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数学の分野における'''ラメ函数'''（ラメかんすう、{{Lang-en-short|Lamé function}}）あるいは'''楕円型調和函数'''（ellipsoidal harmonic function）とは、二階の[[常微分方程式]]の一つとして知られる'''ラメの方程式'''（Lamé's equation）の解である。論文 {{harvs|first=Gabriel|last= Lamé|authorlink= ガブリエル・ラメ|year=1837}} において初めて考えられた。ラメの方程式は、{{仮リンク|楕円座標系|label=楕円座標|en|Elliptic coordinate system}}での[[ラプラス方程式]]に対して適用される[[変数分離|変数分離法]]にあらわれる。いくつかの特別な場合では、解を'''ラメ多項式'''（Lamé polynomials）と呼ばれる多項式によって表現することが出来る。

ラメ函数についての詳細な議論は {{harvs|loc=Chapter&nbsp;XV | last1=Erdélyi | first1=Arthur | last2=Magnus | first2=Wilhelm | author2-link=:en:Wilhelm Magnus | last3=Oberhettinger | first3=Fritz | last4=Tricomi | first4=Francesco G. | title=Higher transcendental functions. Vol. III | publisher=McGraw–Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London | mr=0066496 | year=1955}} に見られる。

ラメの方程式とは次のようなものである。
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = (A+B\weierp(x))y.</math>
ここで ''A'' と ''B'' は定数で、<math>\wp</math> は[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数]]である。最も重要なケースでは、自然数 ''n'' に対して ''B'' は ''n''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) で与えられ、このとき解は複素平面全体で定義される[[有理型関数]]となる。''B'' が他の値を取る際には、解は[[分岐点]]を持つ。

独立変数を変えることで、ラメの方程式を次のような代数形式で記述することが出来る。
:<math>\frac{d^2y}{dt^2} +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-e_1}+\frac{1}{t-e_2}+\frac{1}{t-e_3}\right)\frac{dy}{dt} = \frac{A+Bt}{4(t-e_1)(t-e_2)(t-e_3)}y.</math>
これに対しある変数変換を行うことで、[[ホイン函数|ホインの方程式]]の特別な場合を導くことが出来る。

== 参考文献 ==

*{{Citation 
| last = Erdélyi 
| first = Arthur 
| authorlink = :en:Arthur Erdélyi
| last2 = Magnus 
| first2 = Wilhelm 
| author2-link = :en:Wilhelm Magnus 
| last3 = Oberhettinger 
| first3 = Fritz 
| last4 = Tricomi 
| first4 = Francesco G. 
| author4-link = :en:Francesco Tricomi
| title = Higher transcendental functions
| series = Bateman Manuscript Project
| volume = Vol. III
| place = New York–Toronto–London
| publisher = [[マグロウヒル|McGraw-Hill]]
| pages = XVII + 292
| year = 1955 
| url = http://apps.nrbook.com/bateman/Vol3.pdf
| mr = 0066496 
| zbl = 0064.06302
}}.
*{{Citation
| first = G. 
| last = Lamé 
| author-link = ガブリエル・ラメ
| title = Sur les surfaces isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température
| journal = [[:en:Journal de mathématiques pures et appliquées|Journal de mathématiques pures et appliquées]]  
| volume = 2  
| year = 1837 
| pages = 147–188
| url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k163818/f155.image
}}. Available at [[フランス国立図書館#電子図書館「ガリカ」|Gallica]].
*{{SpringerEOM|title=Lamé equation|last= Rozov|first=N. Kh.|urlname=Lamé_equation}}
*{{SpringerEOM|title=Lamé function|last= Rozov|first=N. Kh.|urlname=Lamé_function}}
*{{dlmf|id=29|first=H. |last=Volkmer}}

{{DEFAULTSORT:らめかんすう}}
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