リスク中立確率のソースを表示

'''リスク中立確率'''（リスクちゅうりつかくりつ、{{lang-en-short|risk-neutral probability}}）とは、[[金融経済学]]や[[数理ファイナンス]]、[[金融工学]]などにおいて、[[金融資産]]の理論的な価格を決定するために用いられる仮想上の[[確率]]である。[[確率測度]]であることを強調して、'''リスク中立確率測度'''（{{lang-en-short|risk-neutral probability measure}}）や'''リスク中立測度'''（{{lang-en-short|risk-neutral measure}}）と呼ばれたり、またその数学的特性から'''同値マルチンゲール測度'''（{{lang-en-short|equivalent martingale measure}}）と呼ばれることもある。リスク中立確率の下では全ての資産価格が（局所）[[マルチンゲール]]となる。多くの資産価格理論において中核的な役割を果たしており、[[確率的割引ファクター]]や[[無裁定価格理論]]などとも深く関連する重要な概念である。

== 概要 ==
リスク中立確率とは資産価格が[[マルチンゲール]]となるような仮想上の確率を指す。[[確率空間]] <math>(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)</math> 上において、リスク中立確率測度 <math>\widetilde{\mathbb P}</math> とは、以下の2条件を満たす[[確率測度]]を言う<ref>{{Harvnb|Shreve|(2004)|p=228|Ref=Shreve2004}}</ref>。
# <math>\mathbb P</math> と <math>\widetilde{\mathbb P}</math> は同値（互いに[[絶対連続]]）である。
# 任意の金融資産の価格とその[[インカム・ゲイン]]の和を[[安全資産]]の利子率で割り引いたものはリスク中立確率測度 <math>\widetilde{\mathbb P}</math> の下で（局所）マルチンゲールとなる。

例えば、離散時間モデルの場合、任意の金融資産 <math>i</math> の価格 <math>p_{i,t}</math> について以下の式が成立する<ref>{{Harvnb|Dybvig and Ross|(2003)|p=616|Ref=Dybvig,Ross2003}}</ref><ref>{{Harvnb|Cochrane|(2005)|p=51|ref=Cochrane2005}}</ref>。
:<math>p_{i,t} = \widetilde{E}_t\left[\frac{p_{i,t+1} + d_{i,t+1}}{1 + r_{\mathrm f,t+1}}\right] </math>
ここで <math>d_{i,t+1}</math> は金融資産 <math>i</math> の時点 <math>t+1</math> におけるインカム・ゲインであり、<math>r_{\mathrm f,t+1}</math> は安全資産の利子率である。<math>\widetilde{E}_t</math> は確率測度 <math>\widetilde{\mathbb P}</math> による、時点 <math>t</math> までの情報で条件づけられた[[条件付き期待値]]である。

連続時間モデルの場合は、インカム・ゲインの[[確率過程]]が区分的に連続ならば、次のような方程式が成立する。
:<math>p_{i,t} = \widetilde{E}_t\left[\int_0^s\exp\left\{-\int_0^ur_{\mathrm f,t+v}d v\right\}d_{i,t+u}d u + \exp\left\{-\int_0^sr_{\mathrm f,t+u}d u\right\}p_{i,t+s}\right]</math>
ただし、ここでの安全資産の利子率 <math>r_{\mathrm f,t}</math> は指数レートによる連続時間においての利子率となる。

== 確率的割引ファクターとの関係 ==
リスク中立確率測度は[[確率的割引ファクター]]の別表現とも言える。ここでは離散時間の場合について考えるが、連続時間においても同じ結論が成立する。リスク中立確率測度 <math>\widetilde{\mathbb P}</math> は確率測度 <math>\mathbb P</math> と同値であるので、[[ラドン＝ニコディムの定理|ラドン＝ニコディム微分]] <math>d\widetilde{\mathbb P}/d\mathbb P</math> が存在して
:<math>p_{i,t} = \widetilde{E}_t\left[\frac{p_{i,t+1} + d_{i,t+1}}{1 + r_{\mathrm f,t+1}}\right]  = E_t\left[\frac{p_{i,t+1} + d_{i,t+1}}{1 + r_{\mathrm f,t+1}}\frac{d\widetilde{\mathbb P}}{d\mathbb P}\right] </math>
が成り立つ。ここで
:<math>m_{t+1} = \frac{1}{1+r_{\mathrm f,t+1}}\frac{d\widetilde{\mathbb P}}{d\mathbb P}</math>
とすれば、
:<math>p_{i,t} = E_t\left[m_{t+1}(p_{i,t+1} + d_{i,t+1})\right] </math>
となる。よって <math>m_{t+1}</math> は確率的割引ファクターである。

== アセットプライシングの基本定理 ==
[[アセットプライシングの基本定理]]とは、リスク中立確率の存在や一意性についての[[必要十分条件]]を与える定理である。ファイナンスの基本定理と呼ばれることもある。金融市場の数学的定式化の違いにより定理の内容が若干異なるが<ref>{{Harvnb|Shreve|(2004)|pp=224-234|Ref=Shreve2004}}</ref><ref>{{Harvnb|Dybvig and Ross|(2003)|p=614|Ref=Dybvig,Ross2003}}</ref>、通常以下のように言及される。

; '''アセットプライシングの第1基本定理'''
:金融市場に[[裁定取引]]が存在しない必要十分条件は少なくとも1つ以上のリスク中立確率が存在することである。
; '''アセットプライシングの第2基本定理'''
:金融市場に裁定取引が存在しないと仮定する。この時、金融市場が[[金融経済学#市場の完備性|完備]]である必要十分条件はリスク中立確率が一意に定まることである。

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{Citation
|last = Cochrane
|first = John H.
|title = Asset Pricing
|year = 2005
|publisher = Princeton University Press
|location = Princeton, NJ
|edition = 2
|isbn = 9780691121376
|ref = Cochrane2005
}}
* {{Citation
|last1 = Dybvig
|first1 = Philip H.
|last2 = Ross
|first2 = Stephen A.
|contribution = Arbitrage, state prices and portfolio theory
|editor1-last = Constantinides
|editor1-first = George M.
|editor2-last = Harris
|editor2-first = Milton
|editor3-last = Stulz
|editor3-first = René M.
|title = Handbook of the Economics of Finance 1
|year = 2003
|publisher = Elsevier
|pages = 605-637
|doi = 10.1016/S1574-0102(03)01019-7
|isbn = 9780444513632
|ref = Dybvig,Ross2003}}
* {{Citation
|last = Shreve
|first = Steven E.
|year = 2004
|title = Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models
|publisher = Springer
|place = New York
|isbn = 9780387401010
|ref = Shreve2004
}}

== 関連項目 ==
* [[確率的割引ファクター]]
* [[アセットプライシングの基本定理]]
* [[無裁定価格理論]]

{{デフォルトソート:りすくちゆうりつかくりつ}}
[[Category:金融経済学]]
[[Category:金融工学]]
[[Category:数理ファイナンス]]