーダストレンスは、[[カール・ポパー]]が[[反証可能性]]について論じる際に使われ、有名になった。

== モーダスポネンスとの関係 ==
モーダストレンスは、[[論理包含|条件文]]型の前提に対して[[対偶 (論理学)|対偶]]をとることで[[モーダスポネンス]]に変換可能である。例えば、次のようになる。

: P ならば Q である（前提ー含意）
: Q でないならば P でない（その対偶）
: Q でない（前提）
: 従って、P でない（モーダスポネンスによる帰結）

同様に、モーダスポネンスを対偶を使ってモーダストレンスに変換可能である。

{{See also|対偶論法}}

== 関連項目 ==
* [[モーダスポネンス]] - 「ある人にとってのモーダスポネンスは、別の人にとってはモーダストレンスである」"one man's modus ponens is another man's modus tollens" (Dretske 1995)
* [[後件肯定]]
* [[前件否定]]
* [[反証可能性]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/ModusTollens.html mathworld.wolfram.com: Modus Tollens]

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[[Category:ラテン語由来の論理学のフレーズ]]
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