リアプノフ・フラクタルのソースを表示

[[画像:Lyapunov fractal 1.png|thumb|繰り返し列 AB の標準的なリアプノフ・フラクタル]]
[[画像:Lyapunov fractal 2.png|thumb|繰り返し列 AABAB のリアプノフ・フラクタル]]

'''リアプノフ・フラクタル'''（[[英語|英]]: '''Lyapunov fractal'''）とは、個体数の成長指数 ''r'' が周期的に2つの値 ''a'' と ''b'' に切り替わる[[ロジスティック式|ロジスティック写像]]を拡張することで得られる分岐的[[フラクタル]]である。

リアプノフ・フラクタルは、''a'' と ''b'' について与えられた周期列の ''a''-''b'' 平面における安定的振る舞いと[[カオス理論|カオス]]的振る舞いの領域（[[リアプノフ指数]] <math>\lambda</math> を使って測る）の写像により構築される。掲載している図では色が付いている部分が <math>\lambda < 0</math>（安定）で、黒い部分が <math>\lambda > 0</math>（カオス）である（左上が (a,b) = (0,0)）。

== 属性 ==
リアプノフ・フラクタルは ''a'' と ''b'' の値を <math>[0,4]</math> の範囲で変化させて描画するのが一般的である。''a = b'' の場合、単純な[[ロジスティック関数]]と同じである。

初期値は反復関数の[[臨界点 (数学)|臨界点]]である 0.5 とするのが普通である。

== リアプノフ・フラクタルを生成するアルゴリズム ==
リアプノフ・フラクタルを計算する[[アルゴリズム]]をまとめると、次のようになる。

# A と B からなる任意の自明でない長さの文字列を選ぶ（例えば、AABAB）。
# その文字列を必要なだけ繰り返した周期列 <math>S</math> を構築する。
# (a,b) を <math>(a,b) \in [0,4] \times [0,4]</math> の範囲で選ぶ。
# <math>S_n = A</math> なら <math>r_n = a</math>、<math>S_n = B</math> なら <math>r_n = b</math> となる関数を定義する。
# <math>x_0 = 0.5</math> とし、<math>x_{n+1} = r_n x_n (1 - x_n)</math> を繰り返し計算する。
# 次のようにリアプノフ指数を計算する:<br><math>\lambda = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum_{n = 1}^N \log \left|{dx_{n+1} \over dx_n}\right| = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum_{n = 1}^N \log |r_n (1 - 2x_n)|</math><br>実際には、適当な大きさの <math>N</math> を選ぶことで <math>\lambda</math> を近似的に求めることができる。
# <math>(a,b)</math> の色を <math>\lambda</math> の値に従って決める。
# (3-7) のステップを描画範囲について繰り返す。

このアルゴリズムは[[Mathematica]]などの言語に適しているが、低レベルなプログラミング言語には向かない。

== 外部リンク ==
*[http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/Lyapunov.htm] EFG's Fractals and Chaos - Lyapunov Exponents
*[http://hypertextbook.com/chaos/lyapunov-2/] Lyapunov Space - The Chaos Hypertextbook by Glenn Elert

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