リチャードソンの補外のソースを表示

'''リチャードソンの補外'''（リチャードソンのほがい）とは、[[外挿法]]の一種である。パラメータ {{math|''x'' > 0}} を持つ量 {{math|''f'' (''x'')}} について、{{math|''x'' &rarr; 0}} における {{math|''f''}} の極限値を近似的に求めるときに用いられる。<ref>{{cite|和書 |editor= |author=小澤一文 |title=Cで学ぶ数値計算アルゴリズム |edition= |publisher=共立出版 |year=2008 |isbn=978-4-320-12221-5 |page=173}}</ref>

応用例として、[[台形公式]]を用いた[[数値積分]]にリチャードソンの補外を用いることで、{{仮リンク|ロンバーグ積分法|en|Romberg's method}}を導くことができる。また、[[CAE]]で[[計算格子]]を限りなく小さくしていく極限での解を予想することにも使われる。

== 手法 ==
既知の2つのデータ {{math|''f'' (''x'')}} と {{math|''f'' (''&lambda; x''), 0 < ''&lambda;'' < 1}}から、{{math|''x''&rarr;0}} の極限値 {{math|''F''}} の近似値 <math>\bar{f}^{(1)}_1</math> を求めるアルゴリズムは以下である。
:<math>\bar{f}^{(1)}_1 = \frac{f(\lambda x)-\lambda^{p_1} f(x)}{1-\lambda^{p_1}}</math>
ただし {{math|''p''<sub>1</sub>}} は、{{math|''f''}} を {{math|''x''}} の多項式として[[漸近展開]]した以下の式に現れる指数である。
:<math>f(x) = F + \sum_{i\geq 1}a_i x^{p_i} = F + a_1 x^{p_1} + a_2 x^{p_2} + \cdots, \qquad 0<p_1<p_2<\cdots </math>

また、追加データとして <math>f(\lambda^2 x),\ldots,f(\lambda^M x)</math> を求めることができたなら、
:<math>\begin{align}
\bar{f}^{(0)}_i&=f(\lambda^i x),\quad i=1,\ldots,M \\
\bar{f}^{(j)}_i&=\frac{\bar{f}^{(j-1)}_i-\lambda^{p_j}\bar{f}^{(j-1)}_{i-1}}{1-\lambda^{p_j}},\quad j=1,\ldots,i
\end{align}</math>
を順次求めていくことで、より精度の高い近似値 <math>\bar{f}^{(M)}_M</math> を求めていくことができる。

== 精度 ==
<math>\bar{f}^{(1)}_1</math> は {{math|''x'' <sup>''p''<sub>2</sub></sup>}} に比例する誤差を持つ近似値である。すなわち
:<math>\bar{f}^{(1)}_1 = F + O(x^{p_2})</math>
同様に、<math>\bar{f}^{(M)}_M</math>の誤差評価は次式となる。
:<math>\bar{f}^{(M)}_M=F+O(x^{p_{M+1}})</math>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{デフォルトソート:りちやあとそんのほかい}}
[[Category:補間]]
[[Category:数値解析]]