ラミの定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2012年2月}}
'''ラミの定理'''（ラミのていり、{{Lang-en|Lami's theorem}}）は、[[静力学]]における[[定理]]<ref name="工業力学">青木　弘・木谷　晋、『工業力学（第３版）』森北出版、1994年、18頁</ref>。考案者は、[[フランス]]の[[数学者]]、[[神学者]][[ベルナール・ラミ]]（Bernard Lamy、1640年-1715年）である。

== 定理 ==
1点に作用する3つの力'''F'''<sub>1</sub> , '''F'''<sub>2</sub> , '''F'''<sub>3</sub> が釣り合い状態にあるならば、その大きさと作用線のなす[[角]]の間に次式が成り立つ。
: <math> \frac{F_1}{\sin\theta_1}=\frac{F_2}{\sin\theta_2}=\frac{F_3}{\sin\theta_3} </math>
ここで、&theta;<sub>1</sub> は'''F'''<sub>2</sub> と'''F'''<sub>3</sub> の成す角、&theta;<sub>2</sub> は'''F'''<sub>3</sub> と'''F'''<sub>1</sub> の成す角、&theta;<sub>3</sub> は'''F'''<sub>1</sub> と'''F'''<sub>2</sub> の成す角である。

== 証明 ==
=== 座標系を用いる証明 ===
'''F'''<sub>1</sub> の向きに''x'' 軸をとると、それぞれの力は次のように表される。
:<math>\begin{align}
\mathbf{F}_1 &= (F_1,0) \\
\mathbf{F}_2 &= (F_2\cos\theta_3,  F_2\sin\theta_3) \\
\mathbf{F}_3 &= (F_3\cos\theta_2, -F_3\sin\theta_2) \\
\end{align}</math>
これらの力が釣り合っているから、その和の''y'' 成分を考えれば
:<math>\frac{F_2}{\sin\theta_2} = \frac{F_3}{\sin\theta_3}</math>
が成り立つ。

''F''<sub>1</sub> /sin&theta;<sub>1</sub> についても、'''F'''<sub>2</sub> の向きに''x'' 軸を取り直し同様のことを考えればよい。

=== 正弦定理を用いる証明 ===
3つのベクトル'''F'''<sub>1</sub> , '''F'''<sub>2</sub> , '''F'''<sub>3</sub> を、三角形ができるよう配置しなおす。この三角形に対し[[正弦定理]]を適用すると、
: <math> \frac{F_1}{\sin(\pi-\theta_1)}=\frac{F_2}{\sin(\pi-\theta_2)}=\frac{F_3}{\sin(\pi-\theta_3)} </math>
が成り立つ。sin(&pi;-&theta;) = sin&theta;であることを考えればラミの定理が成り立つ。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
青木　弘・木谷　晋、『工業力学（第３版）』森北出版、1994年、ISBN 4-627-61022-X

== 外部リンク ==
* [http://tsubaki.ge.ariake-nct.ac.jp/~takeuchi/blog/archives/2006_8_30_489.html ラミの定理の証明]

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