ヤコビの三重積のソースを表示

{{混同|ヤコビの恒等式}}
'''ヤコビの三重積''' (ヤコビのさんじゅうせき、Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。
:<math>
\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}inv}}
=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}
</math>
但し、<math>\operatorname{Im}{\tau}>0</math>とする。この恒等式はヤコビによる[[テータ関数]]の研究から生まれたものであるが、
<math>q=e^{{\pi}i{\tau}},z=e^{2{\pi}iv}</math>と置くことにより
:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}{q^{n^2}z^{n}}=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}</math>
或いは、<math>q=e^{{\pi}i{\tau}},z=e^{-{\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}</math>と置くことにより
:<math>
\sum_{n=-\infty}^{\infty}{q^{n(n+1)}z^{n}}
=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m}z\right)\left(1+q^{2m-2}z^{-1}\right)}
</math>
となり、数論にも適する形になる。[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]]が1829年の著書{{harvs|txt|authorlink=カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|last=Jacobi|year=1829}}で示した。

== 証明 ==
=== 直接の証明 ===
左辺を<math>\vartheta(v,\tau)</math>、右辺を<math>\Theta(v,\tau)</math>と置き、まず、右辺が疑二重周期を持つことを示す。
:<math>\begin{align}\Theta(v+1,\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}i(v+1)}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+1)}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\Theta(v,\tau)
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}\Theta(v+\tau,\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m+1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-3){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\frac{1+e^{-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}}{1+e^{{\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\frac{e^{-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}+1}{1+e^{{\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}\\
&=e^{-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\Theta(v,\tau)
\end{align}</math>

<math>\operatorname{Im}{\tau}>0</math>により<math>|e^{2m{\pi}i{\tau}}|<1</math>であるから、右辺の零点は
:<math>\begin{align}
\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)&=0\\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\left(1+2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)&=0\\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\cos{2{\pi}v}&=-\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}}}{2}\\
\cos{2{\pi}v}&=\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}}{2}\\
2{\pi}v&=\left((2m-1){\pi}{\tau}+{\pi}\right)\pm2{\pi}n\\
v&=\frac{1+\tau}{2}+n'+m'{\tau}
\end{align}</math>
に限られる。一方、左辺は
:<math>\begin{align}\vartheta(v+1;\tau)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(v+1)}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}inv}}\\
&=\vartheta(v;\tau)\\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}\vartheta(v+\tau;\tau)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(v+\tau)}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}(n+1)^2-{\pi}i{\tau}+2{\pi}i(n+1)v-2{\pi}iv}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2-{\pi}i{\tau}+2{\pi}inv-2{\pi}iv}}\\
&=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta(v;\tau)\\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}\vartheta_3(\frac{1+\tau}{2};\tau)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(\frac{1+\tau}{2})}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{{\pi}i{\tau}(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}{\pi}i{\tau}}}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}e^{{\pi}i{\tau}(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}{\pi}i{\tau}}}
+\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n+1}e^{{\pi}i{\tau}(-n-1+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}{\pi}i{\tau}}}\\

&=0
\end{align}</math>
であるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、[[リウヴィルの定理 (解析学)|リウヴィルの定理]]により、
:<math>
c(\tau,v)=\frac{\vartheta(v,\tau)}{\Theta(v,\tau)}=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}inv}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}}
</math>
は<math>v</math>に依存しない。

:<math>\begin{align}c\left(\textstyle\frac{1}{2},\tau\right)
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+{\pi}in}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}c\left(\textstyle\frac{1}{4},\tau\right)
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+{\pi}in/2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i/2}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i/2}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+ie^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)\left(1-ie^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{8m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
\end{align}</math>
分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。
:<math>\begin{align}c\left(\textstyle\frac{1}{4},\tau\right)
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{4{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{8m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=c\left(\textstyle\frac{1}{2},4\tau\right)
\end{align}</math>

<math>c(v,\tau)</math>は<math>v</math>に依存しないから
:<math>c\left(v,4\tau\right)=c\left(v,\tau\right)=\lim_{n\to\infty}c\left(v,4^{-n}\tau\right)=\lim_{\tau'\to0}c\left(v,\tau'\right)=c(v,0)</math>
であり、<math>c(v,\tau)</math>は<math>\tau</math>にも依存しない定数である。<math>\tau\to{+i}\infty</math>として<math>c(v,\tau)=1</math>を得る。結局、両辺は等しい。

=== ラマヌジャンの和公式による証明 ===
ヤコビの三重積は[[ラマヌジャンの和公式]]の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式
:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(|q|<1,|b/a|<|z|<1)</math>
は[[q二項定理]]から導かれる。ラマヌジャンの和公式に<math>b=0</math>を代入すると
:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}(a;q)_nz^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(q/az;q\right)_\infty}{(z;q)_\infty\left(q/a;q\right)_\infty}</math>
となり、<math>q</math>を<math>q^2</math>と書き、<math>z</math>を<math>-qz/a</math>と書けば
:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}(a;q^2)_n\left(-\frac{qz}{a}\right)^{n}=\frac{(-qz;q^2)_\infty(q^2;q^2)_\infty\left(-q/z;q^2\right)_\infty}{(-qz/a;q^2)_\infty\left(q^2/a;q^2\right)_\infty}</math>
となる。[[qポッホハマー記号#変換式|qポッホハマー記号の変換式]]
:<math>\left(aq^{-n+1};q\right)_n=\left(-a\right)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\frac{1}{a};q\right)_n</math>
により、左辺は
:<math>\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(a;q^2)_n\left(-\frac{qz}{a}\right)^{n}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(aq^{2n-2}q^{-2n+2};q^2)_n\left(-\frac{qz}{a}\right)^{n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-aq^{2n-2})^nq^{-2n(n-1)/2}(1/aq^{2n-2};q)_n\left(-\frac{qz}{a}\right)^{n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^n(1/aq^{2n-2};q)_n\\
\end{align}</math>
であるから、<math>a\to\infty</math>の極限を取れば
:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^{n}=(-qz;q^2)_\infty(q^2;q^2)_\infty\left(-q/z;q^2\right)_\infty</math>
となり、[[qポッホハマー記号]]を展開して
:<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^{n}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1+q^{2m-1}/z)(1+q^{2m-1}z)</math>
を得る。

=== ヤコビの原証明 ===
{{harvs|txt|authorlink=カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|last=Jacobi|year=1829|page=180-182}}の原証明は[[冪級数]]の操作のみを用いている。まず
:<math>
\begin{align}
Q(x)= & (1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)\cdots, \\
R(x, z)= & (1+xz)(1+x^3 z)(1+x^5 z)\cdots, \\
S(x, z)= & \frac{1}{(1-xz)(1-x^2 z)(1-x^3 z)\cdots}
\end{align}
</math>
とおく。ヤコビの三重積は <math>Q(x)R(x, z^{-1})R(x, z)</math> であらわされる。

まず <math>R(x, z)</math> について、
:<math>R(x, zx^2)=(1+x^3z)(1+x^5z)(1+x^7z)\cdots</math>
より
:<math>R(x, z)=(1+xz)R(x, zx^2)</math>
が成り立つ。そこで
:<math>R(x, z)=1+a_1(x) z+a_2(x) z^2+\cdots</math>
とおくと
:<math>(1+a_1(x)z+a_2(x) z^2+\cdots )=(1+xz)(1+a_1(x)x^2 z+a_2(x)x^4 z^2+\cdots)</math>
より
:<math>a_n(x)=a_n(x)x^{2n}+a_{n-1}(x)x^{2n-1},</math>
つまり
:<math>a_n(x)=\frac{a_{n-1}(x)x^{2n-1}}{1-x^{2n}}, a_0(x)=1</math>
が成り立つ。この漸化式を解くと
:<math>a_n(x)=\frac{x^{n^2}}{(1-x^2)(1-x^4)\cdots (1-x^{2n})}</math>
が得られる。

次に <math>S(x, z)</math> について、
:<math>S(x, zx)=\frac{1}{(1-x^2z)(1-x^3 z)(1-x^4 z)\cdots}=(1-xz)S(x, z)</math>
が成り立つ。そこで
:<math>S(x, z)=1+\frac{b_1(x)z}{1-xz}+\frac{b_2(x)z^2}{(1-xz)(1-x^2 z)}+\cdots</math>
とおくと
:<math>
\begin{align}
S(x, z)= & \frac{S(x, zx)}{1-xz} \\
= & \frac{1}{1-xz}\left(1+\frac{b_1(x)xz}{1-x^2 z}+\frac{b_2(x)x^2 z^2}{(1-x^2 z)(1-x^3 z)}+\cdots\right) \\
= & \frac{1}{1-xz}+\frac{b_1(x)xz}{(1-xz)(1-x^2 z)}+\frac{b_2(x)x^2 z^2}{(1-xz)(1-x^2 z)(1-x^3 z)}\cdots
\end{align}
</math>
であるが
:<math>
\frac{b_m(x)x^mz^m}{(1-xz)(1-x^2 z)\cdots (1-x^{m+1}z)}=\frac{b_m(x)x^mz^m}{(1-xz)(1-x^2 z)\cdots (1-x^m z)}+\frac{b_m(x)x^{2m+1}z^{m+1}}{(1-xz)(1-x^2 z)\cdots (1-x^{m+1}z)}
</math>
より
:<math>b_n(x)=b_n(x)x^n+b_{n-1}x^{2n-1},</math>
つまり
:<math>b_n(x)=\frac{b_{n-1}(x)x^{2n-1}}{1-x^n}, b_0(x)=1</math>
が成り立つ。この漸化式を解くと
:<math>b_n(x)=\frac{x^{n^2}}{(1-x)(1-x^2)\cdots (1-x^n)}</math>
が得られる。

さて、ヤコビの三重積の冪級数展開を得たいが、代わりに <math>R(x, z)R(x, z^{-1})</math> の冪級数展開について考える。
:<math>R(x, z)R(x, z^{-1})=(1+a_1(x) z+a_2(x) z^2+\cdots)(1+a_1(x) z^{-1}+a_2(x) z^{-2}+\cdots)</math>
より
<math>R(x, z)R(x, z^{-1})</math> を冪級数展開したときの <math>z^m</math> および <math>z^{-m}</math> の係数は共に
:<math>
\begin{align}
& a_m(x)+a_{m+1}(x)a_1(x)+a_{m+2}(x)a_2(x)+\cdots \\
= & a_m(x)\left(1+\frac{x^{2m+2}}{(1-x^2)(1-x^{2m+2})}+\frac{x^{4m+8}}{(1-x^2)(1-x^4)(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})}+\cdots \right) \\
= & a_m(x)\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k^2}}{(1-x^2)(1-x^4)\cdots (1-x^{2k})}\times \frac{x^{2km}}{(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots (1-x^{2(m+k)})} \\
\end{align}
</math>
に一致するが、これは、上記の <math>S(x, z)</math> の展開より
:<math>
\begin{align}
= & a_m(x)\sum_{k=0}^\infty \frac{b_k(x^2) x^{2km}}{(1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots (1-x^{2(m+k)})} \\
= & a_m(x)S(x^2, x^{2m}) \\
= & \frac{x^{m^2}}{(1-x^2)(1-x^4)\cdots (1-x^{2m})\times (1-x^{2m+2})(1-x^{2m+4})\cdots} \\
= & \frac{x^{m^2}}{(1-x^2)(1-x^4)\cdots} \\
= & \frac{x^{m^2}}{Q(x)}
\end{align}
</math>
に一致する。よって
:<math>Q(x)R(x, z)R(x, z^{-1})=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x^{m^2}z^m</math>
が成り立つ。


== 関連項目 ==
* [[ワトソンの五重積]]
* [[オイラーの五角数定理]]

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Jacobi | first1=C. G. J. | title=Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum | url=https://archive.org/details/fundamentanovat00jacogoog | publisher=Borntraeger|place=Königsberg | language=Latin | isbn=978-1-108-05200-9 | id=Reprinted by [[Cambridge University Press]] 2012 | year=1829}}
*{{Citation |last=Andrews| first=G. E. |authorlink=ジョージ・アンドリューズ |title= A simple proof of Jacobi's triple product identity| url=https://www.ams.org/journals/proc/1965-016-02/S0002-9939-1965-0171725-X/ | publisher=[[American Mathematical Society]]| year=1965}}
*{{Citation |last=Carlitz| first=L | title=A note on the Jacobi theta formula | url=https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183524930| publisher=[[American Mathematical Society]]| year=1962}}
*{{Citation |last=Wright| first=E. M.| title= An Enumerative Proof of An Identity of Jacobi| url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s1-40.1.55 | publisher=[[London Mathematical Society]]| year=1965}}

{{DEFAULTSORT:やこひのさんしゆうせき}}
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[[Category:数論の定理]]
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[[Category:数学に関する記事]]
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