ユニタリ表現のソースを表示

[[数学]]において、[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} の'''ユニタリ表現'''（ユニタリひょうげん、{{lang-en-short|unitary representation}}）とは、複素[[ヒルベルト空間]] {{mvar|V}} 上の {{mvar|G}} の[[線型表現]] {{π}} であって、{{math|&pi;(''g'')}} が任意の {{math|''g''&nbsp;&isin;&nbsp;''G''}} に対して[[ユニタリ作用素]]となるようなものである。一般論は {{mvar|G}} が[[局所コンパクト]]（[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]）[[位相群]]であり表現が{{仮リンク|強連続|en|strongly continuous}}である場合にはよく発展している。

理論は1920年代から[[量子力学]]において広く応用されており、とくに[[ヘルマン・ワイル]]の1928年の本 {{de|''Gruppentheorie und Quantenmechanik''}} に影響を受けている。応用において有用な特定の群だけでなく任意の群 {{mvar|G}} に対してユニタリ表現の一般論を構成したパイオニアの1人は{{仮リンク|ジョージ・ホワイトロー・マッケイ|label=ジョージ・マッキー|en|George Mackey}}であった。

== 調和解析における文脈 ==

群のユニタリ表現の理論は[[調和解析]]と密接な関係にある。群がアーベル群 {{mvar|G}} の場合には、{{mvar|G}} の表現論の完全な描像は[[ポントリャーギン双対性]]によって与えられる。一般に、{{mvar|G}} の[[既約表現|既約]]ユニタリ表現のユニタリ同値類（[[#定義|下記]]参照）はその'''ユニタリ双対''' (unitary dual) をなす。この集合は[[群環|群 {{math|C<sup>*</sup>}} 環]]の構成によって {{mvar|G}} と結びつけられた {{仮リンク|C*環のスペクトル|en|spectrum of a C*-algebra|label=C<sup>*</sup> 環のスペクトル}}と同一視できる。これは[[位相空間]]である。

[[プランシュレルの定理]]の一般形はユニタリ双対上の[[測度]]によって {{math|''L''<sup>2</sup>(''G'')}} 上の {{mvar|G}} の[[正則表現 (数学)|正則表現]]を記述するものである。{{mvar|G}} が可換群の場合には、これはポントリャーギンの双対性の理論によって与えられる。{{mvar|G}} が[[コンパクト群]]の場合には、これは{{仮リンク|ピーター・ワイルの定理|en|Peter–Weyl theorem}}によってなされる。このときユニタリ双対は[[離散空間]]であり、測度は各点においてその次数である<!--the measure attaches an atom to each point of mass equal to its degree.-->{{訳語疑問点|date=2015年4月}}。

== 定義 ==

{{mvar|G}} を位相群とする。ヒルベルト空間 {{mvar|H}} 上の {{mvar|G}} の'''強連続ユニタリ表現''' (strongly continuous unitary representation) とは、{{mvar|G}} から {{mvar|H}} のユニタリ群への群準同型

:<math> \pi\colon G \rightarrow \operatorname{U}(H) </math>

であって、{{math|''g'' {{mapsto}} &pi;(''g'')ξ}} がすべての {{math|ξ&nbsp;∈&nbsp;''H''}} に対してノルム連続関数であるようなものである。

{{mvar|G}} が[[リー群]]であれば、ヒルベルト空間もまた滑らかな構造や解析的な構造を持つことに注意しよう。ベクトル {{math|ξ&nbsp;&isin;&nbsp;''H''}} が'''滑らか''' (smooth) あるいは'''解析的''' (analytic) であるとは、写像 {{math|''g'' {{mapsto}} &pi;(''g'')ξ}} が（{{mvar|H}} のノルムあるいは弱位相に関して）滑らかあるいは解析的であることをいう<ref>Warner (1972)</ref>。滑らかなベクトルは、{{仮リンク|Lars Garding|en|Lars Garding}} の古典的な議論によって {{mvar|H}} において稠密である、なぜならばコンパクト台を持つ滑らかな関数による対合は滑らかなベクトルを生み出すからである。解析的なベクトルは、Roe Goodman によって拡張された {{仮リンク|Edward Nelson|en|Edward Nelson}} の古典的な議論によって、稠密である、なぜならば、{{mvar|G}} の[[普遍包絡代数|普遍包絡環]]における[[楕円型作用素|楕円型微分作用素]] {{mvar|D}} に対応する熱作用素 {{math|''e''<sup>&minus;''tD''</sup>}} の像に入っているベクトルは解析的だからである。滑らかなあるいは解析的なベクトルは稠密な部分空間をなすだけではない。それらは[[スペクトル理論]]の意味で[[リー代数]]の元に対応する非有界歪随伴作用素に対して共通の核<!--common cores-->をなす<ref>Reed and Simon (1975)</ref>。

2つのユニタリ表現 {{math|&pi;<sub>1</sub>:&nbsp;''G''&nbsp;→ U(''H''<sub>1</sub>)}}, {{math|&pi;<sub>2</sub>: ''G'' → U(''H''<sub>2</sub>)}} が'''ユニタリ同値'''であるとは、[[ユニタリ変換]] {{math|''A'': ''H''<sub>1</sub> → ''H''<sub>2</sub>}} が存在して、すべての {{math|''g'' &isin; ''G''}} に対して、<math>A \circ \pi_1 (g) = \pi_2 (g) \circ A</math> となることをいう。これが成り立つとき、{{mvar|A}} を表現 {{math|(&pi;<sub>1</sub>, ''H''<sub>1</sub>)}}, {{math|(&pi;<sub>2</sub>, ''H''<sub>2</sub>)}} に対する{{仮リンク|絡作用素|en|intertwining operator}}という<ref>Sally, Paul J. Jr., Fundamentals of Mathematical Analysis. [https://books.google.co.jp/books?id=b05c370fLdsC&pg=PA234&redir_esc=y&hl=ja pg. 234].</ref>。

== 完全可約性 ==

ユニタリ表現は[[半単純多元環|完全可約]]である。つまり、任意の閉[[不変部分空間]]に対し、[[直交補空間]]は再び閉不変部分空間である。これは観察のレベルであるが、基本的な性質である。例えば、有限次元ユニタリ表現は代数的な意味で必ず既約表現の直和であることが従う。

ユニタリ表現は一般の場合よりも扱うのがはるかに容易なため、'''ユニタリ化可能な表現'''、つまり適切な複素ヒルベルト空間の構造の導入によってユニタリになる表現を考えることは自然である。これは、任意のエルミート構造に対し平均を取る議論によって、{{仮リンク|有限群の表現|en|representations of a finite group|label=有限群}}やより一般に[[コンパクト群]]に対して、非常にうまくいく。例えば、[[マシュケの定理]]の自然な証明はこの手法によってなされる。

== ユニタリ化可能性とユニタリ双対問題 ==

一般に、非コンパクト群に対して、どの表現がユニタリ化可能かを問う問題はより深刻である。数学における重要な未解決問題の1つは'''ユニタリ双対'''の記述、すべての実[[簡約群|簡約]][[リー群]]の[[既約表現|既約]]ユニタリ表現の有効な分類である。すべての既約ユニタリ表現（というよりもそれらの{{仮リンク|ハリッシュ・チャンドラ加群|en|Harish-Chandra module}}）は{{仮リンク|許容表現|label=許容的 (admissible) |en|Admissible representation}}であり、許容表現は{{仮リンク|ラングランズ分類|en|Langlands classification}}によって与えられ、それらの表現のうちどれが非自明な不変[[半双線型形式]]を持つかを知ることは容易である。問題は、いつ二次形式が[[定符号二次形式|正定値]]であるのかを知ることが一般には難しいことである。多くの簡約リー群に対してこの問題は解かれている。例えば {{仮リンク|SL2(R) の表現論|en|representation theory of SL2(R)}}や{{仮リンク|ローレンツ群の表現論|en|representation theory of the Lorentz group}}を参照。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{citation|first=Michael |last=Reed|first2= Barry|last2= Simon|title=Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness|publisher=Academic Press |year= 1975|isbn=0-12-585002-6}} 
*{{citation|title=Harmonic Analysis on Semi-simple Lie Groups I|first=Garth|last= Warner|year=1972|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-05468-5}}

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|誘導表現|en|Induced representations}}
*{{仮リンク|アイソタイプ表現|en|Isotypical representation}}
*{{仮リンク|SL2(R) の表現論|label={{math|SL<sub>2</sub>('''R''')}} の表現論|en|Representation theory of SL2(R)}}
*{{仮リンク|ローレンツ群の表現|en|Representations of the Lorentz group}}
*{{仮リンク|ストーン・フォン・ノイマンの定理|en|Stone–von Neumann theorem}}
*{{仮リンク|star Lie superalgebra のユニタリ表現|en|Unitary representation of a star Lie superalgebra}}
*{{仮リンク|帯球関数|en|Zonal spherical function}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ゆにたりひようけん}}
[[Category:ユニタリ表現論|*]]
[[Category:数学に関する記事]]