モーダスポネンスのソースを表示

{{ページ番号|date=2024年11月}}
{{推論規則}}

'''モーダスポネンス'''（[[ラテン語]]: {{la|[[wikt:modus|modus]] ponens}}、'''MP'''）とは、[[論理学]]における[[妥当性|妥当]]で単純な「[[論証]]」である。[[ラテン語]]で「肯定によって肯定する様式」の意。'''[[論理包含|前件]]肯定'''（affirming the antecedent）または'''分離規則'''（the law of detachment）とも呼ぶ。

== 形式的記法 ==
推論の最も典型的な形式であり、一般に次のような形式である。

:P ならば Q である。
:P である。
:従って、Q である。

[[論理演算]]の記法では次のようになる。
:<math>((P \to Q) \land P) \vdash Q</math>
ここで、<math>\vdash</math> は[[論理的帰結関係]]を表す。

モーダスポネンスを次のように表記する場合もある。

:<math>\qquad\frac{(P \rightarrow Q), P}{Q}</math>

これらはいずれも前提条件が2つ存在する。第一の条件は条件文または[[論理包含演算]]であり、Q が P を包含することを示す。第二の条件は P であり、第一の条件の条件部分が真であることを主張している。これら2つの前提から論理的に Q が真であることが導かれる。

== 例 ==
以下にモーダスポネンス的な文章の例を示す。

:今日が火曜日なら、私は働きに行く。
:今日は火曜日だ。
:だから、私は働きに行く。

この論述は正しい。しかしそのことは論述に含まれる命題の各々が正しいかどうか（真であるかどうか）とは無関係である。モーダスポネンスとして「[[健全性|健全]]」な論述は、その結論が真となるいかなる状況に於ても、全ての前提が真であるべきである。論述が正しくとも前提の一部が真でない場合には「不健全」となり得るのであり、論述が正しくかつ全ての前提が真の場合には「健全」である。

ほとんどの論理体系でモーダスポネンスが採用されている。

:論証がモーダスポネンスで、その前提が真なら、その論証は健全である。
:前提は真である。
:従って、その論証は健全である。

== 応用 ==
[[命題論理]]では、モーダスポネンスが推論規則とされている。

メタ論理では、モーダスポネンスはカット規則である。[[カット除去定理]]によれば、[[シークエント計算]]のようなある種の論理計算ではカットは妥当な、許容される推論規則（admissible rule）である。

<!-- リンク先記事がないと何を言いたいのか不明なので訳さない（訳者）
For an amusing dialog that problematizes modus ponens, see [[ルイス・キャロル|Lewis Carroll]]'s "[[:en:What the Tortoise Said to Achilles|What the Tortoise Said to Achilles]]." -->

== mmp ==
モーダスポネンスの拡張として '''{{lang|la|multiple modus ponens}}'''（'''mmp'''）があり、以下のような形式である。

:P ならば、Q である。
:Q ならば、R である。
:P である。
:従って、R である。

[[論理演算]]の記法で表すと次のようになる。

:P → Q
:Q → R
:P
:├ R

==関連項目==
* [[三段論法]]、[[選言三段論法]]、[[仮言三段論法]]
* [[モーダストレンス]]
* [[後件肯定]]
* [[前件否定]]
* [[推論規則]]
* [[カリー・ハワード対応]]
* [[自然演繹]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Modus Ponens|urlname=ModusPonens}}

{{DEFAULTSORT:もたすほねんす}}
[[Category:推論規則]]
[[Category:命題論理の定理]]
[[Category:ラテン語由来の論理学のフレーズ]]
[[Category:古典論理]]
[[Category:数学に関する記事]]