リッジ回帰のソースを表示

{{Expand English|Ridge regression|date=2024年5月}}
'''リッジ回帰'''（リッジかいき、Ridge regression）は、独立変数が強く相関している場合に、[[回帰分析|重回帰モデル]]の[[係数]]を推定する方法<ref name="Hilt">{{Cite web|url=https://books.google.com/books?id=R4HSmWSNWEkC&pg=PP4|title=Ridge, a computer program for calculating ridge regression estimates|author=Hilt|first=Donald E.|year=1977|accessdate=2021-06-25}}</ref>。計量経済学、化学、工学などの分野で使用されている<ref name="Gruber">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=wmA_R3ZFrXYC&pg=PA2|title=Improving Efficiency by Shrinkage: The James–Stein and Ridge Regression Estimators|isbn=9780824701567|last=Gruber|first=Marvin|date=26 February 1998}}</ref>。

この理論は、1970年に Hoerl と ケナード が ''Technometrics'' の論文「RIDGE regressions: biased estimation of nonorthogonal problems」と「RIDGE regressions: applications in nonorthogonal problems」で初めて紹介した<ref>Hoerl, Arthur E., and Robert W. Kennard. “Ridge Regression: Biased Estimation for Nonorthogonal Problems.” ''Technometrics'', vol. 12, no. 1, 1970, pp. 55–67. [www.jstor.org/stable/1267351 JSTOR]. Accessed 13 March 2021. </ref><ref> Hoerl, Arthur E., and Robert W. Kennard. “Ridge Regression: Applications to Nonorthogonal Problems.” ''Technometrics'', volume 12, number 1, 1970, pp. 69–82. [www.jstor.org/stable/1267352 JSTOR]. Accessed 13 March 2021. </ref><ref name="Hilt" />。これは、リッジ分析の分野における 10 年間の研究の結果だった<ref name="Beck">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=_qAYgYN87UQC&pg=PA287|title=Parameter Estimation in Engineering and Science|isbn=9780471061182|last=Beck|first=James Vere|last2=Arnold|first2=Kenneth J.|year=1977}}</ref>。

リッジ回帰は、線形回帰モデルに多重共線性がある（強く相関する独立変数がある）場合に[[最小二乗法|最小二乗]]推定量が不正確になることを解決するために開発された。リッジ回帰推定量は、最小二乗推定量よりも精度が高い<ref name="Jolliffe">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=6ZUMBwAAQBAJ&pg=PA178|title=Principal Component Analysis|isbn=9780387224404|last=Jolliffe|first=I. T.|date=9 May 2006}}</ref><ref name="Gruber" />。

== 数学的詳細 ==
<math display="inline">n\times 1</math> の列ベクトル <math display="inline">y</math> は <math display="inline">n\times p</math> の計画行列 <math display="inline">X</math>（通常は<math display="inline"> p \ll n </math>）の列空間に射影され、その列は高度に相関しているものとする。正射影 <math display="inline">X\beta</math> を得るための係数 <math display="inline">\beta\in\mathbb R^{p\times1}</math> の最小二乗推定量 <math> \widehat\beta </math> は

: <math> \widehat\beta = (X'X)^{-1}X'y </math>

それに対して、リッジ回帰推定量 <math> \widehat\beta_\text{ridge} </math> は

: <math> \widehat\beta_\text{ridge} = (X^\top X + kI_p)^{-1}X^\top y </math>

ここで、<math display="inline">I_p</math> は <math display="inline">p\times p</math> の単位行列であり、<math display="inline">k>0</math> は小さい値である。

== 脚注 ==
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<references />

{{統計学}}
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