ラグランジュ点のソースを表示

{{Otheruses|天文学に関する記事|[[ファミリーコンピュータ]]のゲーム『ラグランジュポイント』|ラグランジュポイント (ゲーム)}}
{{Anchors|fig-5Ls}}
[[ファイル:Lagrange points around two stationary bodies with very large mass difference, where the frame rotates with the same angular velocity as the rotating two bodies.png|サムネイル|330x330ピクセル|本図は、大きな質量をもつ天体（黄色）と小さな質量をもつ天体（青色）の系について、その[[公転]]周期と同じ速度で回転する座標系を取っている。この回転座標系では、2つの天体は静止している。これら2つの天体よりずっと小さな質量をもつ第三の天体にとって、図中のL<sub>1</sub>からL<sub>5</sub>の5点が'''ラグランジュ点'''である（このうちL<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>は直線解、L<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>は'''トロヤ点'''とそれぞれ呼ばれる）。]]
{{Astrodynamics}}

'''ラグランジュ点'''（ラグランジてん、{{lang-en|Lagrange point あるいは Lagrangian point(s)}}<ref name=":3">{{Cite web |title=WMAP Observatory: Lagrange Points |url=https://map.gsfc.nasa.gov/mission/observatory_l2.html |website=map.gsfc.nasa.gov |access-date=2023-08-27}}</ref><ref name=":4">{{Cite web |title=Lagrange point {{!}} Definition & Distance {{!}} Britannica |url=https://www.britannica.com/science/Lagrangian-point |website=www.britannica.com |access-date=2023-08-27 |language=en}}</ref><!-- 略称: L点 -->）は、[[天体力学]]における円制限[[三体問題]]の5つの[[力学的平衡|平衡]][[解]]であり、二つの[[天体]]系から見て第三の天体が安定して滞在し得る位置座標点である。ラグランジュ点において第三の天体は、二つの天体から受ける[[重力]]と[[慣性力]]（[[遠心力]]）の釣り合いが取れており、外力による加速を受けない<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=The Lagrange Points |year=1998 |publisher=[[アメリカ航空宇宙局|National Aeronautics and Space Administration]] |author=Cornish, N. J. (Wikinson Microwave Anistropy Probe team) |url=https://map.gsfc.nasa.gov/ContentMedia/lagrange.pdf |access-date=2023-08-19}}</ref>。5つすべての平衡解（座標点）を解析的に発見した[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]<ref group="注">ラグランジュは、[[18世紀]]後半に[[レオンハルト・オイラー]]と共にラグランジュ点の存在を確認した。</ref>にちなんで命名されている<ref name=":0" />。

ラグランジュ点は、巨大な質量をもつ二つの天体の[[系 (自然科学)|系]]において、この二つの天体と比べてはるかに小さな質量の第三の天体についてもっぱら議論される。巨大な質量の二天体の例として、[[恒星]]-[[惑星]]の系（[[太陽]]-木星の系 ([[木星のトロヤ群|木星トロヤ群]])、太陽-[[地球]]の系など）や惑星-[[衛星]]の系（[[土星]]-[[土星の衛星]]の系、地球-[[月]]の系など）があげられる。<!-- SFではしばしばラグランジュ・ポイントと表現され、『機動戦士ガンダム』の影響もあって知られるようになった --><!-- 出典1（ラグランジュ点の概説がされているのみで、ガンダムシリーズによって世に知られるようになった等の記述なし）：“指南講座「宇宙世紀事始め I その2 『宇宙移民時代到来』」”. 機動戦士ガンダム THE ORIGIN 公式サイト. 機動戦士ガンダム. SUNRISE. 2018年4月30日閲覧。 --><!-- 出典2（査読を経ない個人のHPの記載）：いろもの物理学者. “物理 Tips：なぜラグランジュポイントは正三角形の位置に？”. 前野[いろもの物理学者]昌弘ホームページ. 2018年4月30日閲覧。 -->
== 概要 ==
ある[[天体]]Eの周りを何らかの天体Mが回り<ref name=":0" group="注" /><ref group="注">一般に、[[連星|連星系]]を記述するときは、それぞれを'''主星'''、'''伴星'''と表記することも多い。ただし、連星において主星とは[[等級 (天文)|観測された明るさ]]でより明るい方の天体のことであり、伴星は暗い方の天体である。ラグランジュ点の理解においては、明るさではなく[[質量]]が主に問題となるので、特に必要のないかぎり「主星・伴星」という表記は本項では用いていない。</ref>、EとMのほかに天体がない場合、これらの天体の軌道を求めることは、力学における'''[[二体問題]]'''に相当する。この解は[[古典力学]]の最初期に[[アイザック・ニュートン]]によって見い出されており、天体Mの一般的な[[軌道 (力学)|軌道]]は[[楕円軌道]]である<ref group="注">ただし、天体Aの速度等によっては天体間の[[引力]]を振り切り、周回軌道は描かず[[無限遠点|無限遠]]へと過ぎ去る軌道（[[双曲線]]や[[放物線]]）となる。すなわち、一般に解は[[円錐曲線]]となる。なお、ここでいう「[[楕円]]」には、もちろん「[[円 (数学)|真円]]」も含まれる。</ref>。例えば、Eを[[地球]]、Mを[[月]]とすると、地球と月が互いの引力に束縛された系の比較的簡単な問題として扱うことができる。

しかし、さらにここに第三の天体A<ref name=":0" group="注" />がある場合には、各天体の軌道を求めることは二体問題に比べて遥かに難しくなる。天体E、天体Mおよび天体Aの3つについて、互いの[[重力]]の影響を受ける状況下でのそれぞれの軌道を求めることは、'''三体問題'''と呼ばれる問題の特別な場合にあたる。たとえば、前述の地球と月の系に第三の天体を加えた系の軌道の解析も三体問題である。一般の三体問題では[[微分方程式|解析解]]を得られないことが知られている。

'''ラグランジュ点'''を求める問題は、この三体問題の解のうち、第三の天体Aが他の二つの天体に比べて質量が無視できるほど小さいと仮定したとき、それが恒常的にいかなる力も受けない位置を求めることに相当する。[[1760年]]頃に、[[レオンハルト・オイラー]]がトロヤ点以外の3つのラグランジュ点を解析的に発見した（'''オイラーの直線解'''）。その後の[[1772年]]に、[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]は論文『三体問題に関するエッセイ』<ref>{{Cite journal|author=Joseph Louis de Lagrange|year=1772|title=Essai sur le problème des trois corps|journal=Œuvres complètes|volume=6|page=229}}</ref>において、オイラーの直線解は一般の三体問題の場合にも成り立つことを説明し、加えて、'''トロヤ点'''を含む5つすべてのラグランジュ点を求めることに成功した。ラグランジュ点を求めるにあたっては、一般に次の仮定をおく。

* 2つの天体EとMは、これらの重心を共通の中心とする[[円 (数学)|円]]を軌道として回転運動している。
* 第三の天体Aの[[質量]]は、天体Eと天体Mの各質量に比べて、無視できるほど小さい<ref name=":0" />。
* 天体Aは、天体Eと天体Mの公転軌道を含む[[平面]]上でのみ運動する。
* 天体Aの運動を考えるに際して、天体Eと天体Mが常に静止しているようにみえる[[回転座標系]]を採用する。すなわち、「天体Eと天体Mの[[重心]]を中心として、これらの[[公転周期]]に相当する[[角速度]]で回転する座標系」を採用する。
** ここでもし、天体Eが天体Mより十分に大きな質量を有していれば、[[ラグランジュ点#fig-5Ls|冒頭の図]]のように、回転座標系において天体Eが中心にあり、天体Mは公転軌道を示す円上の一点で静止している、とほぼ見做すことができる。

以上の仮定のもとで求めた、第三の天体Aが力を受けない座標位置がラグランジュ点である。天体Aはこの回転座標上のラグランジュ点において、安定に留まれる（すなわち、天体Eや天体Mに対する静止位置を保てる）可能性がある。天体Aはラグランジュ点において、天体Eによる重力、天体Mによる重力、および、天体Eと天体Mの公転速度で回る回転座標系に生じる[[遠心力]]、これらの3つの力が釣り合っている。

ラグランジュ点は全部で5つあることが知られており、上記の仮定の通り、いずれも天体Eと天体Mの軌道を含む平面内にある。それぞれ L<sub>1</sub>からL<sub>5</sub>までの番号がふられている。 L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>の三点は天体Eと天体Mを結ぶ直線上にある（'''直線解'''）。L<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>は天体Eと天体Mを結ぶ[[線分]]を一辺とする二つの[[正三角形]]の各頂点である（天体Eから天体Mをみたとき、L<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>はそれぞれ60[[度_(角度)|度]]左右にある）<!-- つまりL3・L4・ L5はそれぞれ120度ずつ離れている。 -->。L<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>の2つの点は特に'''トロヤ点''' (trojan points) と呼ばれる<ref group="注">この名について。[[太陽]]と[[木星]]の系において、そのラグランジュ点L<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>には数千個（以上）の小惑星群が存在する。この小惑星群を構成する小惑星の一部に[[トロイア戦争]]における英雄の名が付けられていることに由来する。⇒[[木星のトロヤ群]]</ref>。トロヤ点に天体群が存在するとき、これを[[トロヤ群]]とも呼ぶ。上記の仮定に沿うかぎり、ラグランジュ点はあらゆる二天体系に存在し得る。

以上のオイラーとラグランジュの成果は[[ニュートンの運動方程式|運動方程式]]を解くことで理論的に得られたものであり、この業績に対してラグランジュとオイラーは1772年の[[科学アカデミー_(フランス)|フランス科学アカデミー]]賞を共同受賞した。後年の発見においては、実際に各種の天体系のラグランジュ点において、小さな天体（天体群）が留まっている実例が確認されている。

ラグランジュ点は[[スペースコロニー]]等を建設する際の候補位置でもある。たとえば[[ジェラード・K・オニール|ジェラルド・オニール]]は、コロニーを地球と月のラグランジュ点に造ることでコロニーの軌道を安定させるアイデアを述べている。

== 力学的背景 ==
天体Eと天体Mがそれぞれ大きな[[質量]]<math qid="b">M_E</math>と<math>M_M</math>をもっており、この二つの天体が円軌道で周回しているとき、この公転周期で回転する回転座標系を考える（回転座標系で天体Eと天体Mは静止している）。<math qid="b">M_E</math>と<math>M_M</math>に比べて無視できるほど小さな質量<math>m_A</math>をもつ第三の天体Aについて、いかなる力も受けず、天体Eと天体Mとの相対位置を変えずに留まれる可能性があるラグランジュ点は、次のように捉えられる。天体Aの運動について、初等の古典力学における運動方程式は次のように書ける。
:<math>m_A{d^2 \boldsymbol{r}_A \over dt^2}=\sum_{i}\boldsymbol{F}_i</math>
<math>\boldsymbol{r}_A</math>は天体Aの位置座標であり、''t''は時間である。ここでの<math>\boldsymbol{F}_i</math>は天体Aが受けるそれぞれの力であり、運動方程式ではそれらの総和([[力 (物理学)|合力]])を取っている形となる。この形式にて、天体Aが天体Eと天体Mの重力を受ける場合には、運動方程式は次のようになる。
:<math>m_A{d^2 \boldsymbol{r}_A \over dt^2}=\boldsymbol{F}_{GE}(\boldsymbol{r}_E,\boldsymbol{r}_A)+\boldsymbol{F}_{GM}(\boldsymbol{r}_M,\boldsymbol{r}_A)</math>
上記の式ではまだ、回転していない座標系をとっている。<math>\boldsymbol{F}_{GE}(\boldsymbol{r}_E,\boldsymbol{r}_A)</math>と<math>\boldsymbol{F}_{GM}(\boldsymbol{r}_M,\boldsymbol{r}_A)</math>はそれぞれ天体Eと天体Mからの重力であり、括弧()内の引数<math>\boldsymbol{r}_E</math>、<math>\boldsymbol{r}_M</math>、<math>\boldsymbol{r}_A</math>は対応する添字の天体の位置座標であり、各重力がこれらの座標変数に依存することを表す。この回転していない座標系の式では、重力を支配する変数が多く、このままでは解析しづらい。そこで、この運動方程式における座標系を天体Eと天体Mの公転に同期して回転する座標系に変換すると、運動方程式は次のようになる。
:<math>m_A{d^2 \boldsymbol{r}_A' \over dt^2}=F_{GE}'(\boldsymbol{r}_A')+\boldsymbol{F}_{GM}'(\boldsymbol{r}_A')+\boldsymbol{F}_w(\boldsymbol{r}_A')+\boldsymbol{F}_v ({d\boldsymbol{r}_A' \over dt})</math>
ここでは、座標変換による変化を受けた物理量には ' (プライム記号)を付した。回転座標系において天体Eと天体Aは静止しているため、これらの座標はそれぞれの重力<math>\boldsymbol{F}_{GE}'(\boldsymbol{r}_A')</math>と<math>\boldsymbol{F}_{GM}'(\boldsymbol{r}_A')</math>において定数として扱うことができ、各重力値を変化させる変数は天体Aの座標<math>\boldsymbol{r}_A'</math>のみとなる。こうして、重力を比較的簡単に評価できるようになった。一方で、この回転座標系へと変換したことで、[[遠心力]]である<math>\boldsymbol{F}_w(\boldsymbol{r}_A')</math>と[[コリオリの力]]である<math>\boldsymbol{F}_v ({d\boldsymbol{r}_A' \over dt})</math>が新たに追加されることになるが、これらはさしあたって問題にはならない。<math>\boldsymbol{F}_w(\boldsymbol{r}_A')</math>の変化は天体Aの位置<math>\boldsymbol{r}_A'</math>のみに依存しており、その解析は比較的容易である。また、ラグランジュ点において天体Aが静止している場合だけを当面問題にするならば、天体Aの速度<math>{d\boldsymbol{r}_A' \over dt}</math>はゼロであり、これに起因するコリオリの力<math>\boldsymbol{F}_v ({d\boldsymbol{r}_A' \over dt})</math>の項はゼロとして扱える。当然ながら、ラグランジュ点では天体Aは加速を受けないから、左辺のなかの天体Aの加速度<math>{d^2 \boldsymbol{r}_A' \over dt^2}</math>もゼロである。したがって、ラグランジュ点を解析的に求める問題は、<math>\boldsymbol{r}_A'</math>だけが変数となる次の方程式の解を求めることに帰着できる<ref group="注">以下の式では、座標変換後を意味する ' (プライム記号)は除いて、書き改めている。以降の方程式の扱いにおいては、回転座標系のみが問題になるので ' を省いても問題の一般性は失われない。</ref>。
:<math>0=\boldsymbol{F}_{GE}(\boldsymbol{r}_A)+\boldsymbol{F}_{GM}(\boldsymbol{r}_A)+\boldsymbol{F}_w(\boldsymbol{r}_A)</math>
以上の方程式の解の意味するところは、[[ラグランジュ点#概要|概要]]で述べた通り「回転座標系の天体Aについて解の位置<math>r_A</math>では、Eの重力、Mの重力および[[遠心力]]の3つの力が釣り合う（ゼロとなる）」ということに他ならない。ここで、以下のそれぞれの条件を満たすポテンシャル<math>U_{GE}(\boldsymbol{r}_A)</math>、<math>U_{GM}(\boldsymbol{r}_A)</math>、<math>U_w(\boldsymbol{r}_A)</math>を考える<ref group="注">この<math>\nabla</math>はスカラー量の位置による[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]を求める演算子である。<math>U(\boldsymbol{r}_A)</math>に対する<math>-\nabla U(\boldsymbol{r}_A)</math>という演算は、位置<math>\boldsymbol{r}_A</math>において物体がポテンシャルエネルギーの場<math>U(\boldsymbol{r}_A)</math>から受ける力<math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}_A)</math>を求めるものである。このような<math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}_A)</math>と<math>U(\boldsymbol{r}_A)</math>の関連付けは、本記事のような重力や遠心力の取り扱いにおいて可能であることが知られている。</ref>。
:<math>\boldsymbol{F}_{GE}(\boldsymbol{r}_A) =-\nabla U_{GE}(\boldsymbol{r}_A)</math>
:<math>\boldsymbol{F}_{GM}(\boldsymbol{r}_A) =-\nabla U_{GM}(\boldsymbol{r}_A)</math>
:<math>\boldsymbol{F}_w(\boldsymbol{r}_A)=-\nabla U_w(\boldsymbol{r}_A)</math>
これらのポテンシャルを用いて運動方程式を再度書き直すと、次のようになる<ref group="注">演算子<math>-\nabla</math>は各項で共通なので、()の外に括り出した形で示している。</ref>。
:<math>0=-\nabla \{U_{GE}(\boldsymbol{r}_A)+U_{GM}(\boldsymbol{r}_A)+U_w(\boldsymbol{r}_A)\}</math>
[[ファイル:Lagrangian points equipotential.png|サムネイル|2つの天体の重力ポテンシャルに対して、遠心力の寄与をポテンシャルエネルギーに見立てて加え合わせ、公転軌道平面上の位置エネルギーの高低を示した図。ラグランジュ点は、この位置エネルギー曲面が平坦になる場所である。]]
これまでの方程式では、それぞれの力<math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}_A)</math>は3成分<ref group="注">ただし、ラグランジュ点に関しては、2天体の公転軌道しか問題にしない。そのため、3成分のうち実質的に議論になるのは、公転軌道上の平面の2成分のみである。</ref>の[[ベクトル場|ベクトル]]量であったが、ポテンシャル<math>U(\boldsymbol{r}_A)</math>は1成分の[[スカラー (数学)|スカラー]]である。そのため、ラグランジュ点を求めるにあたっては、次のポテンシャル<math>U_{total}(\boldsymbol{r}_A)</math>で考えることで、直観的なイメージがしやすい。
:<math>U_{total}(\boldsymbol{r}_A)=U_{GE}(\boldsymbol{r}_A)+U_{GM}(\boldsymbol{r}_A)+U_w(\boldsymbol{r}_A)</math>
たとえば、天体Eと天体Mの公転軌道を含む平面上の<math>U_{total}(\boldsymbol{r}_A)</math>について、この平面上にできた回転座標系中の[[位置エネルギー|ポテンシャルエネルギー]] ([[ロッシュ・ローブ|ロッシュ・ポテンシャル]])の高低を[[ポテンシャルエネルギー曲面|三次元グラフで図示]]することができる。ポテンシャルエネルギーを表す曲面において、各位置にある物体は曲面のより低い方向へ力を受けると理解することができる。ラグランジュ点を求めるということは、ロッシュ・ポテンシャルの曲面において、平坦な場所（勾配ゼロ、すなわち、力を受けない場所）を探すことに相当する。なお、ロッシュ・ポテンシャルの形状を定めるパラメーターは、（縮尺を除いて）天体Eと天体Mの{{仮リンク|質量比|en|Mass ratio}}<math>M_E/M_M</math>のみであることが知られている<ref group="注">ある質量比におけるロッシュ・ポテンシャルが与えられたとき、そのスケールは天体Eと天体Mの間の距離に比例する（天体間距離等は[[図形の相似|相似]]変形のパラメーターに過ぎない）。</ref>。

以上の式を解析して求められたラグランジュ点は5つ存在し、それらはL<sub>1</sub>からL<sub>5</sub>まで番号が付けられ（[[#fig-5Ls|冒頭図]]も参照）、それぞれ下記の各節のように定義されている。以下では、この方程式の天体Eと天体Mの系における各ラグランジュ点について述べる<ref group="注" name=":0">本記事の説明において、天体名やその物理量の添字に「E, M, A」を用いる。この説明は条件を満たすどのような天体系でも成り立ち、これらの記号「E, M, A」は実在の特定の天体（たとえば地球、月、人工衛星など）を指定するものではない。</ref>。

=== 直線解 ===
5つのラグランジュ点のうちL<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>はオイラーの直線解と呼ばれ、いずれも、天体Eと天体Mを結ぶ直線上にある。

==== {{Visible anchor|L<sub>1</sub>|L1}} ====
'''L<sub>1</sub>'''は天体Eと天体Mの2物体を結ぶ直線上にあり、天体Eと天体Mの間に存在するラグランジュ点である。一般に、[[地球]]よりも[[太陽]]に近い軌道を回る物体は、地球よりも短い[[公転]]周期を持つ。しかし、これは地球の重力による影響を考慮すると、物体が太陽に引かれる力は弱められ、その物体の公転周期は長くなる<ref group="注">物体が地球に近ければ近いほどこの効果は大きい。</ref>。もしその物体の位置がL<sub>1</sub>に一致するならば、上記の効果によって、その物体の公転周期は地球の公転周期とちょうど等しくなる。

太陽-地球系のL<sub>1</sub>は、太陽と地球の間において月の公転軌道より外側で、太陽の観測を行うのに理想的な場所のひとつである。地球からは約150万kmの距離で、金星の公転軌道からは約4,000万km離れている。[[SOHO (探査機)|太陽・太陽圏観測機]] (SOHO) は、L<sub>1</sub>の付近の[[ハロー軌道]]を周回している。地球-月系のL<sub>1</sub>は、ここを経由することで最小限の軌道変更で月や地球をそれぞれ周回する軌道へと入ることができる。このため、荷物や人員を地球と月の間で行き来させるための中間有人[[宇宙ステーション]]の場所として理想的とされる。

==== {{Visible anchor|L<sub>2</sub>|L2}} ====
[[File:L2 rendering.jpg|thumb|300px|太陽-地球系のL<sub>2</sub>点]]

'''L<sub>2</sub>''' は天体Eと天体Mの2物体を結ぶ直線上にあり、天体Eと天体Mのうち質量の小さい天体の外側に位置するラグランジュ点である。太陽からみて地球より遠くにある物体は、通常は地球よりも長い公転周期を持つ。しかし、その物体が太陽から見て地球の裏側にある場合には、地球の重力の影響が加わり、これを考慮すると、その物体の公転周期は短くなる。もし太陽-地球系のL<sub>2</sub>にその物体があれば、この効果によって公転周期が地球と等しくなる。太陽-地球系のL<sub>2</sub>は地球から約150万[[キロメートル|km]]（1/100[[天文単位]]）の位置にある{{R|jiten}}。

太陽-地球系のL<sub>2</sub>は、地球によって太陽からの放射物が遮られているために、宇宙空間での観測を行うのに適した場所である。L<sub>2</sub>付近にある物体には太陽光が遮光されており、得られた観測結果の較正を行いやすい<ref group="注">ただし、太陽の陰に定置すると、観測に必要な電力源である太陽電池の発電力が著しく低下する。このために、実際はL<sub>2</sub>付近に滞留させて、太陽の陰の位置では観測を、陰の外の位置では発電をする、といった運用が望ましくなる。例えば、[[アメリカ航空宇宙局|NASA]]の[[WMAP]] や[[ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡]]は太陽-地球系のL<sub>2</sub>に置かれている。</ref>。到達は比較的困難であり、例として[[ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡]]（JWST）は発射から到達まで30日を要した。有人探査機ではまだ到達していない。

地球-月系のL<sub>2</sub>は、月から61,500kmの位置<ref group="注">参考までに、月の平均公転半径は384,400kmである。</ref>にあり、[[月の裏|月の裏側]]をカバーする[[通信衛星]]の位置として都合が良いとされる。

天体Mの質量<math>M_M</math>が天体Eの質量<math>M_E</math>に比べて非常に小さい場合には、L<sub>1</sub>とL<sub>2</sub>は天体Mからほぼ等しい距離(以下の式の''r'')の位置になる。これは[[ヒル球|ヒル圏]] (Hill sphere) の半径に等しく、''R''を天体Eと天体Mの距離として以下の式で表される。

: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_M}{3 M_E}}</math>

この半径''r''の円軌道で天体Mの周囲を回る物体の軌道周期<ref group="注">ここでの周期の計算には、天体Eの影響を考慮していない。</ref>は、天体Mが天体Eの周囲を回る公転周期の0.58倍<ref group="注">より正確には、この値は<math>\frac{1}{\sqrt 3}</math>である。</ref>となる。

==== {{Visible anchor|L<sub>3</sub>|L3}} ====
'''L<sub>3</sub>''' は天体Eと天体Mの2物体を結ぶ直線上にあり、天体Eと天体Mのうち質量の大きい天体の外側に位置するラグランジュ点である<ref name=":3" /><ref name=":4" />。

太陽-地球系のL<sub>3</sub>は、地球から見て太陽の裏側で、地球の公転軌道の外側にある<ref name=":0" />。
また、太陽からL<sub>3</sub>までの距離は太陽から地球までの距離よりも短い<ref name=":3" /><ref name=":5">{{Cite web |title=LagrangePoint詳解-2 |url=https://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/www_2/gakusyu/rikigaku/Lagrange/LagrangePoint_kaisetu/LagrangePoint_kaisetu-3.html |access-date=2024-08-18}}</ref><ref name=":6">{{Cite web |title=Merlyn - Gravity 4 - J R Stockton |url=https://people.cs.nycu.edu.tw/~tsaiwn/sisc/runtime_error_200_div_by_0/www.merlyn.demon.co.uk/gravity4.htm |access-date=2024-08-18}}</ref>。
これらの配置は、太陽と地球が重心を共通の中心として回転しているために生じる<ref name=":5" /><ref name=":6" />。

一般に、地球の公転軌道の外側を回転する物体は地球より長い公転周期を持つ。
しかし、地球の重力による影響を考慮すると、その物体が太陽の方向に引かれる力は強められ、その物体の公転周期はより短くなる。
このため、L<sub>3</sub>ではその物体の公転周期は地球と等しくなる。

<!-- 別記事への案内としコメントアウト：太陽-地球系のL3は、SFや漫画で「反地球」が存在する場所としてしばしば設定されるが、もし存在するとしても皆既日食の時などに観測可能である（公転軌道が厳密には円でなく楕円であるため。）。単にL3にあるという理由だけで「反地球は観測不可能である」とする設定は、科学的事実に即したものではない。 -->
L<sub>3</sub>は地球からの通信が太陽によって遮られる<ref group="注">L<sub>4</sub>、L<sub>5</sub>を経由しての通信は可能</ref>、L<sub>3</sub>で観測をするメリットがほとんど無い、到達が比較的困難であるため観測機が設置されたことはない。

{{See also|反地球}}

=== 三角解（トロヤ点） ===
[[File:L4 diagram.svg|thumb|ラグランジュ三角解点に働く重力のつりあい。bが共通重心。]]
'''L<sub>4</sub>''' と '''L<sub>5</sub>''' は、'''正三角形解'''または'''トロヤ点'''などとも呼ばれるラグランジュ点である。天体Eと天体Mを結ぶ線分を一辺とする[[正三角形]]の3番目の各頂点の位置にある。天体Mが天体Eの周りを公転する軌道上で、天体Mに先行あるいは追従する相対位置にある。仮定の通り、公転の中心は天体Eと天体M系の重心にある。回転しない座標系からみると三角解点では、天体Eの重力と天体Mの重力の[[合力]]が、ちょうど両者の重心への[[向心力]]として働いている。三角解点の軌道長半径は天体Eと天体Mの間の距離よりわずかに短く、天体Mの軌道長半径よりわずかに長い<!--中国語はどうか知りませんが、日本語では「従星」という表現はしないはずです。-->。

仮に天体Eの質量が天体Mより大きいとすると、それらの質量比<math>M_E/M_M</math>が24.96倍<ref name=":1" group="注" />以上ならば、L<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>は安定な均衡点となることが分かっている<ref group="注">天体Mの質量の方が大きい場合も同様である。なお、[[恒星系]]（[[二重星]]）において、天体Eや天体Mのいずれかを「主星」や「伴星」と呼ぶことがある。</ref>。

太陽-地球系のL<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>は、地球が太陽を回る公転軌道上において、地球より60度先行した位置にL<sub>4</sub>が、同じく60度後ろの位置にL<sub>5</sub>がある<ref>{{Cite web
 |author= [[JAXA]]
 |url= https://www.hayabusa2.jaxa.jp/topics/20170411/
 |title= 太陽−地球系のL5点付近の観測について
 |website= はやぶさ2 拡張ミッション
 |language= ja
 |date= 2017-4-11
 |accessdate= 2024-3-21
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20230529163551/https://www.hayabusa2.jaxa.jp/topics/20170411/
 |archivedate= 2023-5-29
}}</ref>。L<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>は、後述するように[[摂動 (天文学)|摂動]]に対して安定な[[不動点|平衡点]]であるため、[[1969年]]に[[ジェラルド・オニール]]の提案した[[スペースコロニー]]の設置場所候補として採用されている。<!-- このためSF作品においては、地球-月系のラグランジュ点と並んで、スペースコロニーの設置場所として描かれることがある。 -->

== 安定性 ==
[[File:Lagrange points2.svg|thumb|ラグランジュ点の安定性。各点から少しずれた位置において物体は、内向きの力（{{color|#FF0E01|▼}}）と外向きの力（{{color|#403EEE|▲}}）をそれぞれ受ける。]]
各ラグランジュ点について、まず狭義の安定性（平衡解の位置に静止した状態を継続し続けるかどうか）について述べる。オイラーの直線解（L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>）において天体Aは、天体Eと天体Mを通る直線の垂直方向にはラグランジュ点に引き戻す力を受ける<ref group="注">これは 2 体の重力の横方向の成分が足し合わされて引き戻す力を生むためである。</ref>。一方、同直線方向にはラグランジュ点から引き離す力を受ける。トロヤ点（L<sub>4</sub>, L<sub>5</sub>）では、各ラグランジュ点からどの方向にわずかに動いても、元の位置から遠ざかる方向に力を受ける。このように、静止位置から[[摂動]]を受けた際にラグランジュ点から遠ざかる方向へ力を受け得るという意味では、すべてのラグランジュ点（L<sub>1</sub>からL<sub>5</sub>）は狭義には安定ではない。[[ファイル:Animation of Wilkinson Microwave Anisotropy Probe trajectory.gif|サムネイル|太陽-地球系のL<sub>2</sub>付近の軌道に[[人工衛星]] [[WMAP]]が投入された際の例]]
以下では、同じく各ラグランジュ点について、より広義の安定性（すなわち、平衡解位置の付近で定常的な往復・振動運動（閉じた軌道運動）をすることで、平衡解の近くに長期間滞在できるかどうか）について述べる。

この意味での安定性について、L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub> は少なくとも制限三体問題において、各点の近くに安定な周期軌道が存在することが分かっている。これらは完全な周期軌道であり、[[ハロー軌道]]と呼ばれる<ref>{{Cite journal|author=Brucker, E., Gurfil, P.|year=2007|title=Analysis of gravity-gradient-perturbed rotational dynamics at the collinear lagrange points|journal=J. Astronaut. Sci.|volume=55|page=271|doi=10.1007/BF03256525}}</ref>。

同じくこの意味での安定性についてL<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>は、2天体(EとM)の質量比が<math>M_E/M_M>24.96</math> <ref group="注" name=":1">この定数24.96は、より正確には<math>\frac{25 + 3 \sqrt{69} }{2}</math>である。なお、ラグランジュ点を解析的に求める過程においても既に近似を行っているので(⇒[[#力学的背景]])、この表記から有効数字をどれだけ取れるかは、対象となる系から判断する必要がある。</ref>を満たす場合において、各ラグランジュ点の付近で安定に閉じた軌道運動ができる。太陽-地球系や地球-月系などにおいて、上記の質量比の条件が満たされている。L<sub>4</sub>やL<sub>5</sub>において、ある物体が適切な速度を有していると、回転座標上のポテンシャルのなかで[[コリオリの力]]を受けながら軌道運動を行い、L<sub>4</sub>やL<sub>5</sub>の周囲を周回する。この軌道は、回転座標系における等ポテンシャル線<ref name=":2" group="注">正確には、三次元空間のことなので「等ポテンシャル面」と表現するべきだが、ラグランジュ点の検討では、天体Eと天体Mの公転軌道上の平面内の運動だけを問題とするので、「等ポテンシャル線」と記した。</ref>に沿ったインゲン豆型の安定な軌道である。<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|author=Salazar, F. J. T., Macau, E. E. N., Winter, O. C.|year=2014|title=Alternative transfer to the Earth–Moon Lagrangian points L4 and L5 using lunar gravity assist|journal=Adv. Space Res.|volume=53|page=543|doi=10.1016/j.asr.2013.11.055}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=Considerations of the Motion of a Small Body in the Vicinity of the Stable Libration Points of the Earth–Moon System |year=1963 |publisher=[[アメリカ航空宇宙局|National Aeronautics and Space Administration]] |page= |author=Michael, Jr. W. H. |doi=}}</ref>

また、[[太陽系]]のような制限なしの[[N体系|多体力学系]]にはL<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>にあるようなハロー軌道は存在しないが、準周期的な[[リサジュー軌道]]が存在する<ref group="注">ラグランジュ点と同様に重力場に束縛されているが、正確に同じ軌道を繰り返し描くわけではない。</ref>。リサジュー軌道は完全に安定ではないが、比較的小さな労力で長期にわたって、目的の位置（リサジュー軌道上）に[[宇宙船|宇宙機]]を留めておくことができる。リサジュー軌道は、これまで行われた（ラグランジュ点を利用するものを含めた）全ての宇宙ミッションで実際に使われてきた。少なくとも太陽‐地球系のL<sub>1</sub>を使うミッションでは、L<sub>1</sub>付近に宇宙機を置くよりも、大きな振幅 (100,000 &ndash; 200,000 km) を持つリサジュー軌道に置いた方が運用上好都合なことがある。たとえば、リサジュー軌道で宇宙機を太陽と地球を結ぶ直線から外れた位置に滞在させることで、地球と宇宙機間の通信への太陽の干渉が低減するメリットがある。

== 例 ==
{{Main|ラグランジュ点に存在する物体の一覧}}
[[太陽]]-[[木星]]の系では、[[トロヤ群]]と呼ばれる数千個の[[小惑星]]が本系のL<sub>4</sub>, L<sub>5</sub>に付近に軌道を持っており、L<sub>4</sub>のものを「前トロヤ小惑星群」、L<sub>5</sub>のものを「後トロヤ小惑星群」とそれぞれ呼んでいる。このような小さな天体群は、[[恒星]]-[[惑星]]系（先述の木星の他に、太陽-[[土星]]系や太陽‐[[火星]]系など）だけでなく惑星-[[衛星]]系（木星と[[木星の衛星|その衛星]]の系、土星と[[土星の衛星|その衛星]]の系など）にも発見されている。

土星とその第3衛星[[テティス (衛星)|テティス]]の系のL<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>には、それぞれ2つの小さな衛星（第13衛星[[テレスト (衛星)|テレスト]](L<sub>4</sub>付近)と第14衛星[[カリプソ (衛星)|カリプソ]](L<sub>5</sub>付近)）が確認されている。また、土星-第4衛星[[ディオネ (衛星)|ディオネ]]の系でも、[[ヘレネ (衛星)|ヘレネ]]<ref group="注">そのため、ヘレネという固有名が付与される以前は「ディオネB」と呼ばれていた。</ref>（第12衛星; L<sub>4</sub>付近）と[[ポリデウケス (衛星)|ポリデウケス]]（第34衛星; L<sub>5</sub>付近）が存在する。このような惑星-衛星の系のL<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>に位置する衛星は[[トロヤ衛星]]と呼ばれ、それぞれのL<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>の等ポテンシャル線上<ref name=":2" group="注" />を周回している。軌道の周回に伴う方位角の変化は、ポリデウケスが最も大きく、土星-ディオネ系のL<sub>5</sub>の方向から最大で32度離れる。なお、テティスもディオネも、これらのトロヤ衛星群と比べてずっと質量が大きい。さらに、土星はテティスやディオネよりもずっと大きな質量をもつ。このために、木星を取り巻くそれぞれの恒星-惑星系および惑星-衛星系のそれぞれのラグランジュ点は、十分に安定した軌道を有している。

[[地球のトロヤ群|太陽‐地球系のトロヤ点]]には大きな天体は見つかっていないが、[[宇宙塵|星間塵]]がL<sub>4</sub>とL<sub>5</sub>を取り巻くように分布していることが[[1950年代]]に発見されている。また、[[対日照]]よりもずっと淡いとされる塵の雲（[[コーディレフスキー雲]]）が地球-月系のL<sub>4</sub>, L<sub>5</sub>に存在するとする説もある。

== 他の同期軌道天体 ==
[[ファイル:Horseshoe orbit of Cruithne from the perspective of Earth.gif|サムネイル|太陽-地球系の公転の回転座標系からみたクルースンの軌道]]
地球の同期軌道天体である[[小惑星]][[クルースン]]は、見方によって異なる捉え方のできる小惑星である。太陽-地球系の回転座標系からクルースンをみると、トロヤ群天体のように、太陽-地球系のラグランジュ点L<sub>4</sub>の周囲の等ポテンシャル線上<ref name=":2" group="注" />を周回するインゲン豆型軌道に似た運動をしている。
[[ファイル:Orbits of Cruithne and Earth.gif|サムネイル|静止座標系からみたクルースンの軌道]]
一方で、静止した座標系からクルースンをみると、別の解釈もできる。クルースンは太陽を周回する軌道上を運動しているが、クルースンは地球との相対位置によって地球の重力を受けて速度を変える。この結果として、クルースンは太陽との距離（軌道半径）を連続的に大小させる。このように、静止座標系での地球の影響をうけて軌道半径を変えるサイクルを繰り返している、と理解することも可能である。なお、地球とクルースンの運動エネルギーのやり取りにおいては、地球の公転周期（つまり1年の長さ）はほとんど影響を受けない。これは、クルースンの質量が地球の質量と比べて1/200億と十分に小さいためである。

土星の第10衛星[[ヤヌス (衛星)|ヤヌス]]と第11衛星[[エピメテウス (衛星)|エピメテウス]]も上記と似た関係にあるが、ヤヌスはエピメテウスよりやや質量が大きいのみ<ref group="注">ヤヌスの質量は、エピメテウスの質量より約4倍大きいのみである（エピメテウスの質量は無視できるほど小さくない）。</ref>なので、ヤヌスの側も無視できないほどの軌道の変化を受ける。ラグランジュ点を考えるに際して、第三の天体Aが天体Eや天体Mと比べて無視できるほど小さな質量をもつことを前提としたが、天体A（ここではエピメテウス）と天体M（ここではヤヌス）とではこの質量比の要請を満たしていないことが理由である。

また、類似の別の現象として[[軌道共鳴]]がある。軌道運動をしている天体同士がある共鳴条件（両者の公転周期が単純な整数比となる等）を満たすと、相互作用が強くはたらき、両天体の公転運動が相関性を示す（共鳴現象）。

== 宇宙地政学的重要性 ==
地球の表面（[[リソスフェア]]、[[水圏]]、[[大気圏]]）において、[[地峡]]や[[海峡]]などの地理的な特徴を有する重要地点の政治支配・軍事支配が[[地政学]]上の検討対象となっているが、これを拡張した同様の検討が地球周辺の宇宙空間の「支配」についてもなされている。エヴェレット・C・ドールマンの『宇宙時代の地政戦略---アストロポリティックスによる分析』では、ラグランジュ点について論及されている<ref>[[#Gray|グレイら]] (2009): 210 頁。</ref>。地球や宇宙の特定の場所の「支配」によって、効率性の面からかなり有利な立場を得ることができ、交易面でも軍事面でも重要と指摘されている<ref>[[#Gray|グレイら]] (2009): 220 頁。</ref>。2018年5月に[[中華人民共和国|中国]]が世界初のラグランジュ点を周回する通信衛星[[鵲橋 (探査機)|鵲橋]]を打ち上げ<ref>{{Cite web|和書|url = https://web.archive.org/web/20190110183524/http://www.sankeibiz.jp/macro/news/180524/mcb1805240500002-n1.htm |title = 中継通信衛星「鵲橋」の打ち上げに成功 |author= |website= [[フジサンケイ ビジネスアイ]] |date=2018-05-24|accessdate = 2019-01-10 }}</ref>、さらに、2019年1月3日に同国が[[嫦娥4号]]による人類史上初の[[月の裏]]への着陸に成功した際には、地政学的・軍事的な狙いを懸念する声もあがる<ref>{{Cite web|和書|url = http://www.tokyo-np.co.jp/article/world/list/201901/CK2019010402000111.html |title = 米中ロ「３強時代」　資源・軍事競争　　月の裏側に無人機着陸　中国高まる存在感 |author= |website= [[東京新聞]] |date=2019-01-04|accessdate = 2019-01-10 }}</ref>など、ラグランジュ点は宇宙地政学的な重要性が指摘されつつある。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{Reflist|refs=

<ref name="jiten">{{Cite web|和書
 | title=L₂点
 | website=天文学辞典 | date=2018-02-20
 | url=https://astro-dic.jp/l2-point/
 | publisher=[[日本天文学会]] | access-date=2023-01-11}}</ref>

}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|section=1|date=2016年7月7日 (木) 12:13 (UTC)}}
*{{Cite book|和書
|title=天体力学講義
|author=[[堀源一郎]]
|publisher=[[東京大学出版会]]
|year=1988
|isbn=978-4130621182
|ref=Hori
}}
*{{Cite book|和書
|author=[[コリン・グレイ]]、[[ジェフリー・スローン]]編、[[奥山真司 (戦略学者)|奥山真司]]訳・解説
|title=進化する地政学 - 陸、海、空そして宇宙へ
|series=戦略と地政学 1
|publisher=[[五月書房]]
|year=2009
|isbn=978-4-7727-0479-3
|ref=Gray
}}

== 関連項目 ==
* [[ラグランジュ点に存在する物体の一覧]]
* [[トロヤ群]]
* [[地球のトロヤ群]]
* [[トロヤ衛星]]
* [[スペースコロニー]]
* [[小惑星帯]]
*[[機動戦士ガンダム]]

== 外部リンク ==
{{Commons|Category:Lagrange points}}
* [https://map.gsfc.nasa.gov/mission/observatory_l2.html NASAのWMAPのサイトにあるラグランジュ点の説明。L4, L5 が安定になる条件の導出など] {{En icon}}
* [https://math.ucr.edu/home/baez/lagrange.html カリフォルニア大学リバーサイド校の John Baez 教授によるラグランジュ点の説明] {{En icon}}

{{軌道}}
{{宇宙飛行}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:らくらんしゆほいんと}}
[[Category:天文学に関する記事]]
[[Category:軌道共鳴]]
[[Category:人工衛星の軌道]]
[[Category:地政学]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]
[[Category:ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]
[[Category:物理学のエポニム]]