ラピディティのソースを表示

[[ファイル:Inverse Hyperbolic Tangent.svg|right|thumb|250px|ラピディティは、速度{{mvar|v}}と光速{{mvar|c}}に対する{{math|artanh(''v'' / ''c'')}}の値である。]]
[[相対性理論]]において、'''ラピディティ''' ({{Lang-en-short|Rapidity}}) とは[[運動]]の大きさを表現する[[無次元量]]である。相対論的な[[速度]]とは異なり、ラピディティには並進速度については（言い換えれば、一次元空間においては）単純な[[加法|加法性]]が備わる。低速域ではラピディティと速さは近似的に[[比例]]関係にあるが、高速域ではラピディティの方が大きくなっていく。[[光速]]に対応するラピディティは[[無限|無限大]]である。

[[逆双曲線関数|逆双曲正接関数]] {{Math|artanh}} を用いて、ラピディティ {{Mvar|&phi;}} は[[速さ]] {{Mvar|v}} から {{Math|1=''&phi;'' = arctanh {{sfrac|''v''|''c''}}}} のように算出される。したがって、低速域では {{Mvar|&phi;}} は近似的に {{Math|{{Mvar|v}} / {{Mvar|c}}}} と等しい。

光速 {{Mvar|c}} は有限であり、速さ {{Mvar|v}} は必ず[[不等式]] {{Math|&minus;{{Mvar|c}} < {{Mvar|v}} < {{Mvar|c}}}} を満たすため、{{Math|{{Mvar|v}} / {{Mvar|c}}}} は不等式 {{Math|&minus;1 < {{Mvar|v}} / {{Mvar|c}} < 1}} を満たす。逆双曲正接関数の[[定義域]]は区間 {{Math|(&minus;1, 1)}} であり、[[値域]]は[[実数]]全体であるため、速さの区間 {{Math|&minus;{{Mvar|c}} < {{Mvar|v}} < {{Mvar|c}}}} はラピディティの区間 {{Math|&minus;&infin; < ''&phi;'' < &infin;}} に対応する。

数学的には、ラピディティは相対的に運動する二つの[[基準系]]の[[空間]]軸および[[時間]]軸の間の{{仮リンク|双曲角|en|Hyperbolic angle}}により定義される。

== 歴史 ==
[[ファイル:Hyperbolic sector.svg|200px|right]]
1908年、[[ヘルマン・ミンコフスキー]]は、[[ローレンツ変換]]が[[座標時|時空座標]]の単純な双曲回転、すなわち虚角による回転として見られる事を説明した。<ref>[[ヘルマン・ミンコフスキー]]　(Hermann Minkowski) (1908年)、ウィキソース経由の[https://en.wikisource.org/wiki/Translation:The_Fundamental_Equations_for_Electromagnetic_Processes_in_Moving_Bodies 運動物体における電磁過程の基本方程式（英語）]</ref> したがって、この角度は（1つの空間次元で）フレーム間の速度の単純な加算的尺度を表す。<ref>Sommerfeld, ''Phys. Z'' (1909年)</ref> 速度に代わる急速性パラメータは、1910年にウラジミール・ヴァリチャク<ref>ウラジミール・ヴァリチャク (Vladimir Varićak) (1910年)、 ウィキソース経由の[https://en.wikisource.org/wiki/Translation:Application_of_Lobachevskian_Geometry_in_the_Theory_of_Relativity 相対性理論におけるロバチェフスキー幾何学の応用物理学] ''Physikalische Zeitschrift''</ref>と エドマンド・テイラー・ウィテカー<ref>[[エドマンド・テイラー・ホイッテーカー|エドマンド・テイラー・ウィテカー]] (Edmund Taylor Whittaker) (1910年) 、エーテルと電気の理論の歴史 (英語）、441 ページ。</ref> によって導入された。このパラメータはアルフレッド・ロブ（1911年）<ref>アルフレッド・ロブ (Alfred Robb) (1911年) ''光学的運動幾何学''、9 ページ</ref> によって''急速性''と名付けられ、この用語はルートヴィヒ・シルバーシュタイン（1914年）、[[フランク・モーリー]]（1936年）、ヴォルフガング・リンドラー（2001年）など、その後の多くの著者に採用された。

===双曲扇形の面積===
グレゴワール・ド・サン・ヴァンサンによる「{{math|''xy'' {{=}} 1}}」双曲線の[[求積法]]によって、自然対数は双曲扇形の面積、または漸近線に対する同等の面積として確立された。時空理論では、光による出来事のつながりによって、宇宙は「今ここ」に基づいて「過去」、「未来」、または「他の場所」に分割される。空間内のどの線上でも、光線は左または右に向けられる。{{nowrap|x 軸}}を右の光線が通過するイベント、{{nowrap|y 軸}}を左の光線が通過するイベントとする。したがって、静止している参照フレームには、「{{math|''xy'' {{=}} 1}}」対角線に沿った[[時間]]が存在する。「{{math|''xy'' {{=}} 1}}」直角双曲線は速度を測定するために使用出来る (第 1 象限)。0 速度は {{math|(1, 1)}} に対応する。双曲線上の任意の点は <math>( e^w , \ e^{-w} ) </math> [[光円錐座標系|光円錐座標]]を持って、ここで {{mvar|w}} は急速性であって、{{math|(1, 1)}} からこれらの座標までの双曲セクターの面積に等す。多くの著者は、標準の[[時空図]]のように急速性をパラメータとして使用して、代わりに「<math>x^2 - y^2</math>」ユニタリ双曲線を参照している。そこでは、軸は時計とメートル棒、よる馴染みのあるベンチマーク、そして時空理論の基礎によって測定される。したがって、ビーム空間の双曲パラメータとしての急速性の描写は、私たちの貴重な[[超越関数]]の 17 世紀の起源への参照であって、時空図表への補足である。

== 一次元空間におけるラピディティ ==
ラピディティ {{Mvar|&phi;}} は[[ローレンツ変換|ローレンツブースト]]の[[行列]]積による表式
: <math>
  \begin{pmatrix}
    c t' \\
    x'
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \cosh \varphi & \sinh \varphi \\
    \sinh \varphi & \cosh \varphi
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    ct \\
    x
  \end{pmatrix}
  = \boldsymbol \Lambda (\varphi) 
  \begin{pmatrix}
    ct \\
    x
  \end{pmatrix}</math>
に現われる。行列 {{Math|'''&Lambda;'''(''&phi;'')}} は <math>\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix} </math> のような対称行列で、かつ {{Mvar|p}} と {{Mvar|q}} が {{Math|{{Mvar|p}}{{Sup|2}} &minus; {{Mvar|q}}{{Sup|2}} {{=}} 1}} を満たすような行列であり、したがって点 {{Math|({{Mvar|p}}, {{Mvar|q}})}} は単位[[双曲線]]の上に乗り、[[双曲線関数]]で表現することができる。このような行列全体は、単位[[反対角行列]]によって張られる[[リー代数]]を持つ{{仮リンク|不定値直交群 O(1,1)|en|Indefinite orthogonal group}}を成す。この作用は[[時空図]]上に表現することができる。[[行列指数関数]]の記法を用いると、 {{Math|1='''&Lambda;'''(''&phi;'') = ''e''<sup>'''''Z'''&phi;''</sup>}} のように表わすことができる。ここで、 {{Math|'''''Z'''''}} は単位[[反対角行列]]
: <math> \boldsymbol Z =
   \begin{pmatrix}
    0 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix} </math>
である。また、以下の式は簡単に示すことができる。
: <math>\boldsymbol{\Lambda}(\varphi_1 + \varphi_2) = \boldsymbol{\Lambda}(\varphi_1)\boldsymbol{\Lambda}(\varphi_2)</math>
この式により、ラピディティの有用な特性である、[[加法的関数|加法性]]が確立される。すなわち、{{Math|A}}, {{Math|B}}, {{Math|C}} を[[基準系]]とし、 基準系 {{Math|P}} からみた基準系 {{Math|Q}} のラピディティを {{Math|''&phi;''<sub>PQ</sub>}} と表わすものとすると、次の式が成り立つ。
: <math>\varphi_{\text{AC}}= \varphi_{\text{AB}} + \varphi_{\text{BC}}</math>
この式の単純さは、{{仮リンク|相対論的な速度の合成則|en|Velocity-addition formula}}とは対照的である。

上で示したようなローレンツ変換は、[[ローレンツ因子]] <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh \varphi</math> と一対一対応するため、<math>\varphi</math> は {{Mvar|&gamma;}} と {{Mvar|&beta;}} を用いたローレンツ変換の表式に暗黙のうちに用いられていると考えることもできる。速度の合成則 <math>u=(u_1+u_2)/(1+u_1u_2/c^2)</math> にも、 <math>\beta_{i} = \frac{u_{i}}{c} = \tanh{\varphi_{i}} </math> および、
: <math>
    \begin{align}
        \tanh\varphi &= \frac{\tanh\varphi_1 +\tanh\varphi_2}{1+\tanh\varphi_1\tanh\varphi_2} \\
            &= \tanh(\varphi_1+\varphi_2)
    \end{align}
</math>
を用いることにより関連づけることができる。

{{仮リンク|固有加速度|en|Proper acceleration}}（加速を受けている物体が「感じる」加速度）は、[[固有時]]（加速を受けている物体から測った時間）あたりのラピディティの変化率で表わすことができる。従って、ある慣性系において非相対論的な加速度を静止状態から一定の速度に達するまでにかかる時間で割って求めるのと同様に、ある基準系で測ったある物体のラピディティをその物体の速度の代わりに用いることができる。

{{仮リンク|相対論的ドップラー効果|en|Relativistic Doppler effect|label = ドップラーシフト}}因子とラピディティ {{Mvar|&phi;}} との間の[[関係式]]は、{{Math|1=''k'' = ''e''<sup>''&phi;''</sup>}} と表わされる。

== 一次元以上の空間次元に対して ==
数学的な視点からは、相対論的に可能な速度全体は[[多様体]]を成し、その[[計量テンソル]]は固有加速度に対応する（上節参照）。この空間は平坦ではなく（つまり、{{仮リンク|双曲空間|en|Hyperbolic space}}であり）、ラピディティはある基準系におけるある速度からゼロ速度までの[[距離空間|距離]]として与えられる。上記の一次元空間の場合と同じようにラピディティを加減算することは、対応する相対速度が平行であれば可能であるが、一般の場合のラピディティの合成則は負の[[スカラー曲率|曲率]]のためにより複雑になる。 例えば、それぞれ {{Math|''&phi;''<sub>1</sub>}} および {{Math|''&phi;''<sub>2</sub>}} をラピディティとする二つの直交する運動を「加算」した結果は、[[ピタゴラスの定理]]から予想される値 <math>\sqrt{\varphi_1^2 + \varphi_2^2}</math> よりも大きくなる。二次元におけるラピディティは[[ポアンカレの円板モデル|ポアンカレの円盤]]により可視化すると便利である<ref>{{Cite journal|first1=John A.|last=Rhodes|first2=Mark D.|last2=Semon|year=2003|url=http://www.bates.edu/%7Emsemon/RhodesSemonFinal.pdf|title=Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession|journal=American Journal of Physics|volume=72|issue=7|pages=943–961}}</ref>。円盤の端にある点は無限大のラピディティに対応する。測地線は定常加速に対応する。{{仮リンク|トーマス歳差|en|Thomas precession}}は三角形の角度、または面積の減少を負にした値に等しい。

==実験粒子物理学において==
非ゼロ（静止）{{mvar|m}} 質量の粒子の {{mvar|E}} エネルギーと {{math|{{!}}'''p'''{{!}}}} スカラー運動量は次のように表される︰
<math display="block">\begin{align}
E &= \gamma mc^2 \\
\left| \mathbf p \right| &= \gamma mv
\end{align}</math>
{{mvar|w}} の定義が
<math display="block"> w = \operatorname{artanh} \frac{v}{c}</math>
であって、それから
<math display="block">\cosh w = \cosh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {1}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \gamma</math>
<math display="block">\sinh w = \sinh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {\frac{v}{c}}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \beta \gamma</math>
であって、エネルギーとスカラー運動量は次のように表す事が出来る︰
<math display="block">\begin{align}
E &= m c^2 \cosh w \\
\left| \mathbf p \right| &= m c \, \sinh w
\end{align}</math>
したがって、測定されたエネルギーと運動量から急速性は次のように計算出来る︰
<math display="block"> w = \operatorname{artanh} \frac{| \mathbf p | c}{E}= \frac{1}{2} \ln \frac{E + | \mathbf p | c}{E - | \mathbf p | c} = \ln \frac{E + | \mathbf p | c}{ mc^2}  ~</math>
しかし、実験粒子物理学者は、ビーム軸に対する急速性の修正定義をしばしば使用する︰<math display="block">y = \frac{1}{2} \ln \frac{E + p_z c}{E - p_z c}</math>
ここで、{{math|''p''<sub>''z''</sub>}} はビーム軸に沿った運動量の成分である。<ref>Amsler, C. ''et al.'', [http://pdg.lbl.gov/2009/reviews/rpp2009-rev-kinematics.pdf "The Review of Particle Physics"], ''Physics Letters B'' '''667''' (2008) 1, Section 38.5.2</ref>これはビーム軸に沿ったブーストの急速性であって、これによる観測者は実験室フレームから粒子がビームに対して垂直にのみ移動するフレームに移行する。これに関連するのが[[擬ラピディティ|疑似急速性]]の概念である。

ビーム軸に対する急速性は次のように表す事も出来る︰
<math display="block">y = \ln \frac{E + p_z c}{\sqrt{m^2c^4+p_T^2 c^2} } ~</math>

== 関連項目 ==
* [[相対性理論]]
* [[ローレンツ変換]]
* [[擬ラピディティ]]

== 脚注・出典 ==
{{Reflist}}
* {{Cite book|author=Whittaker, E.T. | year=1910 | title= 1. Edition: A History of the theories of aether and electricity | place =Dublin |publisher=Longman, Green and Co.  | postscript=. |url=https://archive.org/details/historyoftheorie00whitrich |access-date=2023-10-04 |page=441}}
*{{Cite book|last=Robb|first=Alfred|year=1911|title=Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity|location=Cambridge|publisher=Heffner & Sons|url=https://archive.org/details/opticalgeometryo00robbrich}}
* {{Cite journal|author=[[エミール・ボレル|Borel E]]|year=1913|title=La théorie de la relativité et la cinématique|journal=Comptes Rendus Acad Sci Paris|volume=156|pages=215-218|language=[[フランス語|French]]|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3109m/f215.chemindefer|accessdate = 2015-09-16}}
* {{Cite journal|author=[[エミール・ボレル|Borel E]]|year=1913|title=La cinématique dans la théorie de la relativité|journal=Comptes Rendus Acad Sci Paris|volume=157|pages=703-705|language=[[フランス語|French]]|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31103/f703.table|accessdate = 2015-09-16}}
*{{Cite book|last=Silberstein|first=Ludwik|authorlink=:en:Ludwik Silberstein|year=1914|title=The Theory of Relativity|location=London|publisher=Macmillan & Co.|url=https://archive.org/details/theoryofrelativi00silbrich}}
* {{Cite journal|author=Vladimir Karapetoff|authorlink=:en:Vladimir Karapetoff|year=1936|title=Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities|journal=[[:en:American Mathematical Monthly|American Mathematical Monthly]]|volume=43|pages=70-82|doi=10.2307/2301196}}
* {{Cite journal|author=[[:en:Frank Morley|Frank Morley]]|year=1936|title=When and Where|journal=The Criterion|editor=[[T・S・エリオット|T.S. Eliot]]|volume=15|pages=200-2009}}
* {{Cite book|author=[[:en:Wolfgang Rindler|Wolfgang Rindler]]|year=2001|title=Relativity: Special, General, and Cosmological|page=53|publisher=[[Oxford University Press]]}}
* {{Cite book|last=Shaw|first=Ronald|year=1982|title=Linear Algebra and Group Representations|volume=1|page=229|publisher=[[:en:Academic Press|Academic Press]]|ISBN=0-12-639201-3}}
*{{Cite book|author=Walter, Scott|year=1999|contribution=The non-Euclidean style of Minkowskian relativity|editor=J. Gray|title=The Symbolic Universe: Geometry and Physics|pages=91–127|publisher=Oxford University Press|contribution-url=http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/papers/nes.pdf|format=PDF}}(see page 17 of e-link)
* {{仮リンク|label=Varićak V|ウラジミール・ワリチャク|en|Vladimir Varićak}} (1910), (1912), (1924) [[:en:Vladimir Varićak#Publications]]を参照。

[[Category:特殊相対性理論]]
{{デフォルトソート:らひていてい}}