リウヴィル場理論のソースを表示

[[物理学]]における'''リウヴィル場理論'''（あるいは単に'''リウヴィル理論'''、{{lang-en-short|Liouville field theory, Liouville theory}}）とは、2-次元の[[場の量子論]]で、古典的な運動方程式が[[ジョゼフ・リウヴィル]]の[[リーマン面]]を統一する古典的な幾何学的問題で現れる非線型第二階微分方程式となっている場の量子論を言う。{{sfn|Lützen|1990}}

この場の理論は次の局所的な[[最小作用の原理|作用]]で定義される。

::<math>
S = \frac{1}{4\pi} \int d^2x \, \sqrt{g} (g^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \partial_{\nu} \phi + (b+b^{-1}) R \phi + 4\pi e^{2b\phi}),
</math>

ここに <math>\partial_\mu = \partial/\partial x^\mu ,\, g_{\mu \nu}</math> は 2次元の空間の計量であり、この面の上に場の理論が定式化される。{{mvar|R}} はこの面の[[スカラー曲率|リッチスカラー]]であり、{{mvar|b}} は実数の結合定数である。場 {{mvar|&phi;}} は、結局、'''リウヴィル場'''を考えている。
<!---In [[physics]], '''Liouville field theory''' (or simply '''Liouville theory''') is a two-dimensional [[quantum field theory]] whose classical equation of motion resembles the [[Joseph Liouville]]'s non-linear second order differential equation that appears in the classical geometrical problem of uniformizing [[Riemann surfaces]].<ref>Lützen, J. ''Joseph Liouville, 1809–1882: Master of pure and applied mathematics'', Springer 1990 ISBN 0387971807.</ref>

The field theory is defined by the local action

::<math>
S = \frac{1}{4\pi } \int d^2x \sqrt{g} (g^{\mu \nu} \partial _\mu \phi \partial _{\nu} \phi + (b+b^{-1}) R \phi + 4\pi e^{2b\phi }),
</math>

where <math> \partial _\mu = \partial /\partial x^\mu ,\  g_{\mu \nu} </math> is the metric of the two-dimensional space on which the field theory is formulated, <math> R </math> is the [[Ricci scalar]] of such space, and <math> b </math> is a real coupling constant. The field <math> \phi </math> is consequently dubbed the Liouville field.-->

この作用に付随する運動方程式は、

::<math>
\Delta \phi(x) = \frac{1}{2} (b+b^{-1}) R(x) + 4\pi b e^{2b\phi(x)} 
</math>

で、ここに <math> \Delta = g^{-1/2} \partial_{\mu} (g^{1/2} g^{\mu \nu} \partial_{\nu})</math> は、そのような空間の中の[[ダランベール演算子]]（ダランベール作用素）である（また、[[ラプラス作用素]]も参照のこと）。空間の計量が[[ユークリッド計量]]の場合は、標準的な記法を使い、この方程式が古典的なリウヴィル方程式となる。

::<math>
\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \phi(x,y) = 4\pi b e^{2b \phi(x,y)}.
</math>

リウヴィル場理論は、[[共形場理論]]で、{{仮リンク|ワイル対称性|en|Weyl symmetry}} {{en|(Weyl symmetry)}} を特別な方法で体現している。{{sfn|Jackiw|2006}} この理論の中心電荷 <math>c</math> は、表現 <math>c=1+6(b+1/b)^{2}</math> を通して、作用の中に現れるパラメータの項で与えられる。リウヴィル理論は、[[経路積分]]のアプローチの中で理論の非臨界バージョンを定式化しようとするときに、[[弦理論]]の脈絡で現れる。{{sfn|Polyakov|1981}} また、弦理論の脈絡では、ボゾンの自由場と結合している場合は、リウヴィル理論は、2次元空間（時空）の弦の励起を記述する理論と考えることができる。

リウヴィル場理論は、非有理な[[共形場理論]]と呼ばれる理論の最も理解がなされている例の一つで、いくつかの観測可能量が明確な方法で計算することができる。この計算は、球のトポロジーのプライマリ作用素の 2点相関函数、3点相関函数の場合である。{{sfn|Zamolodchikov|Zamolodchikov|1996}}{{sfn|Dorn|Otto|1992}} トーラス上の分配函数やディスク上の 1点相関函数のような、他のトポロジーの上で定義された理論の観測可能量の明確な表現も、最近計算された。
<!---Liouville field theory is a [[conformal field theory]] that incarnates [[Weyl symmetry]] in a very special way.<ref>{{cite journal|doi=10.1007/s11232-006-0090-9|arxiv=hep-th/0511065|title=Weyl symmetry and the Liouville theory|year=2006|last1=Jackiw|first1=R.|journal=Theoretical and Mathematical Physics|volume=148|pages=941|bibcode = 2006TMP...148..941J }}</ref> Its central charge <math>c</math> is given in terms of the parameter appearing in the action through the expression <math>c=1+6(b+1/b)^{2}</math>.  Liouville theory appears in the context of [[string theory]] when trying to formulate a non-critical version of the theory in the [[path integral]] approach.<ref>{{cite journal|doi=10.1016/0370-2693(81)90743-7|title=Quantum geometry of bosonic strings|year=1981|last1=Polyakov|first1=A.M.|journal=Physics Letters B|volume=103|issue=3|pages=207|bibcode = 1981PhLB..103..207P }}</ref> Also in the string theory context, if coupled to a free bosonic field Liouville field theory can be thought of as the theory describing string excitations in a two-dimensional space(time). 

Liouville field theory is one of the best understood examples of what is called a non-rational [[conformal field theory]], for which some observables have been computed explicitly. Such is the case of two-point and three-point correlation functions of primary operators on the topology of the sphere.<ref>{{cite journal|doi= 10.1016/0550-3213(96)00351-3|arxiv=hep-th/9506136|title= Conformal bootstrap in Liouville field theory|year= 1996|last1= Zamolodchikov|first1= A.|last2= Zamolodchikov|first2= Al.|journal= Nuclear Physics B|volume= 477|issue= 2|pages= 577|bibcode = 1996NuPhB.477..577Z }}</ref><ref>{{cite journal|doi=10.1016/0370-2693(92)90116-L|arxiv=hep-th/9206053|title=On correlation functions for non-critical strings with c⩽1 but d⩾1|year=1992|last1=Dorn|first1=H.|last2=Otto|first2=H.-J.|journal=Physics Letters B|volume=291|pages=39|bibcode = 1992PhLB..291...39D }}</ref> Explicit expressions for observables of the theory defined on other topologies, like the partition function on the torus and the one-point function on the disk, were also calculated in the recent years.-->

リウヴィル場理論は、また、他の物理学や数学の問題に密接に関連していて、例を列挙すると、2次元[[量子重力]]、2次元弦理論、負の曲がりかたをしている空間の 3次元[[一般相対論]]、4次元の超対称性を持つ共形[[ゲージ理論]]、リーマン面の統一問題、共形写像の問題などがある。この理論はまた、2次元のアフィン対称性を持つ非有理的な共形場理論にも関係している。この例としては、群 <math> SL(2,R) </math> に対する[[WZWモデル]] {{en|(Wess–Zumino–Novikov–Witten theory)}}、さらに、{{仮リンク|戸田場の理論|en|Toda field theory}} {{en|(Toda field theories)}} <math> A_{N} </math> の族の <math>N=1</math> の特別な場合とも考えることができる。リウヴィル理論はまた、超対称性を持つ拡張もできる。{{sfn|Teschner|2001}}{{sfn|Nakayama|2004}}
<!---Liouville theory is also closely related to other problems in physics and mathematics, like two-dimensional [[quantum gravity]], two-dimensional string theory, three-dimensional [[general relativity]] in negatively curved spaces, four-dimensional superconformal [[gauge theories]], the uniformization problem of Riemann surfaces, and other problems in conformal mapping. It is also connected to other two-dimensional non-rational conformal field theories with affine symmetry, like the [[Wess–Zumino–Witten model|Wess–Zumino–Novikov–Witten theory]] for the group <math> SL(2,R) </math>, and, besides, it can be regarded as a special case (namely the case <math>N=1</math>) of the family of <math> A_{N} </math> [[Toda field theory|Toda field theories]]. Liouville theory also admits supersymmetric extension.<ref>{{cite journal|doi= 10.1088/0264-9381/18/23/201|arxiv=hep-th/0104158|title= Liouville theory revisited|year= 2001|last1= Teschner|first1= J|journal= Classical and Quantum Gravity|volume= 18|issue= 23|pages= R153|bibcode = 2001CQGra..18R.153T }}</ref><ref>{{cite journal|doi=10.1142/S0217751X04019500|arxiv=hep-th/0402009|title=Liouville Field Theory: A Decade After the Revolution|year=2004|last1=Nakayama|first1=YU|journal=International Journal of Modern Physics A|volume=19|issue=17n18|pages=2771|bibcode = 2004IJMPA..19.2771N }}</ref>-->

== 参照項目 ==
* {{仮リンク|リウヴィル重力|en|Liouville gravity}}
* [[リウヴィルの定理 (物理学)|リウヴィルの定理]]
* [[共形場理論]]
* [[弦理論]]

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{citation|last1=Lützen|first1=J.|title=Joseph Liouville, 1809–1882: Master of pure and applied mathematics|publisher=Springer|date=1990|isbn=0387971807|ref=harv}}
*{{cite journal|doi=10.1007/s11232-006-0090-9|arxiv=hep-th/0511065|title=Weyl symmetry and the Liouville theory|date=2006|last1=Jackiw|first1=R.|journal=Theoretical and Mathematical Physics|volume=148|pages=941|bibcode = 2006TMP...148..941J|ref=harv}}
*{{cite journal|doi=10.1016/0370-2693(81)90743-7|title=Quantum geometry of bosonic strings|date=1981|last1=Polyakov|first1=A.M.|journal=Physics Letters B|volume=103|issue=3|pages=207|bibcode = 1981PhLB..103..207P|ref=harv}}
*{{cite journal|doi= 10.1016/0550-3213(96)00351-3|arxiv=hep-th/9506136|title= Conformal bootstrap in Liouville field theory|date= 1996|last1= Zamolodchikov|first1= A.|last2= Zamolodchikov|first2= Al.|journal= Nuclear Physics B|volume= 477|issue= 2|pages= 577|bibcode = 1996NuPhB.477..577Z|ref=harv}}
*{{cite journal|doi=10.1016/0370-2693(92)90116-L|arxiv=hep-th/9206053|title=On correlation functions for non-critical strings with c⩽1 but d⩾1|date=1992|last1=Dorn|first1=H.|last2=Otto|first2=H.-J.|journal=Physics Letters B|volume=291|pages=39|bibcode = 1992PhLB..291...39D|ref=harv}}
*{{cite journal|doi= 10.1088/0264-9381/18/23/201|arxiv=hep-th/0104158|title= Liouville theory revisited|date= 2001|last1= Teschner|first1= J|journal= Classical and Quantum Gravity|volume= 18|issue= 23|pages= R153|bibcode = 2001CQGra..18R.153T|ref=harv}}
*{{cite journal|doi=10.1142/S0217751X04019500|arxiv=hep-th/0402009|title=Liouville Field Theory: A Decade After the Revolution|date=2004|last1=Nakayama|first1=YU|journal=International Journal of Modern Physics A|volume=19|issue=17n18|pages=2771|bibcode = 2004IJMPA..19.2771N|ref=harv}}

{{DEFAULTSORT:りうういるはのりろん}}
[[Category:場の量子論]]
[[Category:共形場理論]]
[[Category:弦理論]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:物理学のエポニム]]