ヤコビ恒等式のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年3月}}
[[数学]]における'''ヤコビ恒等式'''（ヤコビこうとうしき、{{lang-en|Jacobi identity}}）とは、[[二項演算]]に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]]に由来する。ヤコビは1862年の微分方程式に関する論文の中で[[ポアソン括弧]]に対するヤコビ恒等式を導いた<ref name="Poisson1809">[[#jacobi1862|C. G. J. Jacobi (1862), &sect; 26, Theorem V.]]</ref><ref name="Hawkins1991">[[#hawkins1991|T. Hawkins (2009)]]</ref>。

== 定義 ==
集合 <math>S</math> に二項演算 <math>*</math> と[[交換法則|可換]]かつ[[単位元]] <math>0</math> を持つ二項演算 <math>+</math> が定義され、この<math>(S,+,*)</math> について、
: <math>a*(b*c) +  b*(c*a) + c*(a*b) = 0\quad \forall{a,b,c}\in S.</math>
が成立するとき、<math>(S,+,*)</math> はヤコビ恒等式を満たすという。

* <math>S</math> が <math>+</math> によって[[加法群]]の構造を持ち、[[ねじれ元]]を持たないとき、<math>S</math> の元は <math>*</math> に関して[[冪零]]である。実際上記の恒等式で ''a'' = ''b'' = ''c'' とおけばよい。

==式の解釈==
<math>S</math> が <math>+</math> によって[[加法群]]の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は
: <math>x*(b*c) = -c*(x*b) - b*(c*x)</math>
という形で書くことができる。左辺を ''x'' に対する ''b'' * ''c'' の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを ''b'' の作用と ''c'' の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。

==例==
;三次元ベクトルにおける外積
三次元のベクトル空間における[[クロス積|外積]]（クロス積）はヤコビ恒等式を満たす。
: <math>\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times \boldsymbol c) + \boldsymbol b\times(\boldsymbol c\times \boldsymbol a) +
\boldsymbol c\times(\boldsymbol a\times \boldsymbol b) = \boldsymbol 0 </math>

;リー環
[[リー環]]における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。

:<math>[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0</math>
括弧積を随伴作用と考えれば、環上の[[微分]]における[[ライプニッツ則]]として捉えることができる。すなわち、
:<math>\mathrm{ad}_X(Y)=[X,Y]</math>
と表せば、上述のヤコビ恒等式は
:<math>\mathrm{ad}_Z([X,Y])=[\mathrm{ad}_Z(X),Y]+[X,\mathrm{ad}_Z(Y)]</math>
であり、ライプニッツ則として解釈できる。
;ポアソン括弧
[[解析力学]]における[[ポアソン括弧]]はヤコビ恒等式を満たす。
:<math>\{ \{ f, g \}, h \}+\{ \{ h, f \}, g \}+\{ \{ g, h \},f\}=0</math>
;交換関係
[[量子力学]]における[[交換関係 (量子力学)|交換子]]はヤコビ恒等式を満たす。
:<math>[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0</math>

== 脚注 ==
===出典===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
===論文===
*{{Cite journal
|first1=C. G. J.
|last1=Jacobi
|authorlink1=カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ
|title=Nova methodus, aequationes differentiales partiales primi ordinis inter numerum variabilium quemcunque propositas integrandi
|journal=Jl. für die reine u. angew. Math.
|year=1862
|volume=60
|page=1-181
|url=https://eudml.org/doc/147847
|doi=
|ref=jacobi1862}}
*{{Cite journal
|first1=Thomas
|last1=Hawkins
|authorlink1=:en:Thomas W. Hawkins Jr.
|title=Jacobi and the Birth of Lie's Theory of Groups
|journal=Arch. Hist. Exact Sci.
|year=1991
|volume=42
|page=187-278
|doi=10.1007/BF00375135
|ref=hawkins1991}}

==関連記事==
*[[リー環]] 
*[[代数的構造]]

{{Abstract-algebra-stub}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:やこひこうとうしき}}
[[Category:代数的構造]]
[[Category:恒等式]]
[[Category:カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]]
[[Category:数学に関する記事]]
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[[Category:数学のエポニム]]