ラッセルのパラドックスのソースを表示

'''ラッセルのパラドックス'''（{{lang-en-short|Russell's paradox}}）とは、[[素朴集合論]]において、自身を要素として持たない集合全体からなる集合の存在を認めると[[矛盾]]が導かれるという[[パラドックス]]。[[バートランド・ラッセル]]から[[ゴットロープ・フレーゲ]]への1902年6月16日付けの書簡においてフレーゲの『[[算術の基本法則]]』における矛盾を指摘する記述に現れ{{sfn|フレーゲ|2002|p=118f}}、1903年出版のフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（{{lang-de-short|Grundgesetze der Arithmetik II}}）の後書きに収録された{{sfn|フレーゲ|2000|p=403f}}。なお、ラッセルに先立って[[エルンスト・ツェルメロ|ツェルメロ]]も同じパラドックスを発見しており、[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]や[[エトムント・フッサール|フッサール]]など[[ゲオルク・アウグスト大学ゲッティンゲン|ゲッティンゲン大学]]の同僚に伝えた記録が残っている{{sfn|フレーゲ|2002|p=90f}}{{sfn|Rang|Thomas|1981|p={{要ページ番号|date=2023年9月}} }}。

ラッセルの[[型理論]]（[[階型理論]]）の目的のひとつは、このパラドックスを解消することにあった{{sfn|Russell|1903|loc=Appendix B: The Doctrine of Types}}。

== 概要 ==
{{参照方法|date=2024年2月|section=1}}
「それ自身を要素として含まない集合」を「<math>M</math>集合」とし、「すべての<math>M</math>集合を成分とする集合<math>R</math>」を作ってみる。そうすると、「任意の集合<math>X</math>」に関しては、「<math>X</math>は<math>R</math>に含まれる」⇄「<math>X</math>は<math>X</math>に含まれない」という定式が成り立つ。そして特に<math>X</math>=<math>R</math>とすれば、「<math>R</math>は<math>R</math>に含まれる」⇄「<math>R</math>は<math>R</math>に含まれない」となり、パラドックスが明示される。

[[集合]]は[[事物]]とは違った[[存在]]の仕方をしており、世界を構成する[[存在者]]ではなく、論理的虚構にすぎず、そこには[[階型]]の違いがある。よって「集合がそれ自身の要素であるかどうかの問いの全体」が、「真でも偽でもなく」むしろ「無意味」「意味のない雑音」であった。集合とは、後の「[[記述の理論]]」があきらかにする意味で[[不完全記号]]である。「集合」「数」の指示するものが「[[スコラ]]的[[プラトン]]的な意味」で「無時間的に存在」すると考えてはならないとラッセルは気付いた。事物の存在の次元と集合の語られる次元とは混同されてはならず、或る階型の対象に真偽を言えても、異階型の対象には有意味には言えない。我々は何らかの性質を有意味には命題一般には帰属させ得ず、ただ特定の次元の命題に有意味に帰属させうるのみである(ラッセルの階型理論)。

集合論が形式化されていないことが矛盾の原因なのではなく、このパラドックスは、古典[[述語論理]]上の理論として形式化された無制限の[[内包公理]]を持つ[[素朴集合論]]や、[[直観主義論理]]上の素朴集合論においても生じる。したがって論理を古典論理から直観主義論理に変更してもラッセルのパラドックスは回避できない。パラドックスの回避については、様々な方法が提案されている。詳細は[[#矛盾の解消|矛盾の解消]]を参照。

== 矛盾の解消 ==
[[公理的集合論]]によって何をもって集合とするかについての形式的な整備が進められ、素朴（だが超越的）な<math>R</math> の構成を許容しない体系が構築された。

公理的集合論ではまず集合論を形式化する。次にいかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する。
例えば素朴集合論では、上のような集合の存在を保証するために次の内包公理を置いた：
: 任意の性質 <math>P(x)</math> に対して、 <math>P(x)</math> を満たす元 <math>x</math> の集合 <math>\{ x | P(x) \}</math> が存在する
しかしながら、内包公理からは、上述のとおり、
: <math>R = \{ x | x \notin x \}</math>
が構成でき、パラドックスが発生する。
したがって、集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。

; 1.[[公理的集合論]]による解消{{efn2|ytb（矢田部俊介） あいまいな本日の私 blog ラッセルのパラドックス：傾向と対策
*(1) (Restriction of basic principles) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070912/p2 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (1) |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-12 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(1.5) NFと自己言及性に関する補足 <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070914/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (1.5) : NFと自己言及性に関する補足 |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-14 |accessdate=2023-09-03}}</ref>}}
:具体的には内包公理を次の[[分出公理]]に弱める（ツェルメロによる版）。
:: 任意の性質 <math>P(x)</math> と集合 <math>A</math> に対して、 <math>P(x)</math> を満たす <math>A</math> の元 <math>x</math> の集合 <math>\{ x \in A | P(x) \}</math> が存在する
:この場合、
:: <math>R_A = \{ x \in A | x \notin x \}</math>
:は、<math>A</math> の要素でないため、それ自身を要素としなくても矛盾は発生しない。
:また <math>R</math> のような集合は構成できないのでやはり矛盾は発生しない。
:（なお現在のZFC集合論では、フレンケルが設定した[[置換公理]]から分出公理が導けるため、分出公理自体は公理としていない。）
<!-- 第2不完全性定理より、このような修正によって矛盾が決して導かれなくなることを、集合論よりも無矛盾性に信頼が置けるような弱い理論（例えば有限の立場）から保証することはできないが、少なくとも、ラッセルのパラドックスの元々の議論がZFC集合論で通用しないということは言える。ZFC集合論の上で数学が展開されてから今日に至るまで矛盾が発見されていないことから、ZFC集合論の無矛盾性に十分な信頼が置ける理論であると考えられている。(誰が?) -->
<!-- ZFC集合論では <math>R</math> のような集合の存在を仮定すると矛盾が導かれる。したがって <math>R</math> の存在の否定が証明される。公理的集合論ではこのような集合の単なる集まりのことを[[クラス (集合論)|クラス]]と呼ぶ。とくにその集合としての存在が否定されるようなクラスを真のクラスという。例えば全ての集合の集合が存在すれば、[[分出公理]]を適用することで、 <math>R</math> の存在が導かれる、ここに不合理を得る。したがって全ての集合の集合は存在せず、全ての集合のクラスは真のクラスである。ZFC集合論ではクラスそのものを体系の内部で扱うことができない。そこでクラスは形式的には変数を持つ論理式として扱われる。すなわち
: <math>A = \{ x | P(x) \}</math>
なるクラスは実体としては論理式 <math>P(x)</math> であって、クラスを用いた議論はクラスを用いない形に書き換えて行う。例えば論理式 <math>P(x)</math> と <math>Q(x)</math> で定まるクラス <math>A</math> と <math>B</math> について、それらが等しい <math>A=B</math> ということは、
: <math>\forall x(P(x)\Leftrightarrow Q(x))</math>
なる論理式のことと考える。このようにZFC集合論ではクラスを扱う際にメタ理論と対象理論とを行き来する必要がある。NBG集合論では、クラスを表す変数と集合を表す変数を導入し、体系内でクラスを扱えるようにしている。(パラドックスの対策と無関係)-->
:なお、ラッセルのパラドックスでは論理式 <math>x \notin x</math> に内包性公理を適用することによってパラドキシカルな集合を構成している。これは論理式 <math>x \in x</math> の否定である。ZFC集合論では <math>x \in x</math> のように循環的な帰属関係を持つ集合の存在は[[正則性公理]]によって否定される。もっとも正則性公理がラッセルのパラドックスを排除しているわけではない。何故なら公理を追加しても証明できる論理式は減らないからである。さらに[[反基礎公理]]と呼ばれる循環的な集合の存在を積極的に保証する公理を置く集合論の体系も存在しており、この体系の無矛盾性はZFC集合論の無矛盾性から相対的に導かれる。ただしある種の循環性を制限することによって無矛盾性を確保しようという試みは存在しており、例えば後述する単純型理論はその典型的な例である。
; 2.[[型理論|単純型理論]]による解消{{efn2|ytb（矢田部俊介） あいまいな本日の私 blog ラッセルのパラドックス：傾向と対策
*(2) Restriction of syntax <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070915/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (2) : Restriction of syntax |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-15 |accessdate=2023-09-03}}</ref>}}
:項に型と呼ばれる自然数 0, 1, 2,… を割り当て、述語記号 ∈ を (n階の項)∈(n+1階の項) の形でのみ許容する（すなわち論理式の文法を制限する）ことで矛盾を回避する。単純型理論は階型毎に無制限の内包公理を持つが、無矛盾である。
; 3.[[部分構造論理]]による解消{{efn2|ytb（矢田部俊介） あいまいな本日の私 blog ラッセルのパラドックス：傾向と対策
*(3) Restriction of logic <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070917/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3) : Restriction of logic |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-17 |accessdate=2023-09-03}}</ref>}}
:古典論理を（グリシン論理やBCK論理などの）縮約規則を取り除いた部分構造論理に置き換え、無制限な内包公理を認める代わりに[[外延性公理]]を排除した素朴集合論が矛盾無く展開できることが知られている{{efn2|ytb（矢田部俊介） あいまいな本日の私 blog ラッセルのパラドックス：傾向と対策
*(3.1.0) 古典論理を制限するラッセル・パラドックスへの証明論的アプローチ（縮約規則！） <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070917/p2 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.0) : 古典論理を制限するラッセル・パラドックスへの証明論的アプローチ（縮約規則！） |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-17 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(補足) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070918/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 （補足） |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-18 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(本日の修正) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070919/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 （本日の修正） |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-19 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.1.1) グリシン論理 (1) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070920/p2 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.1) : グリシン論理 (1) |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-20 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.1.2) グリシン論理 (2) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070922/p2 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.2) : グリシン論理 (2) |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-22 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.1.3) グリシン論理 (3) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070923/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.3) : グリシン論理 (3) |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-23 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.1.4) グリシン論理に関して前回の補足 <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070926/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.4) : グリシン論理に関して前回の補足 |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-26 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.1.5) グリシン論理 (4) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070929/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.5) : グリシン論理 (4) |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-29 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.1.6) 補足 <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20070930/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.6) : 補足 |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-09-30 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.1.7) 証明論的アプローチへの補足；Fitchの “demonstrably consistent” な set theory F <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20071021/p3 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.7) : 証明論的アプローチへの補足；Fitchの “demonstrably consistent” な set theory F |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-10-21 |accessdate=2023-09-03}}</ref>}}。外延性公理が排除されるのは、外延性公理から縮約規則が導かれ、したがって矛盾するからである。例えばBCK&beta;では次のようにして外延性公理から矛盾が導かれる。次の集合 <math>A</math> を考える。
:: <math> A = \{ x | A = \varnothing \}</math>
:ここで <math>\varnothing</math> は空集合であり、
:: <math> \varnothing = \{ x | \bot \}</math>
:で定義される。集合 <math>A</math> の定義には自己参照が含まれるが、[[不動点コンビネータ]]によってこれは可能である。この集合論において外延性公理が成立すると仮定する。すると次のようにして矛盾が導かれる。等号 <math>x = y</math> の形の仮定に対しては縮約規則が使用できることに注意。まず <math>A = \varnothing</math> を仮定する。集合 <math>x</math> を何でもいいのでひとつ取る。すると仮定および <math>A</math> の定義より <math>x \in A</math> が成り立つ。再び仮定を使用すれば <math>x \in \varnothing</math> が成り立つ。したがって空集合の定義より <math>\bot</math> が導かれる。これは不合理であるから <math>A \neq \varnothing</math> である。いま <math>y \in A</math> を一度だけ仮定する。すると仮定および <math>A</math> の定義より <math>A = \varnothing</math> が成り立つ。ところが <math>A \neq \varnothing</math> であったはずだから矛盾 <math>\bot</math> が導かれる。ゆえに空集合の定義より <math>y \in \varnothing</math> が成り立つ。逆に <math>y \in \varnothing</math> を一度だけ仮定する。すると仮定および空集合の定義より矛盾 <math>\bot</math> が導かれる。ゆえに爆発原理より <math>y \in A</math> が成り立つ。したがって <math>A</math> と空集合は外延的に等価である。外延性公理より <math>A = \varnothing</math> が成り立つ。これは <math>A \neq \varnothing</math> と矛盾する。
:[[3値論理#ウカシェヴィッチの3値論理|ウカシェヴィッチの3値論理]]上の素朴集合論では、 <math>R\in R</math> の真理値を不定値と解釈すればラッセルのパラドックスは生じない。ところが[[3値論理#莫少揆 (Moh Shaw-Kwei) のパラドックス|莫少揆のパラドックス]]と呼ばれる別のパラドックスが生じる{{efn2|ytb（矢田部俊介） あいまいな本日の私 blog ラッセルのパラドックス：傾向と対策
*(3.2) 多値論理 <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20071007/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2) : 多値論理 |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-10-07 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.2.1) クリーネ3値論理…お手軽に不動点を <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20071007/p2 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.1) : クリーネ3値論理・・・お手軽に不動点を |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-10-07 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.2.2) ウカシェーヴィチ3値論理…失敗例 <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20071007/p3 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.2) : ウカシェーヴィチ3値論理・・・失敗例 |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-10-07 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.2.2.5) 補足…ウカシェーヴィチの “Spiritual war” <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20071011/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.2.5) : 補足・・・ウカシェーヴィチの “Spiritual war” |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-10-11 |accessdate=2023-09-03}}</ref>}}。パラドックスを回避するには無限[[:en:Łukasiewicz logic|ウカシェヴィッチ論理]]を用いる必要がある{{efn2|ytb（矢田部俊介） あいまいな本日の私 blog ラッセルのパラドックス：傾向と対策
*(3.2.3) ウカシェーヴィチ無限値述語論理 ∀L…包括原理の限界 <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20071013/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.3) : ウカシェーヴィチ無限値述語論理 ∀L・・・包括原理の限界 |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-10-13 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.2.4.1) ファジイ論理…一番狭い意味で (1) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20071014/p1 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.4.1) :ファジイ論理・・・一番狭い意味で (1) |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-10-14 |accessdate=2023-09-03}}</ref>
*(3.2.4.2) ファジイ論理…一番狭い意味で (2) <ref>{{Cite web|和書|author=ytb |url=https://ytb.hatenablog.com/entry/20071021/p2 |title=ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.4.2) :ファジイ論理・・・一番狭い意味で (2) |website=あいまいな本日の私 blog |date=2007-10-21 |accessdate=2023-09-03}}</ref>}}。

== 歴史 ==
=== 起源 ===
通説では、[[1902年]][[6月16日]]付のラッセルからフレーゲへの書簡がこのパラドックスの起源とされている。しかし、[[1899年]]から[[1900年]]にかけて[[エルンスト・ツェルメロ]]が独立に同じパラドックスを発見し、[[ダフィット・ヒルベルト]]や[[エドムント・フッサール]]に伝えていた。そのため、「ツェルメロ=ラッセルのパラドックス」と呼ぶべきという意見もある{{sfn|フレーゲ|2002|p=90f}}{{sfn|Rang|Thomas|1981|p={{要ページ番号|date=2023年9月}} }}。

=== 年表 ===
{{Dl2
| 1872年 - 1878年 |
* [[リヒャルト・デーデキント|デーデキント]]が『[[数とは何かそして何であるべきか]]』のスケッチを作成して閲覧させる{{sfn|デデキント|2013|p=46}}。
| 1879年 |
* フレーゲ『概念記法』出版。[[数理論理学]]の始まり。
| 1884年 |
* フレーゲ『算術の基礎』出版。[[自然数論]]の始まり。
| 1888年 |
* デーデキント『数とは何かそして何であるべきか』出版{{sfn|デデキント|2013|p={{要ページ番号|date=2023年9月}} }}。
| 1893年 |
* フレーゲ『算術の基本法則』出版。
| 1902年6月16日 |
* ラッセルからフレーゲ宛てにパラドックスを知らせる書簡が投函{{sfn|フレーゲ|2002|p=118f}}。
| 1902年6月22日 |
* フレーゲからラッセル宛てに返信が投函。
| 1903年 |
* フレーゲ『算術の基本法則』第II巻出版。後書きでラッセルのパラドックスを公開{{sfn|フレーゲ|2000|p=403f}}。
| 1903年 |
* ラッセル『{{仮リンク|数学の原理|en|The Principles of Mathematics}}』出版。[[型理論]]の始まり。
| 1903年11月7日 |
* ヒルベルトからフレーゲ宛に返信が投函。ラッセルのパラドックスが3年前から4年前にツェルメロによって発見されていたことを記載{{sfn|フレーゲ|2002|p=90f}}。
| 1908年 |
* ツェルメロ「集合論の基礎に関する研究」発表{{sfn|Zermelo|1908|p={{要ページ番号|date=2023年9月}} }}{{sfn|ツェルメロ|2013|p={{要ページ番号|date=2023年9月}} }}。[[公理的集合論]]の始まり。
}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2|30em}}
=== 出典 ===
{{Reflist|20em}}

== 参考文献 ==
{{Refbegin}}
* {{Cite book|和書|author=渡邊二郎|authorlink=渡邊二郎|year=1994|month=8|title=現代哲学ー英米哲学研究ー|chapter=パラドックスと階型理論|edition=|publisher=財団法人放送大学教育振興会|isbn=|pages=123-124|ref={{sfnref|高木|1994}} }}
* {{Cite book|和書|author=高木貞治|authorlink=高木貞治|year=1996|month=12|title=近世数学史談・数学雑談|chapter=数理が躓く（？）|edition=合本・復刻版|publisher=共立出版|isbn=4-320-01551-7|pages=188-233|ref={{sfnref|高木|1996}} }}
* {{Cite book|和書|author=竹内外史|authorlink=竹内外史|date=2001-05-18|title=新装版 集合とはなにか はじめて学ぶ人のために|series=ブルーバックス B-1332|publisher=講談社|isbn=978-4-06-257332-0|ref={{sfnref|竹内|2001}} }}
* {{Cite book|和書|author=デデキント|authorlink=リヒャルト・デーデキント|others=渕野昌 訳・解説|date=2013-07-10|title=数とは何かそして何であるべきか|series=ちくま学芸文庫|publisher=筑摩書房|isbn=978-4-480-09547-3|ref={{sfnref|デデキント|2013}} }}
* {{Cite book|和書|author=フレーゲ|authorlink=ゴットロープ・フレーゲ|editor=野本和幸|editor-link=野本和幸|year=2000|month=9|title=フレーゲ著作集3 算術の基本法則|publisher=勁草書房|isbn=4-326-14822-5|ref={{sfnref|フレーゲ|2000}} }}
* {{Cite book|和書|author=フレーゲ|editor=野本和幸|year=2002|month=5|title=フレーゲ著作集6 書簡集 付「日記」|publisher=勁草書房|isbn=4-326-14825-X|ref={{sfnref|フレーゲ|2002}} }}
* {{Cite book|和書|author=三浦俊彦|authorlink=三浦俊彦 (哲学者)|date=2005-10-20|title=ラッセルのパラドクス 世界を読み換える哲学|series=岩波新書 新赤版975|publisher=岩波書店|isbn=4-00-430975-1|ref={{sfnref|三浦|2005}} }}
* {{Cite journal|last1=Rang|first1=B.|last2=Thomas|first2=W.|year=1981|title=Zermelo's discovery of the 'Russell Paradox'|journal=Historia Mathematica|volume=8|issue=1|pages=15-22|doi=10.1016/0315-0860(81)90002-1|language=en|ref=harv}}
* {{Cite web|last=Russell|first=Bertrand|authorlink=バートランド・ラッセル|year=1903|title=The Principles of Mathematics|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|url=http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/|accessdate=2023-09-03|language=en|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Zermelo|first=Ernst|author-link=エルンスト・ツェルメロ|year=1908|title=Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I|journal=[[Mathematische Annalen]]|publisher=Teubner|volume=65|pages=261-281|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN235181684_0065|accessdate=2023-09-03|language=de|ref=harv}}
** {{Cite book|和書|author=エルンスト・ツェルメロ|others=渕野昌 訳|date=2013-07|title=集合論の基礎に関する研究 I|ref={{sfnref|ツェルメロ|2013}} }} - {{Harv|デデキント|2013|pp=139-179}}に収録。
{{Refend}}

== 関連項目 ==
<!--項目の50音順-->
{{Columns-list|20em|
* [[エピメニデスのパラドックス]]
* [[エルンスト・ツェルメロ]]
* [[型理論]]
* [[カリーのパラドックス]]
* [[グロタンディーク宇宙]]
* [[公理的集合論]] - [[集合論]]
* [[市長のパラドックス]]
* [[ダフィット・ヒルベルト]]
* [[床屋のパラドックス]] - ラッセルのパラドックスを分かり易くした例。
* [[バートランド・ラッセル]]
* [[パラドックス]]
* [[矛盾許容論理]]
* [[モーダストレンス]]
}}

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|ラッセルのパラドックス}}
* {{IEP|par-russ|Russell's Paradox}}
* {{SEP|russell-paradox|Russell's Paradox}}
* {{MathWorld|title=Russell's Antinomy|urlname=RussellsAntinomy}}

{{集合論}}
{{パラドックス}}

{{DEFAULTSORT:らつせるのはらとつくす}}
[[Category:自己言及のパラドックス]]
[[Category:集合論のパラドックス]]
[[Category:バートランド・ラッセル]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
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