モーリーの定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2016-05}}
[[画像:Morley triangle.png|thumb|モーリーの定理]]
'''モーリーの定理'''（モーリーのていり、{{lang-en-short|Morley's trisector theorem}}）とは、[[初等幾何学]]における[[三角形]]についての定理である。[[1899年]]にアメリカの数学者[[フランク・モーリー]]によって証明された。

== 概要 ==
任意の[[三角形]]においてそれぞれの内角の三等分線を引く。各辺に近い線同士の交点を P, Q, R とすると、三角形PQR は[[正三角形]]になる。この正三角形を(第一)'''モーリーの三角形'''という<ref>{{MathWorld|title=First Morley Triangle |urlname=FirstMorleyTriangle|access-date=2024-03-16}}</ref>。

内角の三等分線の他に外角の三等分線などでも同様に正三角形を作ることができる。この正三角形を第二モーリーの三角形という<ref>{{MathWorld|title=Second Morley Triangle |urlname=SecondMorleyTriangle|access-date=2024-03-16}}</ref>。また対角の方向に(内角+4π)/3だけ回転した線分でも正三角形を作ることができ、これを第三モーリーの三角形という<ref>{{MathWorld|title=Third Morley Triangle |urlname=ThirdMorleyTriangle|access-date=2024-03-16}}</ref>。

== 証明 ==
[[画像:Morley theorem.png|thumb]]
モーリーの定理にはいくつかの証明があるが、その多くが簡単ではない。多くの証明法が、最初に正三角形を定義し、その正三角形の頂点が三等分線の交点上にあることを示すものである。

=== 証明の例 ===
ここでは、[[三角関数]]を利用した証明を挙げる。

{{math2|''a'', ''b'', ''c''}} を以下のように定義する。
* <math>\angle \text{BAC} = 3a^{\circ}</math>
* <math>\angle \text{ABC} = 3b^{\circ}</math>
* <math>\angle \text{ACB} = 3c^{\circ}</math>
:<math>\angle \text{BAC} + \angle \text{ABC} + \angle \text{ACB} = 180^\circ</math>
なので
:<math>a^{\circ} + b^{\circ} + c^{\circ} = 60^{\circ}</math>
計算を簡単にするために外接円の半径を {{math|1}} とすると、3辺の長さは
* <math>\text{AB} = 2 \sin 3c^{\circ}</math>
* <math>\text{BC} = 2 \sin 3a^{\circ}</math>
* <math>\text{CA} = 2 \sin 3b^{\circ}</math>
となる。

{{math|△BPC}} に[[正弦定理]]を適用すると、
:<math>\frac{\text{BP}}{\sin c^{\circ}} = \frac{\text{BC}}{\sin (180^{\circ} - b^{\circ} - c^{\circ} )} = \frac{2 \sin 3a^{\circ}}{\sin (b^{\circ} + c^{\circ} )} = \frac{2 \sin 3a^{\circ}}{\sin (60^{\circ}-a^{\circ})}</math>
:<math>\text{BP} = \frac{2 \sin 3a^{\circ} \sin c^{\circ}}{\sin (60^{\circ} - a^{\circ} )}</math>

{{math|sin 3''a''°}} を以下のように変形する。
: <math>\begin{align}
\sin 3a^{\circ} &= 3\sin a^{\circ} - 4\sin^3 a^{\circ} \\
  &= 4\sin a^{\circ} \left\{ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \sin^2 a^{\circ} \right\} \\
  &= 4\sin a^{\circ} (\sin^2 60^{\circ} - \sin^2 a^{\circ})\\
  &= 4\sin a^{\circ} (\sin 60^{\circ} + \sin a^{\circ})(\sin 60^{\circ} - \sin a^{\circ})\\
  &= 4\sin a^{\circ} \times 2\sin \frac{60^{\circ}+a^{\circ}}{2} \cos \frac{60^{\circ}-a^{\circ}}{2} \times 2\sin \frac{60^{\circ}-a^{\circ}}{2} \cos \frac{60^{\circ}+a^{\circ}}{2} \\
  &= 4\sin a^{\circ} \sin(60^{\circ}+a^{\circ}) \sin(60^{\circ}-a^{\circ})
\end{align}</math>
この式を上の {{math|BP}} の式に代入すると
:<math>\text{BP} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin (60^{\circ}+a^{\circ})</math>
となる。同様に、
:<math>\text{BR} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin (60^{\circ}+c^{\circ})</math>

{{math|△BPR}} に[[余弦定理]]を適用すると
:<math>\text{PR}^2 = \text{BP}^2 + \text{BR}^2 - 2\text{BP} \times \text{BR} \cos b^{\circ}</math>
この式に上で得た {{math2|BP, BR}} の値を代入すると
:<math>\text{PR}^2 = 64 \sin^2 a^{\circ} \sin^2 c^{\circ} \{ \sin^2 (60^{\circ} + a^{\circ} ) + \sin^2 (60^{\circ} + c^{\circ}) - 2 \sin (60^{\circ} + a^{\circ} ) \sin (60^{\circ} + c^{\circ}) \cos b^{\circ} \}</math>

ここで {{math2|1=(60°+ ''a''°) + (60°+ ''c''°) + ''b''°= 120°+ (''a''°+ ''b''°+ ''c''°) = 180°}}である。内角が {{math2|60°+ ''a''°, 60°+ ''c''°, ''b''°}}の三角形に正弦定理と余弦定理を適用すると、
:<math>\sin^2 b^{\circ} = \sin^2 (60^{\circ}+a^{\circ}) + \sin^2(60^{\circ}+c^{\circ}) - 2 \sin(60^{\circ}+a^{\circ}) \sin(60^{\circ}+c^{\circ}) \cos b^{\circ}</math>
:<math>\therefore \text{PR} = 8 \sin a^{\circ} \sin b^{\circ} \sin c^{\circ}</math>
同様に
:<math>\text{PQ} = 8 \sin b^{\circ} \sin a^{\circ} \sin c^{\circ}</math>
:<math>\text{QR} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin b^{\circ}</math>
これより
:<math>\text{PR} = \text{PQ} = \text{QR}</math>
となり、3辺が等しいことが示された。

== 出典 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==

* [[ホフスタッター点]]
* [[三角形の中心]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|639|フランク・モーリーの定理の証明}}

{{DEFAULTSORT:もおりいのていり}}
[[Category:三角形に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]