モーデルの定理のソースを表示

[[数学]]における'''モーデルの定理'''（モーデルのていり、{{lang-en-short|Mordell's theorem}}）とは、有理数体 '''Q''' 上の[[楕円曲線]] ''E'' の[[有理点]]と[[無限遠点]] ''O'' のなす[[アーベル群]] ''E''('''Q''') が有限生成になる、という定理である。[[有限生成アーベル群の基本定理]]から有限生成アーベル群は次に同型であることが知られている。
:<math>\mathbb{Z}^{\oplus r}\oplus T\qquad (r\ge 0)</math>
ここで <math>T</math> は有限アーベル群（[[ねじれ群|ねじれ部分群]]）である。（''r'' は ''E'' の[[階数]]（ランク）と呼ばれ、関連する予想に[[ミレニアム懸賞問題]]の[[BSD予想]]がある。）

有限生成アーベル群 ''E''(''Q'') の場合、ねじれ部分群 ''T'' は次のいずれかに同型となる（メイザーのねじれ定理）。
:<math>\text{(i)} \; \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \qquad (1 \le n \le 10 \, \text{ or } \, n=12)</math>
:<math>\text{(ii)} \; \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\;\oplus\;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\qquad (n = 2,4,6,8) </math>

モーデルの定理は後にアンドレ・ヴェイユによって代数体上の[[アーベル多様体]]の有理点のなす群に関するモーデル・ヴェイユの定理へと拡張された<ref>Mordell (1922)</ref>。

== 概要 ==
以下モーデルの定理を正確に述べるために少し準備をする。

=== モーデルの弱定理 (weak Mordell theorem) ===
これは ''E''('''Q''')/2''E''('''Q''') が有限群であるという定理である。一般にアーベル群 ''A'' が有限生成ならば ''A''/2''A'' は有限群になるので、これは ''E''('''Q''') が有限生成となるための必要条件になっている。ここで、一般には ''A''/2''A'' が有限群でも ''A'' が有限生成になるとは限らないことに注意しなければならない（反例として、'''Q'''/2'''Q''' = {0} だが '''Q''' は有限生成でないことがあげられる）。

=== 有理点の高さ ===

有理数 ''x'' について高さ ''H''(''x'') を次のように定義する。''x'' = ''m''/''n'' (''n'', ''m'' ∈ '''Z''' で、''n'' と ''m'' は互いに素）と既約分数で表示したとき
:<math>H ( x ) = \max \{ \left| n \right| ,\left| m \right| \} </math>
また ''P'' ∈ ''E''('''Q'''), ''P'' ≠ ''O'' に対して ''H''(''P'') を ''P'' の ''ｘ'' 座標の高さとし、''H''(''O'') = 1 と定義する。

このとき次の2つの条件を満たす正数 ''C'' が存在することが知られている。
: (1) ''E''('''Q''') に属するすべての ''P'' に対して <math>C \cdot H(2P)\ge H(P)^4 </math>
: (2) ''E''('''Q''') に属するすべての ''P'', ''Q'' に対して <math>C \cdot H(P) \cdot H(Q) \ge min\{H(P+Q),H(P-Q)\} </math>
いま ''f'' を ''E''('''Q''') から ''E''('''Q''')/2''E''('''Q''') の上への自然な準同型
:<math>f \colon E ( \mathbb{Q} ) \to E ( \mathbb{Q} ) /2 E ( \mathbb{Q} )</math>　 
とし ''E''('''Q''') の部分集合 ''A'' の ''f'' による像が ''E''('''Q''')/2''E''('''Q''') であるとする。（すなわち ''f'': ''A'' → ''E''('''Q''')/2''E''('''Q''') が全射。いま ''A'' に演算は定義しない。）

このときモーデルの弱定理より ''A'' が[[有限集合]]でも構わないことがわかる。そこで <math> A = \{Q_1,Q_2,\cdot \cdot \cdot,Q_n \} </math>とする。ここで正数 ''M'' を
:<math> M = \max \{ C,H(Q_1),H(Q_2),\cdot \cdot \cdot,H(Q_n) \} </math>
と定めると次のモーデルの定理が成り立つ
:''E''('''Q''') は {''P'' ∈ ''E''('''Q'''), ''H''(''P'') ≦ ''M''} によって生成される。
高さの定義よりこれは有限集合でなので、結局 ''E''('''Q''') は有限生成であることが分かる。

== モーデル・ヴェイユの定理 ==
{{正確性|date=2015年2月|section=1}}
'''モーデル・ヴェイユの定理'''(Mordell–Weil theorem)は、[[代数体|数体]] K の上のアーベル多様体 A に対し、A の [[K-有理点]]の群 A(K) が、'''モーデル・ヴェイユ群'''(Mordell-Weil group)と呼ばれる[[アーベル群#有限アーベル群|有限生成アーベル群]]であるという定理である。A が[[楕円曲線]]で K が[[有理数|有理数体]] '''Q''' の場合を'''モーデルの定理'''と言い、1908年頃に[[アンリ・ポアンカレ]](Henri Poincaré)により提示された疑問に答えたもので、1922年に[[ルイス・モーデル]](Louis Mordell)により証明された。

'''接する弦のプロセス'''(tangent-chord process)（[[三次曲線]](cubic cuve)における[[加法定理]]の一種）は、17世紀より知られている。[[ピエール・ド・フェルマー|フェルマー]](Fermat)のは[[無限降下法]]は良く知られていたが、モーデルは（無限降下法の）証明の重要な段階である[[商群]] E('''Q''')/2E('''Q''') を証明することに成功した。確かにこの群の有限性は、E('''Q''') が有限生成であることの[[必要条件]]であり、このことは[[アーベル群のランク]]が有限であることを意味していて、本質的に難しいことであることが判明している。このことの証明は、E の点の二重性の直接の解析により初めて可能となる。

数年後、[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)はこの問題を取り上げ、数体上の高い種数を持つ曲線のヤコビ多様体へ一般化し、1928年に彼の博士論文として出版した<ref>{{Cite thesis |last=Weil |first=André |title=L'arithmétique sur les courbes algébriques |type=PhD |url=http://numdam.org/numdam-bin/fitem?id=THESE_1928__95__1_0 |year=1928 |publisher=Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Uppsala}}</ref>。一層抽象的な方法が要求され、同一の構造を持つ証明が遂行された。証明の後半は、A(K) の点の「サイズ」の限界を意味するある種類の[[高さ函数]]を必要とした。座標の測り方として、高さは対数的であり、従って大まかに言うと、{{仮リンク|同次座標|en|homogeneous coordinates}}(homogeneous coordinates)の集合を書き下すことに何デジット必要かという疑問であった。アーベル多様体では、[[射影多様体]]として表現されていることから、何の'''前提'''も必要ない。

証明の前半も後半も、その後のテクニックの前進により大きく改善され、[[ガロアコホモロジー]]では降下法が適用され、最良の高さ函数は、[[二次形式]]であることが研究により示されている。

== 今後の課題 == 
{{正確性|date=2015年2月|section=1}}
未だに解決されていない問題はいくつかある。

*ランクの計算。未だにランクの計算問題に答えることが求められて、いつも[[数論の有効な結果|有効]]とは限らない。
*ランクの意味付け、[[バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想]]を参照。
*[[代数曲線]] C の[[ヤコビ多様体]]の中の A とすると、A(K) と C の交叉は無限か？（C = A でなければ、[[ゲルト・ファルティングス|ファルティングス]](Faltings)により[[ファルティングスの定理]]として証明された。）
*同じ脈絡で、C が A の無限個の捩れ点を持つことが可能か？（楕円曲線の場合以外は、レノー(Raynaud)により[[アーベル多様体の数論#マーニン・マンフォード予想|マーニン・マンフォード予想]]が証明され、従って無限個の捩れ点を持つことが否定された。）
<!--==Further results==
The theorem left unanswered a number of questions:

*Calculation of the rank. This is still a demanding computational problem, and does not always have [[effective results in number theory|effective solutions]].
*Meaning of the rank: see [[Birch and Swinnerton-Dyer conjecture]].
*For an [[algebraic curve|curve]] ''C'' in its [[Jacobian variety]] as ''A'', can the intersection of ''C'' with ''A''(''K'') be infinite? Because of [[Faltings's theorem]], this is false unless ''C'' = ''A''.
*In the same context, can ''C'' contain infinitely many torsion points of ''A''? Because of the [[Manin-Mumford conjecture]], proved by Raynaud, this is false unless it is the elliptic curve case.-->

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[アーベル多様体の数論]]
*[[ファルティングスの定理]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book
 | 和書
 | last1 = 加藤
 | first1 = 和也
 | last2 = 黒川
 | first2 = 信重
 | last3 = 斎藤
 | first3 = 毅
 | year = 2005
 | title = 数論I――Fermatの夢と類体論
 | publisher = [[岩波書店]]
 | isbn = 4-00-005527-5
 | ref = harv
}}
*A. Weil, ''L'arithmétique sur les courbes algébriques'', Acta Math 52, (1929) pp.&nbsp;281&ndash;315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5
*L.J. Mordell, ''On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees'', Proc Cam. Phil. Soc.  21, (1922) p.&nbsp;179.
*[[J. H. Silverman]], ''The arithmetic of elliptic curves'', ISBN 0-387-96203-4 second edition

{{DEFAULTSORT:もおてるのていり}}

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