ユークリッド距離のソースを表示

[[数学]]における'''ユークリッド距離'''（ユークリッドきょり、{{lang-en-short|'''Euclidean distance'''}}）または'''ユークリッド計量'''（ユークリッドけいりょう、{{lang-en-short|'''Euclidean metric'''}}; ユークリッド距離関数）とは、人が定規で測るような二点間の「通常の」[[距離]]のことであり、[[ピタゴラスの定理|ピタゴラスの公式]]によって与えられる。この公式を距離関数として用いれば[[ユークリッド空間]]は[[距離空間]]となる。ユークリッド距離に付随する[[ノルム]]は'''[[ユークリッドノルム]]'''と呼ばれる。古い書籍などはピタゴラス計量（{{lang-en-short|Pythagorean metric}}）と呼んでいることがある。

== 定義 ==
点 {{mvar|'''p'''}} と {{mvar|'''q'''}} の間の'''ユークリッド距離'''とは、それらをつなぐ[[線分]] {{math|{{overline|'''''pq'''''}}}} の長さをいう。

[[直交座標系]]において、{{mvar|n}}次元[[ユークリッド空間]]内の2点 {{math2|1='''''p''''' = (''p''{{sub|1}}, ''p''{{sub|2}}, &hellip;, ''p{{sub|n}}''), '''''q''''' = (''q''{{sub|1}}, ''q''{{sub|2}}, &hellip;, ''q{{sub|n}}'')}} に対して、{{mvar|'''p'''}} から {{mvar|'''q'''}} への、あるいは{{mvar|'''q'''}} から {{mvar|'''p'''}} への距離（距離函数 {{mvar|d}}）は
{{NumBlk|:|<math>d(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}) = d(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + \cdots + (q_n-p_n)^2} = \sqrt{\textstyle\sum\limits_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}</math>|{{EquationRef|1}}}}
で定義される。ユークリッド空間における点の位置は[[位置ベクトル]]で表されるから、先の {{mvar|'''p'''}} および {{mvar|'''q'''}} は、空間の原点を始点、終点がそれぞれの点である幾何ベクトルと見做すことができる。ベクトルの[[ユークリッドノルム]]（{{lang-en-short|'''Euclidean norm'''}}）、'''ユークリッド長さ'''（{{lang-en-short|'''Euclidean length'''}}）あるいは'''大きさ'''（{{lang-en-short|'''magnitude'''}}）
: <math>\| \boldsymbol{p} \| = \sqrt{{p_1}^2+{p_2}^2+\cdots +{p_n}^2} = \sqrt{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{p}\vphantom{A}}</math>
とは、そのベクトルの長さを測るものである。ただし、最後の等式は[[ドット積]]で表したもの。

ベクトルは、ユークリッド空間の原点（ベクトルの始点）から空間内のどこか一点（ベクトルの終点）を結ぶ[[有向線分]]として記述することもできる。有向線分の長さが実際にその始点から終点までの距離に等しいことに鑑みれば、ベクトルのユークリッドノルムがユークリッド距離の特別な場合（始点から終点までのユークリッド距離）にちょうど等しいことは明白となるだろう。

点 {{math2|'''''p''''', '''''q'''''}} の間の距離に、例えば {{mvar|'''p'''}} から {{mvar|'''q'''}} への[[向き]]を入れて考えるならば、それは新たにベクトル
: <math>\boldsymbol{q} - \boldsymbol{p} = (q_1-p_1, q_2-p_2, \cdots, q_n-p_n)</math>
として表すことができる。三次元空間 {{math2|1=(''n'' = 3)}} においてこれを {{mvar|'''p'''}} から {{mvar|'''q'''}} へ向かう矢印として描くこともできるし、あるいは {{mvar|'''p'''}} に対する {{mvar|'''q'''}} の相対的な位置と見ることもできる。{{mvar|'''p'''}} および {{mvar|'''q'''}} が、ある同じ点の連続的な二つの時点におけるそれぞれの位置を表すものである場合は、[[変位ベクトル]]（{{lang-en-short|displacement}}）とも呼ばれる。

{{math|'''''p''''', '''''q'''''}} 間のユークリッド距離は、この距離ベクトル（あるいは変位ベクトル）のユークリッド長さ
{{NumBlk|:|<math>\|\boldsymbol{q} - \boldsymbol{p}\| = \sqrt{(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p})\cdot(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p})}</math>|{{EquationRef|2}}}}
に等しい（これは等式 {{EquationRef|1}} と同値）。これを展開すると
: <math>\| \boldsymbol{q} - \boldsymbol{p} \| = \sqrt{\| \boldsymbol{p}\|^2 + \| \boldsymbol{q} \|^2 - 2\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{q}}</math>
と書くこともできる。

=== 一次元 ===
一次元の場合、[[実数直線]]における二点間の距離はそれら二点の数としての差の[[絶対値]]に等しい。つまり、実数直線上の二点 {{math2|x, y}} の間の距離は
: <math>\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|</math>
で与えられる。

一次元においては、斉次かつ平行移動不変な[[距離函数]]（即ち、[[ノルム]]から導かれる距離）が（定数倍の[[違いを除いて]]）ただ一つ、ユークリッド距離のみが存在する。より高次元の場合には他のノルムが存在し得る。

=== 二次元 ===
ユークリッド平面においては、2点 {{math2|1='''p''' = (''p''{{sub|1}}, ''p''{{sub|2}}), '''q''' = (''q''{{sub|1}}, ''q''{{sub|2}})}} の間の距離は
: <math>\mathrm{d}(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}) = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}</math>
で与えられる。これは[[ピタゴラスの定理]]と同値。

もう一つ、等式 {{EquationRef|2}} から従うこととして、[[極座標系|極座標]]が {{math|(''r''{{sub|1}}, ''θ''{{sub|1}})}} の点 {{mvar|'''p'''}} と、極座標が{{math|(''r''{{sub|2}}, ''θ''{{sub|2}})}} の点 {{mvar|'''q'''}} の間の距離は
: <math>\sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}</math>
となる。

=== 三次元 ===
三次元ユークリッド空間における距離は次の式で定義される：
:<math>d(p,q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+(p_3 - q_3)^2}.</math>

=== N次元 ===
一般の {{mvar|N}}次元ユークリッド空間における距離は次の式で定義される：
:<math>d(p,q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+ \cdots +(p_i - q_i)^2+ \cdots +(p_n - q_n)^2}.</math>

=== 平方ユークリッド距離 ===
より離れた対象ほどより大きな重みをもつようにするために、通常のユークリッド距離を平方することを考える。このことを式にすれば
:<math>d^2(p,q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+\cdots+(p_i - q_i)^2+\cdots+(p_n - q_n)^2</math>
と書ける。
平方ユークリッド距離は[[三角不等式]]を満たさないため距離函数とはならないが、必要なのが距離を比較することだけというような最適化問題においては頻繁に使われる。

{{仮リンク|有理三角法|en|Rational trigonometry}}に関する分野において{{仮リンク|二次距離|en|Rational trigonometry#Quadrance}}（{{lang-en-short|quadrance}}<ref group="note">'''quadr'''atic（二次の）+dist'''ance'''（距離）の[[かばん語]]</ref>）と呼ばれることもある。

== 注 ==
<references group="note" />

== 関連項目 ==
* [[チェビシェフ距離]]：最も大きな寄与を持つ方向のみが関係すると仮定して距離を測る。
* [[ハミング距離]] ：二つの文字列のビットごとの差を指し示す 
* [[マハラノビス距離]]：共変行列による正規化で距離函数をスケール不変計量とする
* [[マンハッタン距離]]：軸に平行な方向のみを辿った距離を測る 
* [[距離函数|計量]]
* [[ミンコフスキー距離]]：ユークリッド距離、マンハッタン距離、チェビシェフ距離などを統合するような一般化
* {{仮リンク|ピタゴラス和|en|Pythagorean addition}}

== 参考文献 ==
* Elena Deza & Michel Marie Deza (2009) ''Encyclopedia of Distances'', page 94, Springer.
* http://www.statsoft.com/textbook/cluster-analysis/, March 2, 2011

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