モーメント (数学)のソースを表示

{{Otheruses|数学のモーメント|確率論のモーメント|モーメント (確率論)|物理量のモーメント|モーメント}}
{{Expand English|Moment (mathematics)|date=2024年5月}}
[[数学]]の[[確率論]]および関係した諸分野における'''モーメント''' ({{lang|en|moment}}) または'''積率'''（せきりつ）とは、[[物理学]]における[[モーメント]]を抽象化した概念である。

実変数 {{mvar|x}} に関する[[関数 (数学)|関数]] {{math|''f''(''x'')}} の {{mvar|n}} 次モーメント <math>\mu^{(0)}_n</math> は、
:<math>\mu^{(0)}_n =\int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\, dx</math>
で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 {{math|''f''(''x'')}} は一意に決定される。<math>\mu = \mu^{(0)}_1 / \mu^{(0)}_0</math> は {{mvar|f}} を密度関数とする[[測度]]の[[重心]]を表している。

関数 {{math|''f''(''x'')}} の {{mvar|c}} 周りの {{mvar|n}} 次モーメント <math>\mu^{(c)}_n</math> は、
:<math>\mu^{(c)}_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n f(x)\, dx</math>
で表される。

重心周りのモーメント {{math2|''μ{{sub|n}}'' {{=}} ''μ''{{sup|(''μ'')}}{{sub|''n''}}}} を'''中心モーメント'''または'''中心化モーメント'''といい、こちらを単にモーメントということもある。

== 確率分布のモーメント ==
{{main|モーメント (確率論)}}
[[確率測度|確率密度関数]] {{math|''f''(''x'')}} のモーメントには、次のような[[要約統計量#モーメントから求められる要約統計量|要約統計量]]としての意味付けがある。
* 全測度は{{math|1}}：<math>\mu^{(0)}_0 = 1</math> 。
*<math>\mu = \mu^{(0)}_1</math> は {{mvar|x}} の[[平均値]]。
*<math>\sigma^2 = \mu_2 = \mu^{(0)}_2 - (\mu^{(0)}_1)^2</math> は[[分散 (確率論)|分散]]、<math>\sigma = \sqrt{\mu_2}</math> は[[標準偏差]]。
*<math>\gamma_1 = \mu_3 / \sigma^3</math> は[[歪度]]。
*<math>\gamma_2 = \mu_4 / \sigma^4 - 3</math> は[[尖度]]。

== 変量統計のモーメント ==
変量統計における、データ {{math2|''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|N}}''}} のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では
:<math>\mu^{(0)}_n = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N {x_i}^n, \quad \mu^{(c)}_n = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - c)^n, \quad \mu_n = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^n</math>
と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。

もう1つの変量統計のモーメントの定義では
:<math>\mu^{(0)}_n = \sum_{i=1}^N {x_i}^n, \quad \mu^{(c)}_n = \sum_{i=1}^N (x_i - c)^n, \quad \mu_n = \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^n</math>
と表される。

この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。
*<math>\mu^{(0)}_0 = N</math>。
*<math>\mu = \mu^{(0)}_1 / N</math> は平均値。
*<math>\sigma^2 = \mu_2 / N = \{ \mu^{(0)}_2 - (\mu^{(0)}_1)^2 \} / N</math> は分散、<math>\sigma = \sqrt{\mu_2 / N}</math> は標準偏差。
*<math>\gamma_1 = \mu_3 / N \sigma^3</math> は歪度。
*<math>\gamma_2 = \mu_4 / N \sigma^4 - 3</math> は尖度。

== 画像のモーメント ==
2変数関数 {{math|''f''(''x'', ''y'')}} の {{math|(''m'' + ''n'')}} 次モーメント <math>\mu^{(0)}_{mn}</math> は、
:<math>\mu^{(0)}_{mn} = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x^m y^n f(x,y)\, dxdy</math>
または、デジタル画像に対しては、
:<math>\mu^{(0)}_{mn} = \sum_x \sum_y x^m y^n f(x,y)</math>
で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。
*<math>\mu^{(0)}_{00}</math> は[[面積]]（ピクセル値の総和。[[二値画像]]などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。）。
*点 <math>(\mu^{(0)}_{10} / \mu^{(0)}_{00}, \mu^{(0)}_{01} / \mu^{(0)}_{00})</math> は[[重心]]。
*[[慣性主軸]]（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは<math> \tan \theta</math> で、{{mvar|θ}} は<math>\tan 2\theta = 2 \mu^{(0)}_{11} / (\mu^{(0)}_{20} - \mu^{(0)}_{02} )</math> を満たす。
*慣性主軸を {{mvar|x}} 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを <math>\mu^{(0)}_{00}</math> で割った値は拡大縮小に対し不変。

モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。

== 参考文献 ==
* {{MathWorld|urlname=Moment|title=Moment}}
* {{Cite book|和書|title=確率論の基礎概念|author=アンドレイ・コルモゴロフ|authorlink=アンドレイ・コルモゴロフ|translator=根本伸司|publisher=東京図書|edition=新装版|year=1988|id=ISBN 978-4489002700}}
* {{Cite book|和書|title=確率論|author=舟木直久|series=講座数学の考え方|publisher=朝倉書店|year=2004|id=ISBN 978-4254116007}}

{{DEFAULTSORT:もおめんと}}
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[[Category:統計量]]
[[Category:画像処理]]
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