ヤングの畳み込み不等式のソースを表示

[[数学]]における'''ヤングの畳み込み不等式'''（ヤングのたたみこみふとうしき、{{lang-en-short|''Young's convolution inequality''}}）は、[[ウィリアム・ヘンリー・ヤング]]に名を因む、ふたつの函数の[[畳み込み]]に関する[[不等式]]である<ref>{{citation |first1= W. H. |last1= Young |author-link= William Henry Young |year= 1912 |title= On the multiplication of successions of Fourier constants | journal = [[Proceedings of the Royal Society A]] |volume= 87 |issue= 596 |pages= 331–339 |doi= 10.1098/rspa.1912.0086 |jfm= 44.0298.02 |jstor= 93120}}</ref>。

== 定理の主張 ==
[[実解析]]において、'''ヤングの畳み込み不等式'''<ref>{{citation |last= Bogachev |first= Vladimir I. |title= Measure Theory |volume= I |publisher= Springer-Verlag |location= Berlin, Heidelberg, New York |year= 2007 |isbn= 978-3-540-34513-8 |mr= 2267655 |zbl= 1120.28001}}</ref>{{rp|at=Theorem&nbsp;3.9.4}}は以下のようなものである:
; 定理 (Young's convolution inequality)
: {{math|''f'' ∈ ''L{{sup|p}}''('''ℝ'''{{sup|''d''}}), ''g'' ∈ ''L{{sup|q}}''('''ℝ'''{{sup|''d''}})}} で <math display="block">\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} +1\qquad (1\le p, q, r\le\infty)</math> が満たされるならば、不等式 <math display="block">\|f*g\| _r\le\|f\|_p\|g\|_q</math> が成り立つ。ここに、左辺の {{math|&lowast;}} は[[畳み込み]]で、{{mvar|L{{sup|p}}}} は[[ルベーグ空間|ルベーグ {{mvar|p}}-乗可積分函数の空間]]および <math display="block">\|f\|_p := \Bigl(\int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^p\mathit{dx}\Bigr)^{1/p}</math> は [[pノルム|{{mvar|L{{sup|p}}}}-ノルム]]である。

おなじことだが、以下のように述べることもできる:
: {{math|''p, q, r'' &ge; 1}} が <math display="inline">\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 2</math> を満たすならば <math display="block"> \int_{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d}
   f(x)g(x - y)h(y)
 \mathit{dx}\,\mathit{dy} \le
 \Bigl(\int_{\mathbb{R}^d} \vert f\vert^p \Bigr)^{1/p}
 \Bigl(\int_{\mathbb{R}^d} \vert g\vert^q \Bigr)^{1/q}
 \Bigl(\int_{\mathbb{R}^d} \vert h\vert^r \Bigr)^{1/r}
</math> が成り立つ。

; 一般化: ヤングの畳み込み不等式は、{{math|'''ℝ'''{{sup|''d''}}}} を[[単模群]] {{var|G}} に取り換えた自然な一般化ができる。{{mvar|G}} 上の両側[[ハール測度]]を {{mvar|μ}} とすれば {{mvar|μ}} に関する[[ルベーグ積分|積分]]が定義できて、{{mvar|G}} 上の[[実数|実]]または[[複素数]]値函数 {{mvar|f, g}} に対して <math display="block">f*g(x) := \int_G f(y)g(y^{-1}x)\,\mathit{d\mu}(y)</math> および <math display="block">\|f\|_p := \Bigl(\int_G |f(x)|^p\,\mathit{d\mu}(x)\Bigr)^{1/p}</math> と定めれば、{{math|''f'' ∈ ''L{{sup|p}}''(''G'', ''μ''), ''g'' ∈ ''L{{sup|q}}''(''G'', ''μ'')}} に対して、件の不等式 <math display="block">\|f*g\| _r\le\|f\|_p\|g\|_q</math> はそのままの形で成り立つ（もちろん、<math display="inline">\int_{G\times G} f(x)g(x - y)h(y)\mathit{d\mu}(x)\mathit{d\mu}(y) \le (\int_G \vert f\vert^p)^{1/p}(\int_G \vert g\vert^q)^{1/q}(\int_G \vert h\vert^r )^{1/r}</math> とも書ける）。
: 事実として、{{math|'''ℝ'''{{sup|''d''}}}} は{{ill2|局所コンパクトアーベル群|en|locally compact abelian group}}、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。

== より厳密な評価 ==
{{math|''p, q'' > 1}} の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 {{math|''c{{sub|p,q}}'' < 1}} を含む <math display="block">\|f*g\| _r\le c_{p,q} \|f\|_p\|g\|_q</math> の形のより厳密な評価にすることができる<ref>{{Cite journal |last= Beckner |first= William |year= 1975 |title= Inequalities in Fourier Analysis |jstor= 1970980 |journal= Annals of Mathematics |volume= 102 |issue= 1 |pages= 159–182 |doi= 10.2307/1970980}}</ref><ref>{{Cite journal |last= Brascamp |first= Herm Jan |last2= Lieb |first2= Elliott H|date=1976-05-01 |title= Best constants in Young's inequality, its converse, and its generalization to more than three functions |url= http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870876901845 |journal= Advances in Mathematics |volume= 20 |issue= 2 |pages= 151–173 |doi= 10.1016/0001-8708(76)90184-5}}</ref><ref>{{Citation |last= Fournier |first= John J. F. |title= Sharpness in Young's inequality for convolution |journal= Pacific J. Math. |volume= 72 |issue= 2 |pages= 383&ndash;397 |year= 1977 |url= http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm/1102811121&page=record |doi= 10.2140/pjm.1977.72.383 |zbl= 0357.43002 |mr= 0461034}}</ref>。この最適化定数が達成されるとき、函数 {{mvar|f, g}} は{{ill2|多変量ガウス分布|label=高次元ガウス函数|en|Multivariate normal distribution}} である。

== 証明 ==
最適化定数 {{math|1}} のヤングの不等式には、初等的な証明がある<ref>{{Cite book |url= https://www.worldcat.org/oclc/45799429 |title= Analysis |last= Lieb |first= Elliott H. |last2= Loss |first2= Michael |year= 2001 |publisher= American Mathematical Society |isbn= 978-0-8218-2783-3 |edition= 2nd |series= Graduate Studies in Mathematics |location= Providence, R.I. |pages= 100 |oclc= 45799429 |author-link= Elliott H. Lieb}}</ref>。

位相群の不変積分版の証明を以下に示す:
{{math proof | drop=yes | title= ヘルダーの不等式による一般の場合の証明 |
{{mvar|G}} はハール測度 {{mvar|μ}} を持つ単模群とし、函数 {{math|''f, g, h'': ''G'' → '''ℝ'''}} は非負かつ可積分とする。また、任意の可測集合 {{math|''S'' &sub; ''G''}} に対して反転不変性: <math display="inline">\mu(S)=\mu(S^{-1})</math> が成立する（したがって、積分も反転不変）という事実を用いる。

いま、<math display="inline">p(2 - \frac{1}{q} - \frac{1}{r}) = q(2 - \frac{1}{p} - \frac{1}{r}) = r(2 - \frac{1}{p} - \frac{1}{r}) = 1 </math> であるから、<math display="block">\begin{align}
& \int_{G\times G} f(x)g(y^{-1}x)h(y) \mathit{d\mu}(x)\mathit{d\mu}(y)\\
& \qquad = \int_{G\times G}
    \Bigl(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^q \Bigr)^{1 - \frac{1}{r}}
    \Bigl(f(x)^p h(y)^r \Bigr)^{1 - \frac{1}{q}}
    \Bigl(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^r \Bigr)^{1 - \frac{1}{p}}
  \mathit{d\mu}(x)\mathit{d\mu}(y)
\end{align}</math> とできる。右辺に三函数に対する[[ヘルダーの不等式]]を適用すれば、<math display="block">\begin{align}
& \int_{G\times G} f(x)g(y^{-1}x)h(y) \mathit{d\mu}(x)\mathit{d\mu}(y)\\
& \qquad \le \Bigl(
    \int_{G\times G} f(x)^p g(y^{-1}x)^q \mathit{d\mu}(x)\mathit{d\mu}(y)
  \Bigr)^{1 - \frac{1}{r}} \Bigl(
    \int_{G\times G} f(x)^p h(y)^r \mathit{d\mu}(x)\mathit{d\mu}(y)
  \Bigr)^{1 - \frac{1}{q}} \Bigl(
    \int_{G\times G} g(y^{-1}x)^q h(y)^r \mathit{d\mu}(x)\mathit{d\mu}(y)
  \Bigr)^{1 - \frac{1}{p}}
\end{align}</math> が導かれ、ここから、ハール測度の左不変性と、積分が反転不変であるという事実、および[[フビニの定理]]により、結論を得る。
}}

== 応用 ==
ヤングの不等式の応用の一つの例が、{{math|''L''{{sup|2}}}}-ノルムを用いて {{ill2|ヴァイヤシュトラス変換|en|Weierstrass transform|label=熱半群}}が[[縮小半群]]である（つまり、ヴァイヤシュトラス変換が {{math|''L''{{sup|2}}}}-ノルムを大きくしない）ことを示すことである。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{ProofWiki|urlname=Young's_Inequality_for_Convolutions|title=Young's Inequality for Convolutions}}

{{DEFAULTSORT:やんくのたたみこみふとうしき}}
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[[Category:畳み込み]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学のエポニム]]