ラプラス方程式のソースを表示

{{出典の明記|date=2013年2月14日 (木) 05:33 (UTC)}}
'''ラプラス方程式'''（ラプラスほうていしき、{{lang-en-short|Laplace's equation}}）は、2階線型の[[楕円型偏微分方程式|楕円型]][[偏微分方程式]]
:{{math|1=&nabla;<sup>2</sup>''&phi;'' = &Delta;''&phi;'' = 0}}
である。ここで、{{math|1=&nabla;<sup>2</sup> = &Delta;}} は[[ラプラシアン]]（ラプラス作用素、ラプラスの演算子）である。なお、&nabla; については[[ナブラ]]を参照。ラプラス方程式は、発見者である[[ピエール＝シモン・ラプラス]]から名づけられた。ラプラス方程式の解は、[[電磁気学]]、[[天文学]]、[[流体力学]]など自然科学の多くの分野で重要である。ラプラス方程式の解についての一般理論は[[ポテンシャル理論]]という一つの分野となっている。

{{math|'''R'''{{sup|3}}}} の場合に標準座標を用いてラプラス方程式を書くと次のようになる：

: <math>
{\partial^2 \over \partial x^2 }\phi(x,y,z) +
{\partial^2 \over \partial y^2 }\phi(x,y,z) +
{\partial^2 \over \partial z^2 }\phi(x,y,z) = 0.
</math>

数学以外の自然科学の分野では、たとえば電荷分布のない一様な媒質中の静電[[ポテンシャル]]や、[[熱伝導]]など[[拡散方程式]]の定常な場合などがこの方程式で表される。ラプラス方程式には、時間に当たる変数 ''t'' が含まれていない。即ち、ラプラス方程式は、時間によって変化しない[[定常状態]]を表す偏微分方程式であると言える。時間を反映した変数がないので、ラプラス方程式には、初期条件はなく、境界条件だけが必要となる。

== 一般化 ==
変数の数は任意有限個に拡張できる。''n'' 変数の関数 ''&phi;'' = ''&phi;''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>) に関する偏微分方程式
: <math>
{\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi +
{\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi +
\cdots +
{\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0
</math>
を一般にラプラス方程式と呼ぶ。同様に微分作用素
:<math>\Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } +
{\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots +
{\partial^2 \over \partial x_n^2 }
</math>
をラプラシアンと呼ぶ。

== 固有値問題 ==
ラプラシアンの固有値は、ある関数 {{math|''u'' &ne; 0}} について
:<math>\triangle u= \lambda u</math>
を満たすような {{mvar|&lambda;}} である。これは[[ヘルムホルツ方程式]]である。

== 関連項目 ==
*[[ラプラス変換]]
*[[グリーン関数]]
*[[アーンショーの定理]]
*[[調和関数]] - ラプラス方程式の解となる関数。
*[[フーリエ級数]]
* 派生する方程式
**[[ヘルムホルツ方程式]]
**[[波動方程式]]
**[[ポアソン方程式]] - ラプラス方程式の右辺を関数 ''f''(''x'', ''y'', ''z'') に置き換えた方程式 &Delta;φ = ''f''
* [[調和微分形式]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{Physics-stub}}

{{デフォルトソート:らふらすほうていしき}}
[[Category:物理数学]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:調和関数]]
[[Category:ピエール＝シモン・ラプラス]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]