ラウスの定理のソースを表示

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[[幾何学]]における'''ラウスの定理'''（ラウスのていり）とは、[[三角形]]とその内部に作られた三角形との比を決定する定理である。

この定理は[[エドワード・ラウス]]が1896年に書いた ''Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples'' の82ページに登場する。

== 定理 ==
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三角形 ABC の BC 上に D を、CA 上に E を、AB 上に F をとる。
<math>\tfrac{CD}{BD} = x</math>, <math>\tfrac{AE}{CE} = y</math>, <math>\tfrac{BF}{AF} = z</math> としたとき、三角形 ABC の面積に対する AD, BE, CF の3本の線で囲まれる三角形の面積は以下の式で表される。

: <math>\frac{(xyz - 1)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)}.</math>

一例として、x = y = z = 2 のときには元の面積の1/7の三角形([[:en:one-seventh area triangle|en]])が作られる。xyz = 1 のときはこの式は0となるが、これは[[チェバの定理]]の逆が成り立つため3線が1点に集まるからである。

== 証明 ==
三角形 ABC の面積を 1 とする。三角形 ABD と直線 FRC に対し[[メネラウスの定理]]を適用すると以下の式が得られる。
:<math>\frac{AF}{FB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DR}{RA} = 1</math>
これを変形する。
:<math>\frac{DR}{RA} = \frac{BF}{FA} \frac{DC}{CB} = \frac{zx}{x+1}</math>
三角形 ARC の面積は以下のように求まる。
:<math>S_{ARC} = \frac{AR}{AD} S_{ADC} = \frac{AR}{AD} \frac{DC}{BC} S_{ABC} = \frac{x}{zx+x+1}</math>
同様に <math>S_{BPA} = \frac{y}{xy+y+1}</math>、<math>S_{CQB} = \frac{z}{yz+z+1}</math> が得られる。

以上から三角形 PQR の面積は以下のように求められる。
: <math>\displaystyle S_{PQR} = S_{ABC} - S_{ARC} - S_{BPA} - S_{CQB} </math>
: <math>= 1 - \frac{x}{zx+x+1} - \frac{y}{xy+y+1} - \frac{z}{yz+z+1} </math>
: <math>=\frac{(xyz - 1)^2}{(xz + x + 1)(yx + y + 1)(zy + z + 1)}.</math>

== 参考文献 ==
* Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", ''Crux Mathematicorum'' 7:199&ndash;203.
* [[ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター|H. S. M. コクセター]] (1969) ''Introduction to Geometry'', statement p. 211, proof pp. 219&ndash;20, 2nd edition, Wiley, New York.
* J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) ''Crux Mathematicorum'' 21:37&ndash;40
* ''[http://demonstrations.wolfram.com/RouthsTheorem/ Routh's Theorem],'' Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project. 
* {{MathWorld |title=Routh's Theorem |urlname=RouthsTheorem}}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath652/kmath652.htm Routh's Theorem by Cross Products] at MathPages
* Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", ''Mathematical Spectrum'' 44 (1): 24-27.

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