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'''ヤン＝ミルズ理論'''（ヤン＝ミルズりろん、{{lang-en-short|Yang-Mills theory}}）は、[[1954年]]に[[楊振寧]]と[[ロバート・ミルズ]]によって提唱された[[非可換幾何|非可換]][[ゲージ場]]の理論のことである<ref name="yang-mills">[[#yang|Yang and Mills (1954)]]</ref>。

なお、その少し前に[[ヴォルフガング・パウリ]]<ref name=Straumann>Straumann, N: "On Pauli's invention of non-Abelian Kaluza-Klein Theory in 1953" e-print arXiv.gr=qc/0012054</ref><ref>See Abraham Pais' account of this period as well as L. Susskind's "Superstrings, Physics World on the first non-Abelian gauge theory" where Susskind wrote that Yang-Mills was "rediscovered" only because Pauli had chosen not to publish</ref>と[[内山龍雄]]も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。

== 概要 ==
この理論は元々、[[ヘルマン・ワイル|ワイル]]らによって研究が進められていた可換対称性に基づく[[ゲージ理論]]を、非可換対称性にまで発展させた理論である。
非可換ゲージ理論の代表的なものであり、他の非可換ゲージ理論としては[[チャーン＝サイモンズ理論]]などがある。

この理論は最初、陽子と中性子の[[アイソスピン]]SU(2)対称性に着目して構築された模型である<ref name="yang-mills"/>。これ自体は実験と合わなかったが、現在でも[[自発的対称性の破れ|自発的に破れた]][[弱アイソスピン]]と[[弱超電荷|ハイパーチャージ]]のSU(2)×U(1)対称性に受け継がれているといえる（[[ワインバーグ＝サラム理論]]）。
このように対称性が破れる模型もヤン＝ミルズ理論に含む場合もある。

現在の典型的なヤン＝ミルズ理論は[[カラーチャージ|カラー]]SU(3)対称性に基づく[[量子色力学]]である。
また、検証されていない理論として、SU(5)やSO(10)対称性に基づく[[大統一理論]]などがある。
[[超対称性]]を持つように拡張される場合もあり、'''[[N=4 超対称ヤン・ミルズ理論|超対称ヤン＝ミルズ理論]]'''（{{en|super Yang-Mills theory}}、SYM）と呼ばれる。各種[[超対称性理論]]の基礎として、また[[超弦理論]]との関係などから、現在盛んに研究されている。
理論模型としては、ゲージ場だけで物質場を含まない模型は純粋なヤン＝ミルズ理論（{{en|pure Yang-Mills theory}}）と呼ばれる。

また、現実に（仮に近似的だとしても）ヤン＝ミルズ理論が存在する以上、現実を説明する素粒子仮説は、適当な状況設定の下でヤン＝ミルズ理論を再現するように作られる事が多い。ヤン＝ミルズ理論を内包している理論に、[[カルツァ＝クライン理論]]や[[超弦理論]]がある。

== 内容 ==
ヤン＝ミルズ理論は、非可換[[リー群]]をゲージ対称性に持つ[[ゲージ理論]]である。

パラメータ <math>\epsilon^a</math> で特徴付けられるリー群
{{Indent|
<math>G(\epsilon) = \exp(i\epsilon^a T^a)</math>
}}
を考える。
ここで、T はリー群の[[リー群#指数写像|生成子]]である。
群の非可換性を反映して生成子の[[リー代数]]は
{{Indent|
<math>[T^a,T^b]=if^{abc} T^c</math>
}}
となる。f は群の[[構造定数 (数学)|構造定数]]である。

=== ゲージ変換 ===
局所化されたパラメータ <math>\xi^a(x)</math> で特徴付けられるゲージ変換の下で、リー群の表現の添え字 i をもつ場 <math>\phi_i(x)</math> は
{{Indent|
<math>\phi_i(x) \mapsto \phi'_i(x)
 = [G(g\xi(x))]_{ij} \phi_j(x)
 = [\exp(ig\xi^a(x)T^a)]_{ij} \phi_j(x)</math>
}}
と変換される。
パラメータの一次を考えると
{{Indent|
<math>\delta_\xi\phi(x) = ig\xi^a(x)T^a_{ij}\phi_j(x)</math>
}}
となる。
ここで生成子 <math>T^a_{ij}</math> は、ゲージ変換の下での場 <math>\phi_i(x)</math> の属する表現での[[線型写像#行列表現|行列表現]]である。ゲージ変換の下での場の変換性を決める生成子の表現は'''[[チャージ (物理学)|チャージ]]'''と呼ばれる。

gは理論の'''[[結合定数 (物理学)|結合定数]]'''で、'''ゲージ結合定数'''と呼ばれる。この理論の大きな特徴として、共変微分やヤン＝ミルズ項に含まれる全ての結合定数が等しい事が挙げられる（'''結合定数の普遍性'''）。この普遍性は[[標準模型]]においても検証されており、素粒子物理がゲージ理論で記述される事の強い傍証となっている。

=== 共変微分 ===
ヤン＝ミルズ理論において、[[ラグランジアン]]に含まれる場の微分 <math>\partial_\mu\phi_i(x)</math> は'''共変微分'''
{{Indent|
<math>\mathcal{D}_\mu\phi_i(x)
 \equiv \partial_\mu\phi_i(x) -igA^a_\mu(x) T^a_{ij}\phi_j(x)</math>
}}
へと置き換えられる。ここで <math>A^a_\mu(x)</math> はゲージ場である。
ゲージ場はゲージ変換の下でパラメータの一次で
{{Indent|
<math>\delta_\xi A^a_\mu(x)
 = gf^{abc}\xi^c(x)A^b_\mu(x) +\partial_\mu\xi^a(x)
 = \mathcal{D}_\mu\xi^a(x)</math>
}}
と変換される。
従って共変微分は
{{Indent|
<math>\delta_\xi\mathcal{D}_\mu\phi_i(x)
 = ig\xi^a(x)T^a_{ij}\mathcal{D}_\mu\phi_j(x)</math>
}}
と変換し、場と同じ変換性をもつ。
これにより、様々な場からゲージ対称性を満足する項を作る事が出来る<ref>微分とはその定義{{Indent|<math>f^\prime = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x}</math>}}からも分かる通り、本質的に空間上の二点の値に依存する。従って、各点ごとに独立なゲージパラメタを持つ局所ゲージ変換の上で不変な項を作る事は、通常の微分からでは不可能である。その変化分を相殺するために、共変微分及びゲージ場が必要とされる。つまり、局所ゲージ不変性を要請する事と、ゲージ場の存在を要請する事とは同じ事である。field-strengthは、ゲージ場だけから作られるゲージ共変なテンソルとして一意に定まる。[[微分幾何学]]の言葉では、ゲージ場は[[接続 (幾何学)|接続]]、ゲージ場の強度は[[曲率]]となる。</ref>。
種々の場はゲージ場と共変微分を通してのみ相互作用をする。相互作用の形はゲージ変換の下での変換性で決まり、このような相互作用の形は最小結合（{{en|minimal coupling}}）の理論と呼ばれる。

=== ヤン＝ミルズ項 ===
ヤン＝ミルズ理論では、[[ラグランジアン]]に'''ヤン＝ミルズ項'''
{{Indent|
<math>\mathcal{L}_\mathrm{YM} \equiv -\frac{1}{4} F^{a\mu\nu} F^a_{\mu\nu}</math>
}}
（各添え字について和を取る）を持つ。 F は'''ゲージ場の強度'''（{{en|field-strength}}）{{Indent|
<math>F^a_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A^a_\nu -\partial_\nu A^a_\mu
 +g f^{abc} A^b_\mu A^c_\nu</math>
}}
である。
非自明な交換関係に伴って、構造定数に関係する項が現れるのが特徴である。

== 繰り込み群と結合定数 ==
[[繰り込み群]]の考え方から、着目するエネルギースケールによって結合定数が変化するという描像を得る事が出来る。<math>n_f</math> 個の[[フレーバー (素粒子)|フレーバー]]を持つゲージ群の表現 <math>r</math> に属するフェルミオンを含むヤン＝ミルズ理論の1ループ[[ベータ関数 (物理学)|ベータ関数]]は、
{{Indent|
<math>\beta(g) = -\frac{g^3}{(4 \pi)^2}
 \left(\frac{11}{3}C_2(G) -\frac{4}{3}n_fC(r)\right)</math>
}}
となる。ただし、<math>C_2(G)</math> は <math>f^{acd}f^{bcd}=C_2(G) \delta^{ab}</math> によって定義される[[随伴表現]]における2次の[[カシミア演算子]]、<math>C(r)</math> は表現 <math>r</math> における生成子の行列表現の規格化定数 <math>\mathrm{Tr}(T^a(r)T^b(r))=C(r) \delta^{ab}</math> である。

量子色力学においては、<math>C_2(G)=3</math> で、<math>C(r)=1/2</math>である。
これは、フェルミオンのフレーバーが少ない場合のヤン＝ミルズ理論が、高エネルギーでは相互作用が弱くなる([[漸近的自由性]])、と読むことが出来る。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
; 論文
* {{Cite journal
|author=C. -N. Yang and R. L. Mills
|title=Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance
|journal=Phys. Rev.
|volume=96
|pages=191
|year=1954
|doi=10.1103/PhysRev.96.191
|ref=yang
}}

; 書籍
* {{Cite book|和書
|author=[[内山龍雄]]
|title=一般ゲージ場論序説
|publisher=[[岩波書店]]
|year=1987
|isbn=4-00-005040-0
|ref=utiyama
}}
*[[佐藤勝彦 (物理学者)|佐藤勝彦]]『アインシュタインが考えた宇宙』[[実業之日本社]]、2005年
*川合光『はじめての超ひも理論』[[講談社現代新書]]、2005年
*{{Cite book|author=Michael E. Peskin|coauthors=Daniel V. Schroeder|title=An Introduction to Quantum Field Theory|publisher=Westview Press|year=1995|id=ISBN 0201503972}}
*{{Cite book|author=Barton Zwiebach|title=A First Course in String Theory|publisher=Cambridge University Press|year=2004|id=ISBN 978-0521831437}}

== 関連項目 ==
* [[標準模型]]
* [[ゲージ理論]]
* [[場の量子論]]
* [[N=4 超対称ヤン・ミルズ理論]]
* [[ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題]]

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:やんみるすりろん}}
[[Category:場の量子論]]
[[Category:素粒子物理学]]
[[Category:ゲージ理論]]
[[Category:楊振寧]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:物理学のエポニム]]