リッチフローのソースを表示

{{要改訳}}
[[画像:Ricci flow.png|thumb|right|upright|200px|2次元多様体上のリッチフローの各ステージ]]
'''リッチフロー''' (Ricci flow) とは、[[微分幾何学]]における本来の[[幾何学的フロー]](geometric flow)<ref>幾何学的フローは、通常は外部曲率、内部曲率を持つ多様体上の汎函数についての勾配フローで、幾何学的な解釈を持つフローである。幾何学的フローはモジュライ空間上のフロー（リーマン多様体のリーマン曲率のように多様体が決まると自動的に決まる曲率の場合）、あるいはパラメータ空間上のフロー（曲面の[[ガウス曲率]]のように、何らかの埋め込みを行った後に決まる曲率の場合）と解釈することができる。</ref>の一つである。リッチフローは、[[熱伝導]]方程式に形式的に似た方法で[[リーマン多様体]]の[[計量テンソル|計量]]の特異点を滑らかに変形する過程である。

[[グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ]](Gregorio Ricci-Curbastro)の名前に因むリッチフローは、最初に[[リチャード・S・ハミルトン|リチャード・ハミルトン]] (Richard Hamilton) により1981年に導入され、'''リッチ・ハミルトンフロー''' (Ricci–Hamilton flow) とも呼ばれる。リッチフローは、最初に[[グリゴリー・ペレルマン]] (Grigori Perelman) により[[ポアンカレ予想]]の証明のために使われ、同様に、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる{{仮リンク|微分可能球面定理|en|differentiable sphere theorem}}(differentiable sphere theorem) の証明に使われた。<!--
[[Image:Ricci flow.png|thumb|right|upright|200px|Several stages of Ricci flow on a 2D manifold.]]
In [[differential geometry]], the '''Ricci flow''' is an intrinsic [[geometric flow]]. It is a process that deforms the metric of a [[Riemannian manifold]] in a way formally analogous to the diffusion of heat, smoothing out irregularities in the [[Metric tensor|metric]]. 

The Ricci flow, named after [[Gregorio Ricci-Curbastro]], was first introduced by [[:en:Richard Hamilton (mathematician)|Richard Hamilton]] in 1981 and is also referred to as the '''Ricci–Hamilton flow'''. It is the primary tool used in [[Grigori Perelman|Grigori Perelman's]] [[solution of the Poincaré conjecture]], as well as in the proof of the [[differentiable sphere theorem]] by Simon Brendle and Richard Schoen.-->

== 数学的定義 ==
[[計量テンソル]] {{mvar|g{{sub|ij}}}} を持つリーマン多様体が与えられると、[[リッチテンソル]] {{mvar|R{{sub|ij}}}} を計算することができる。リッチテンソルは、一種の[[リーマン曲率テンソル]]の「[[跡 (線型代数学)|トレース]]」の断面曲率の平均値を集めたものである。計量テンソルと関連付けられたリッチテンソルを、通常は「時間」と呼ばれる（必ずしも物理的な時間と関係ないこともありうる）変数とすると、リッチフローは、'''幾何学的発展方程式''' (geometric evolution equation)
:<math>\partial_t g_{ij} =-2R_{ij}</math>
として定義することができる。正規化されたリッチフローは、[[コンパクト空間|コンパクト]]多様体に対して意味を持ち、等式
:<math>\partial_t g_{ij} =-2R_{ij} +\frac{2}{n} R_\mathrm{avg} g_{ij}</math>
で与えられる。ここに、<math>R_\mathrm{avg}</math> は（トレースを取ることで得られるスカラーテンソルの平均値であり、<math>n</math> は多様体の次元である。この正規化された等式は、計量としての[[体積形式]]を保存する。<!--

== Mathematical definition ==
Given a Riemannian manifold with [[metric tensor]] <math>g_{ij}</math>, we can compute the [[Ricci tensor]] <math>R_{ij}</math>, which collects averages of sectional curvatures into a kind of "[[:en:trace (linear algebra)|trace]]" of the [[Riemann curvature tensor]].  If we consider the metric tensor (and the associated Ricci tensor) to be functions of a variable which is usually called "time" (but which may have nothing to do with any physical time), then the Ricci flow may be defined by the '''geometric evolution equation'''
:<math>\partial_t g_{ij}=-2 R_{ij}.</math>
The normalized Ricci flow makes sense for [[Compact space|compact]] manifolds and is given by the equation
:<math>\partial_t g_{ij}=-2 R_{ij} +\frac{2}{n} R_\mathrm{avg} g_{ij}</math>
where <math>R_\mathrm{avg}</math> is the average (mean) of the scalar curvature (which is obtained from the Ricci tensor by taking the trace) and <math>n</math> is the dimension of the manifold. This normalized equation preserves the volume of the metric.-->

変数 {{mvar|t}} を {{math|0}} でない実数へ取り替えることができるため、{{math|&minus;2}} の掛け算の要素は、あまり重要性がない。しかし、マイナス符号はリッチフローが充分小さな正の時間に対して定義するできることを保証する。符号を変えると、リッチフローは通常、小さな負の時間に対して定義することができる。（このことは、[[熱方程式]]が時間とともに前へ進むことができるが、後ろへ進むことはできないことと、同じ状況である。）

非公式には、リッチフローは多様体の負に曲がった領域では膨張する傾向があり、逆に、正の曲がった領域では収縮する傾向がある。<!--
The factor of &minus;2 is of little significance, since it can be changed to any nonzero real number by rescaling ''t''. However the minus sign ensures that the Ricci flow is well defined for sufficiently small positive times; if the sign is changed then the Ricci flow would usually only be defined for small negative times. (This is similar to the way in which the [[heat equation]] can be run forwards in time, but not usually backwards in time.)

Informally, the Ricci flow tends to expand negatively curved regions of the manifold, and contract positively curved regions.-->

== 例 ==
*多様体がユークリッド空間、あるいはより一般的に[[リッチ平坦]]であれば、リッチフローは計量不変とする。逆に、リッチフローにより不変な計量は、リッチ平坦である。
*多様体が（普通の計量を持つ）球面であれば、リッチフローは有限時間内に一点へ多様体を収縮させる。球面が {{mvar|n}} 次元の半径 {{math|1}} であれば、時間 {{mvar|t}} 後に、計量は {{math|(1 &minus;2''t''(''n'' &minus; 1))}} 倍となるので、多様体は時間 {{math|{{sfrac|1|2(''n'' &minus; 1)}}}} 後に収縮する。より一般的に、多様体が[[アインシュタイン多様体]]（リッチフローが定数 × 計量である多様体）であれば、正の曲率の場合はリッチフローはこの多様体を一点に収縮させ、曲率が 0 であれば多様体を不変とし、負の曲率であれば膨張させる。
*[[コンパクト空間|コンパクト]]アインシュタイン多様体では、計量が正規化されたリッチフローの下に不変である。逆に、任意の正規化されたリッチフローにより不変な計量はアインシュタイン計量である。
このことは一般にリッチフローは全時間連続ではありえず、特異点を生み出す。3-次元多様体に対し、ペレルマン (Perelman) は、{{仮リンク|リッチフローの手術|label=リッチフローの手術|en|Ricci flow with surgery}}を使い特異点を過去へ連続させる方法を示した。
{{Anchors|シガーソリトン解}}シガーソリトン解
*重要な 2-次元の例が、'''シガーソリトン解''' (cigar soliton solution) である。この解は、ユークリッド平面上の計量 <math>(dx^2 + dy^2)/(e^{4t} + x^2 + y^2)</math> で与えられる。この計量はリッチフローの下で収縮するが、その幾何学は不変のまま残る。そのような解を安定リッチソリトンという。3-次元の安定リッチソリトンの例は、「ブライアントソリトン」で、これは回転対称性を持ち、正の曲率をもち、常微分方程式を解くことにより得られる。<!--

== Examples ==
*If the manifold is Euclidean space, or more generally [[Ricci-flat manifold|Ricci-flat]], then Ricci flow leaves the metric unchanged.  Conversely, any metric unchanged by Ricci flow is [[Ricci-flat manifold|Ricci-flat]].
*If the manifold is a sphere (with the usual metric) then Ricci flow collapses the manifold to a point in finite time. If the sphere has radius 1 in ''n'' dimensions, then after time <math>t</math> the metric will be multiplied by <math> (1-2t(n-1))</math>, so the manifold will collapse after time <math>1/2(n-1)</math>. More generally, if the manifold is an [[Einstein manifold]] (Ricci = constant &times; metric), then Ricci flow will collapse it to a point if it has positive curvature, leave it invariant if it has zero curvature, and expand it if it has negative curvature.
*For a [[:en:Compact space|compact]] [[Einstein manifold]], the metric is unchanged under ''normalized'' Ricci flow.  Conversely, any metric unchanged by normalized Ricci flow is Einstein.

In particular, this shows that in general the Ricci flow cannot be continued for all time, but will produce singularities. For 3-dimensional manifold, Perelman showed how to continue past the singularities [[Ricci flow with surgery|using surgery on the manifold]].
{{anchor|cigar_soliton_solution}}
*A significant 2-dimensional example is the '''cigar soliton solution''', which is given by the metric (''dx''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''dy''<sup>2</sup>)/(''e''<sup>4''t''</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>2</sup>) on the Euclidean plane. Although this metric shrinks under the Ricci flow, its geometry remains the same. Such solutions are called steady Ricci solitons. An example of a 3-dimensional steady Ricci soliton is the "Bryant soliton", which is rotationally symmetric, has positive curvature, and is obtained by solving a system of ordinary differential equations.-->

== 一意化定理、幾何化予想との関係 ==
[[リチャード・S・ハミルトン|リチャード・ハミルトン]] (Richard Hamilton) が1981年にリッチフローを導入した目的は、滑らかな 3次元多様体の[[位相同型|位相分類]]に関連した[[ウィリアム・サーストン]]の[[幾何化予想]]への見方を与えるためであった。ハミルトンのアイデアは、計量の中で滑らかでない特異な性質を持つ傾向にある非線形[[熱方程式|拡散方程式]]の一種を定義することにあった。したがって、与えられた多様体 {{mvar|M}} 上の'''任意'''の計量 {{mvar|g}} を置き換え、リッチフローによって計量を発展させることは、計量がある特別な良い性質を持つ計量に近づかねばならない。この計量は {{mvar|M}} の{{仮リンク|標準的な形|en|canonical form}} (canonical form) を構成するかも知れない。適当な標準的な形は既にサーストンにより特定されていて、'''サーストンの幾何学的モデル''' (Thurston model geometries) と呼ばれている。モデルには、3次元球面 {{math|''S''{{sup|3}}}}、3次元ユークリッド空間 {{math|''E''{{sup|3}}}}、3次元双曲空間 {{math|''H''{{sup|3}}}} という[[等質空間|等質的]]で等長な 3つのモデルと、5つの等質的ではあるが等長性を持たない異種リーマン多様体がある。（これは 3-次元実[[リー代数]]の 9つのクラスへの分類である[[ビアンキ分類]]と密接に関連しているが同一ではない。）ハミルトンのアイデアは、これらの特別な計量がリッチフローの[[不動点]]のような振る舞いをするはずであるということにあり、多様体が与えられると、大域的には唯一のサーストンの幾何学が許容され、フローの下では[[アトラクター]]として振る舞うはずであるというアイデアである。<!--

== Relationship to uniformization and geometrization ==
The Ricci flow (named after [[Gregorio Ricci-Curbastro]]) was introduced by [[:en:Richard Hamilton (professor)|Richard Hamilton]] in 1981 in order to gain insight into the [[geometrization conjecture]] of [[William Thurston]], which concerns the [[:en:homeomorphism|topological classification]] of three-dimensional smooth manifolds.  Hamilton's idea was to define a kind of nonlinear [[:en:heat equation|diffusion equation]] which would tend to smooth out irregularities in the metric.  Then, by placing an ''arbitrary'' metric g on a given smooth manifold M and evolving the metric by the Ricci flow, the metric should approach a particularly nice metric, which might constitute a [[canonical form]] for M.  Suitable canonical forms had already been identified by Thurston; the possibilities, called '''Thurston model geometries''', include the three-sphere S<sup>3</sup>, three-dimensional Euclidean space E<sup>3</sup>, three-dimensional hyperbolic space H<sup>3</sup>, which are [[:en:homogeneous space|homogeneous]] and [[isotropic]], and five slightly more exotic Riemannian manifolds, which are homogeneous but not isotropic.  (This list is closely related to, but not identical with, the  [[Bianchi classification]] of the three-dimensional real [[Lie algebra]]s into nine  classes.)  Hamilton's idea was that these special metrics should behave like [[Fixed point (mathematics)|fixed point]]s of the Ricci flow, and that if, for a given manifold, globally only one Thurston geometry was admissible, this might even act like an [[attractor]] under the flow.-->

ハミルトンの正のリッチフローを持つ計量がある滑らかな3次元閉多様体は、サーストンの幾何学をただ一つ持つ。つまり球形の計量を持ち、リッチフローの特異点を引き付けるのように実際作用して、体積を保存するよう正規化される。（正規化されていないリッチフローの下では、多様体は有限時間内に一点に崩壊する。）このことは幾何化予想全体を証明したことにはならない。なぜならば、最も難しい場合は多様体が'''負'''のリッチ曲率を持つ多様体、特に負の断面曲率を持つ場合であるからである。（3次元閉多様体はすべて負のリッチ曲率を持つことができるという事実は、奇妙で興味深い！これは1986年に L. Zhiyong Gao と Shing-Tung Yau により証明された。）実際、19世紀の幾何学で成功したこととして[[一意化定理]]の証明があった。これはハミルトンのリッチフローが負の曲率を持つ2次元多様体から双曲平面と局所同値である 2-次元の多数の穴の開いたトーラスへ発展するという滑らかな 2次元多様体の分類に似ている。この話題は、解析学や数論、力学系、数理物理学、天文学さえも密接に関連する重要な話である。
<!--Hamilton succeeded in proving that any smooth closed three-manifold which admits a metric of ''positive'' Ricci curvature also admits a unique Thurston geometry, namely a spherical metric, which does indeed act like an attracting fixed point under the Ricci flow, renormalized to preserve volume. (Under the unrenormalized Ricci flow, the manifold collapses to a point in finite time.)  This doesn't prove the full geometrization conjecture because the most difficult case turns out to concern manifolds with ''negative'' Ricci curvature and more specifically those with negative sectional curvature. (A strange and interesting fact is that all closed three-manifolds admit metrics with negative Ricci curvatures! This was proved by L. Zhiyong Gao and Shing-Tung Yau in 1986.)   Indeed, a triumph of nineteenth century geometry was the proof of the [[uniformization theorem]], the analogous topological classification of smooth two-manifolds, where Hamilton showed that the Ricci flow does indeed evolve a negatively curved two-manifold into a two-dimensional multi-holed torus which is locally isometric to the hyperbolic plane.  This topic is closely related to important topics in analysis, number theory, dynamical systems, mathematical physics, and even cosmology.-->

規格化（一意化）という言葉は、正確には幾何学における特異な性質を滑らかにして取り除く方法を示唆しており、幾何化という言葉は滑らかな多様体上の幾何学を示唆していることに注意する。'''幾何学'''は[[フェリックス・クライン]]の[[エルランゲンプログラム]]に似た方法を使う。（詳細は、[[幾何化予想]]を参照）特に幾何化の結果は等長的ではない幾何学かも知れない。定数曲率の場合を含むほとんどの場合に幾何学は一意的である。この分野の重要な問題は、実数での定式と複素数での定式の間の相互関係である。特に2次元多様体というよりも複素曲線を規格化における多くの議論は説明する。

リッチフローは体積を保存はしないので、リッチフローを規格化や幾何化へ適用する際に注意すべき事項は、体積を保存するようなフローを得るようにリッチフローを'''正規化'''する必要があることである。このことに失敗すると、問題は（たとえば）与えられた 3次元多様体がサーストンの標準的な形の一つへ変化する代わりに、サイズが縮小してしまうだろう。

{{mvar|n}}次元リーマン多様体の[[モジュライ空間]]の一種を構成することは可能で、リッチフローは実際このモジュライ空間の中へ'''[[幾何学的フロー]]''' (geometric flow) をもたらす（直感的に言うとフローに沿って粒子が流れる）。
<!--Note that the term "uniformization" correctly suggests a kind of smoothing away of irregularities in the geometry, while the term "geometrization" correctly suggests placing a geometry on a smooth manifold.  ''Geometry'' is being used here in a precise manner akin to [[Felix Klein|Klein]]'s [[:en:Erlangen program|notion of geometry]] (see [[Geometrization conjecture]] for further details).  In particular, the result of geometrization may be a geometry that is not [[isotropic]].  In most cases including the cases of constant curvature, the geometry is unique.  An important theme in this area is the interplay between real and complex formulations.  In particular, many discussions of uniformization speak of complex curves rather than real two-manifolds.

The Ricci flow does not preserve volume, so to be more careful in applying the Ricci flow to uniformization and geometrization one needs to ''normalize'' the Ricci flow to obtain a flow which preserves volume.  If one fail to do this, the problem is that (for example) instead of evolving a given three-dimensional manifold into one of Thurston's canonical forms, we might just shrink its size.

It is possible to construct a kind of [[moduli space]] of n-dimensional Riemannian manifolds, and then the Ricci flow really does give a ''[[geometric flow]]'' (in the intuitive sense of particles flowing along flowlines) in this moduli space.-->

== 拡散との関係 ==
何故、リッチフローを定義する発展方程式が、一種の非線形拡散方程式であるかということを理解するためには、詳細に 2次元多様体の特別な場合を考えると、2次元多様体上の任意の計量テンソルは、'''指数函数的等温度座標''' (exponential isothermal coordinate chart) では、次のような形として記述できる。
:<math>ds^2 =\exp(2\, p(x,y))(dx^2 +dy^2 ).</math>
（これらの座標は、距離ではなく角度を正しく表現することから、[[共形写像|共形的]]な座標系をもたらす。）

リーマン多様体の[[リッチテンソル]]や[[ラプラス作用素|ラプラス・ベルトラミ作用素]]を計算する最も容易な方法は、次式の[[エリー・カルタン]] (Élie Cartan) の微分形式の方法を使うことである。
:<math>\sigma^1 =\exp (p)\, dx,\; \; \sigma^2 =\exp (p)\, dy</math>
すると、[[計量テンソル]]は
:<math>\sigma^1 \otimes \sigma^1 +\sigma^2 \otimes \sigma^2 =\exp (2p)\, \left( dx\otimes dx+dy\otimes dy \right)</math>
となる。<!--

== Relation to diffusion ==
To see why the evolution equation defining the Ricci flow is indeed a kind of nonlinear diffusion equation, we can consider the special case of (real) two-manifolds in more detail.  Any metric tensor on a two-manifold can be written with respect to an '''exponential isothermal coordinate chart''' in the form
:<math> ds^2 = \exp(2 \, p(x,y)) \, \left( dx^2 + dy^2 \right). </math>
(These coordinates provide an example of a [[:en:conformal map|conformal]] coordinate chart, because angles, but not distances, are correctly represented.)

The easiest way to compute the [[Ricci tensor]] and [[Laplace-Beltrami operator]] for our Riemannian two-manifold is to use the differential forms method of [[Élie Cartan]].  Take the '''[[coframe field]]'''
:<math> \sigma^1 = \exp (p) \, dx, \; \; \sigma^2 = \exp (p) \, dy</math>
so that [[metric tensor]] becomes
:<math> \sigma^1 \otimes \sigma^1 + \sigma^2 \otimes \sigma^2 = \exp(2 p) \, \left( dx \otimes dx + dy \otimes dy \right). </math>-->

次に、与えられた任意の滑らかな函数 {{math|''h''(''x'', ''y'')}} に対し、[[外微分]]
:<math>dh=h_x dx+h_y dy=\exp (-p)h_x \, \sigma^1 +\exp (-p)h_y \, \sigma^2</math>
を計算し、[[ホッジ双対]]
:<math>\star dh=-\exp (-p)h_y \, \sigma^1 +\exp (-p)h_x \, \sigma^2 =-h_y \, dx+h_x \, dy.</math>
を得て、もう一つの外微分
:<math>d\star dh=-h_{yy} \, dy\wedge dx+h_{xx} \, dx\wedge dy=\left( h_{xx} +h_{yy} \right) \, dx\wedge dy</math>
を得る。（ここに、[[外積代数|外積]]の'''反可換な性質'''を使う。）つまり、
:<math>d\star dh=\exp (-2p)\, \left( h_{xx} +h_{yy} \right) \, \sigma^1 \wedge \sigma^2</math>
となる。もう一つのホッジ双対は、
:<math>\Delta h=\star d\star dh=\exp (-2p)\, \left( h_{xx} +h_{yy} \right)</math>
をもたらし、これらはラプラス・ベルトラミ作用素の求めていた形
:<math>\Delta =\exp (-2\, p(x,y))\left( D_x^2 +D_y^2 \right)</math>
を与える。<!--
Next, given an arbitrary smooth function <math>h(x,y)</math>, compute the [[exterior derivative]]
:<math>dh=h_x dx+h_y dy=\exp (-p)h_x \, \sigma^1 +\exp(-p) h_y \, \sigma^2.</math>
Take the [[Hodge dual]]
:<math>\star dh=-\exp (-p)h_y \, \sigma^1 +\exp (-p)h_x \, \sigma^2 =-h_y \, dx+h_x \, dy.</math>
Take another exterior derivative
:<math>d \star dh=-h_{yy} \, dy\wedge dx+h_{xx} \, dx\wedge dy=\left( h_{xx} +h_{yy} \right) \, dx \wedge dy</math>
(where we used the '''anti-commutative property''' of the [[exterior product]]).  That is,
:<math>d \star dh=\exp (-2p) \, \left( h_{xx} +h_{yy} \right) \, \sigma^1 \wedge \sigma^2.</math>
Taking another Hodge dual gives
:<math>\Delta h=\star d\star dh=\exp (-2p) \, \left( h_{xx} + h_{yy} \right)</math>
which gives the desired expression for the Laplace/Beltrami operator
:<math>\Delta =\exp(-2\, p(x,y)) \left( D_x^2 +D_y^2 \right). </math>-->
曲率テンソルを計算するには、考えている双対標構の双対ベクトル場の外微分を取る。
:<math>d\sigma^1 =p_y \exp (p)dy\wedge dx=-\left( p_y dx\right) \wedge \sigma^2 =-{\omega^1}_2 \wedge \sigma^2</math>
:<math>d \sigma^2 =p_x \exp (p)dx \wedge dy=-\left( p_x dy\right) \wedge \sigma^1 =-{\omega^2}_1 \wedge \sigma^1.</math>
これらの表現から、独立な唯一の'''接続 1-形式''' (connection one-form)
:<math>{\omega^1}_2 =p_y dx-p_x dy</math>
を導くことができる。もう一つの外微分は、
:<math>d{\omega^1}_2 =p_{yy} dy\wedge dx-p_{xx} dx\wedge dy=-\left( p_{xx} +p_{yy} \right) \, dx\wedge dy.</math>
である。これは'''曲率 2-形式''' (curvature two-form)
:<math>{\Omega^1}_2 =-\exp (-2p)\left( p_{xx} +p_{yy} \right) \, \sigma^1 \wedge \sigma^2 =-\Delta p\, \sigma^1 \wedge \sigma^2</math>
を与える。このことから、
:<math>{\Omega^1}_2 ={R^1}_{212} \, \sigma^1 \wedge \sigma^2.</math>
を使い、[[リーマンテンソル]]の線型独立な成分を導出できる。すなわち、
:<math>{R^1}_{212} =-\Delta p</math>
であり、この式より[[リッチテンソル]]の {{math|0}} でない成分は、
:<math>R_{22} =R_{11} =-\Delta p.</math>
であることが分かる。このことから、'''双対座標の基底''' (coordinate cobasis) に関しての各成分を見つけることができ、
:<math> R_{xx} =R_{yy} =-\left( p_{xx} + p_{yy} \right)</math>
を得ることができる。
<!--To compute the curvature tensor, we take the exterior derivative of the covector fields making up our coframe:
:<math> d \sigma^1 = p_y \exp(p) dy \wedge dx = -\left( p_y dx \right) \wedge \sigma^2 = -{\omega^1}_2 \wedge \sigma^2</math>
:<math> d \sigma^2 = p_x \exp(p) dx \wedge dy = -\left( p_x dy \right) \wedge \sigma^1 = -{\omega^2}_1 \wedge \sigma^1.</math>
From these expressions, we can read off the only independent '''connection one-form'''
:<math> {\omega^1}_2 = p_y dx - p_x dy.</math>
Take another exterior derivative
:<math> d {\omega^1}_2 = p_{yy} dy \wedge dx - p_{xx} dx \wedge dy = -\left( p_{xx} + p_{yy} \right) \, dx \wedge dy.</math>
This gives the '''curvature two-form'''
:<math> {\Omega^1}_2 = -\exp(-2p) \left( p_{xx} + p_{yy} \right) \, \sigma^1 \wedge \sigma^2 = -\Delta p \, \sigma^1 \wedge \sigma^2</math>
from which we can read off the only linearly independent component of the [[Riemann tensor]] using
:<math> {\Omega^1}_2 = {R^1}_{212} \, \sigma^1 \wedge \sigma^2.</math>
Namely
:<math> {R^1}_{212} = -\Delta p</math>
from which the only nonzero components of the [[Ricci tensor]] are
:<math> R_{22} = R_{11} = -\Delta p.</math>
From this, we find components with respect to the '''coordinate cobasis''', namely
:<math> R_{xx} = R_{yy} = -\left( p_{xx} + p_{yy} \right). </math>-->

しかし、計量テンソルも対角的であり、
:<math>g_{xx} =g_{yy} =\exp (2p)</math>
とでき、少し要素を計算すると、エレガントなリッチフローの表現
:<math>\frac{\partial p}{\partial t} =\Delta p</math>
を得ることができる。この式は明らかに、よく知られている拡散方程式の類似であり、[[熱方程式]]
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} =\Delta u</math>
である。ここに、<math>\Delta ={D_x}^2 +{D_y}^2</math> は通常のユークリッド平面上の[[ラプラス作用素|ラプラシアン]]である。読者は、熱方程式はもちろん[[線型]][[偏微分方程式]]であるが、リッチフローを定義している偏微分方程式の中では'''非線型性'''ではなかったのか？ということに気づくかも知れない。
<!--But the metric tensor is also diagonal, with 
:<math> g_{xx} = g_{yy} = \exp (2 p)</math>
and after some elementary manipulation, we obtain an elegant expression for the Ricci flow:
:<math> \frac{\partial p}{\partial t} = \Delta p. </math>
This is manifestly analogous to the best known of all diffusion equations, the [[heat equation]]
:<math> \frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u </math>
where now <math>\Delta = D_x^2 + D_y^2</math> is the usual [[Laplacian]] on the Euclidean plane.  
The reader may object that the heat equation is of course a [[linear]] [[partial differential equation]]—where is the promised ''nonlinearity'' in the p.d.e. defining the Ricci flow?-->

この疑問への答えは、計量を定義することに使った函数 {{mvar|p}} にラプラス・ベルトラミ作用素が依存しているので、非線型性となるが答えとなる。しかし、{{math|''p''(''x'', ''y'') {{=}} 0}} とすることにより、平坦なユークリッド平面が与えられることに注意する。{{mvar|p}} の大きさが充分に小さいとき、これを平坦な平面の幾何学からの小さな偏りと定義することができ、指数を計算するとき一次の項のみ分かっていれば、リッチフローはほぼ平坦な 2次元リーマン多様体上の 2次元の熱方程式となる。この計算は、まさに（熱方程式に従い）熱い部分の異常な熱分布は、時間の経過とともにより他と等しくなる傾向を持つので、（リッチフローに従っても）無限の平坦なプレート上で「無限遠点」へ熱を運びさることができるのと同じ方法で、ほぼ平坦なリーマン多様体は熱を平準化する傾向を持っている。一方、熱いプレートは有限の大きさであるので、熱を運び去ることを止める境界を持たない。よって、温度を「等質化する」ことが期待できるが、温度を {{math|0}} とすることは期待できない。同様に、リッチフローを歪んだ球体へ適用すると、時間の経過とともに幾何学を平らにする傾向を持つが、平坦なユークリッド幾何学へ変えてしまうようなことはない。
<!--The answer is that nonlinearity enters because the Laplace-Beltrami operator depends upon the same function p which we used to define the metric.  But notice that the flat Euclidean plane is given by taking <math> p(x,y) = 0</math>.  So if <math>p</math> is small in magnitude, we can consider it to define small deviations from the geometry of a flat plane, and if we retain only first order terms in computing the exponential, the Ricci flow on our two-dimensional almost flat Riemannian manifold becomes the usual two dimensional heat equation.  This computation suggests that, just as (according to the heat equation) an irregular temperature distribution in a hot plate tends to become more homogeneous over time, so too (according to the Ricci flow) an almost flat Riemannian manifold will tend to flatten out the same way that heat can be carried off "to infinity" in an infinite flat plate.  But if our hot plate is finite in size, and has no boundary where heat can be carried off, we can expect to ''homogenize'' the temperature, but clearly we cannot expect to reduce it to zero.  In the same way, we expect that the Ricci flow, applied to a distorted round sphere, will tend to round out the geometry over time, but not to turn it into a flat Euclidean geometry.-->

== 最近の発展 ==
リッチフローは、1981年以来、集中的に研究されてきた。最近のリッチフロー発展は、どのように高次元リーマン多様体がリッチフローに従って発展するか、特に、どのタイプのパラメータ化された[[特異点 (数学)|特異点]]が形成されるかという詳細な疑問へ集中している。たとえば、リッチフローの解のあるクラスは、'''ダンベル型特異点''' (neckpinch singularities) は、ある特別な時間 {{math|''t''{{sub|0}}}} にフローが近づくに従い、ある位相的な性質（正の[[オイラー標数]]）を持つ発展している {{mvar|n}}次元のリーマン多様体を構成する。ある条件が揃う場合には、そのようなダンベル型は'''リッチソリトン'''と呼ばれる多様体を生み出す。

多くの関連する[[幾何学的フロー]] (geometric flow) があり、その中に{{仮リンク|山辺フロー|en|Yamabe flow}} (Yamabe flow) や{{仮リンク|カラビフロー|en|Calabi flow}} (Calabi flow) も含まれていて、リッチフローと似たような性質を持っている。

s.vacaruは非ホロノミックリッチフローでフィンスラーラグランジュ幾何学に取り組み、[[アインシュタイン多様体|アインシュタイン計量]]を進化させ加速宇宙や[[暗黒物質]]などを説明しようとしている<ref>http://w2srvg9.icra.it/upload/archivio/AT1-712VA814IU.pdf Nonholonomic Ricci Flows, Finsler{Lagrange f(R,F,L){modified
Gravity and Modern Cosmology </ref><ref>http://www.natureasia.com/ja-jp/nphys/highlights/37352</ref>。<!--

==Recent developments==
The Ricci flow has been intensively studied since 1981. Some recent work has focused on the question of precisely how higher-dimensional Riemannian manifolds evolve under the Ricci flow, and in particular, what types of parametric [[:en:Mathematical singularity|singularities]] may form.  For instance, a certain class of solutions to the Ricci flow demonstrates that '''neckpinch singularities''' will form on an evolving ''n''-dimensional metric Riemannian manifold having a certain topological property (positive [[Euler characteristic]]), as the flow approaches some characteristic time <math>t_{0}</math>.  In certain cases, such neckpinches will produce manifolds called '''Ricci solitons'''.

There are many related [[geometric flow]]s, some of which (such as the [[Yamabe flow]] and the [[Calabi flow]]) have properties similar to the Ricci flow.-->

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
=== 応用 ===
* [[一意化定理]]
* [[幾何化予想]]
* [[ポアンカレ予想|ポアンカレ予想の解決]]
* {{仮リンク|微分球面定理|en|Differentiable sphere theorem}}(Differentiable sphere theorem)

=== 一般的な脈絡 ===
* [[リッチ曲率]]
* {{仮リンク|変分の計算|en|Calculus of variations}}(Calculus of variations)
* [[幾何学的フロー]](Geometric flow)
* [[非ホロノミック系]]

== 参考文献 ==
{{No footnotes|date=September 2009}}<!--Use inline citations and/or clean up this trashy list of references.  {{citation}} templates might help.-->
*{{cite book | author=Brendle, Simon | title =Ricci Flow and the Sphere Theorem| publisher=American Mathematical Society | year=2010| isbn=0-8218-4938-7 | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-111}}.
*{{cite arxiv |eprint=math.DG/0605667 |author1=Bruce Kleiner |author2=John Lott |title=Notes on Perelman's papers |year=2006}}
*{{cite journal | first = Huai-Dong | last = Cao | authorlink = Huai-Dong Cao |author2=Xi-Ping Zhu  | title = A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow | url = http://www.ims.cuhk.edu.hk/~ajm/vol10/10_2.pdf | format = PDF | journal = Asian Journal of Mathematics | volume = 10 |date=June 2006 | issue =2}}    [http://www.intlpress.com/AJM/p/2006/10_2/AJM-10-2-Erratum.pdf Erratum].
** Revised  version: {{cite arxiv | eprint=math.DG/0612069 |title=Hamilton-Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture | author1=Huai-Dong Cao | author2=Xi-Ping Zhu | year=2006}}
*{{cite arxiv|eprint=math.DG/0607607|author1=Morgan|author2=Gang Tian|title=Ricci Flow and the Poincare Conjecture|year=2006}}
*Anderson, Michael T. ''Geometrization of 3-manifolds via the Ricci flow'', Notices AMS 51 (2004) 184–193.
*[[John Milnor]], ''Towards the Poincaré Conjecture and the classification of 3-manifolds'', Notices AMS. 50 (2003) 1226–1233.
*John Morgan,  ''Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds'', Bull. AMS 42 (2005) 57–78.
*[http://www.claymath.org/programs/summer_school/2005/program.php Notes] from the Clay math institute Summer School Program 2005 on Ricci flow.
*[[Richard Hamilton (professor)|Richard Hamilton]], ''Three-manifolds with positive Ricci curvature'', J. Diff. Geom 17 (1982), 255–306.
*''Collected Papers on Ricci Flow'' ISBN 1-57146-110-8.
* {{cite journal | author=Bakas, I. | title=The algebraic structure of geometric flows in two dimensions | doi=10.1088/1126-6708/2005/10/038 | journal=Journal of High Energy Physics | volume=2005 | pages=038 | year=2005 |arxiv=hep-th/0507284}}
* {{cite book |author=Peter Topping|title=Lectures on the Ricci flow
|url=http://www.maths.warwick.ac.uk/~topping/RFnotes.html| location=| publisher=C.U.P.| year=2006| isbn=0-521-68947-3}}
*{{Cite book|last=Tao|first=T.|authorlink=Terence Tao|chapter=Ricci flow|pages=279–281|url=http://terrytao.files.wordpress.com/2008/03/ricci.pdf|title=The Princeton Companion to Mathematics|editor1-first=Timothy|editor1-last=Gowers|editor1-link=Timothy Gowers|editor2-first=June|editor2-last=Barrow-Green|editor3-first=Imre|editor3-last=Leader|editor3-link=Imre Leader|year=2008|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2}}
* {{cite book | author=[[:en:Jeffrey Weeks (mathematician)|Weeks, Jeffrey R.]] | title=The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds| location=New York | publisher=Marcel Dekker | year=1985 | isbn=0-8247-7437-X}}.  A  popular book that explains the background for the Thurston classification programme.
*[http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme3.py?level=1&index1=-336760 Ricci flow Theme on arxiv.org ]

== 外部リンク ==
* {{Cite web|last=Isenberg|first=James A|authorlink=James A. Isenberg|title=Ricci Flow|url=https://www.youtube.com/watch?v=hwOCqA9Xw6A|publisher=Brady Haran|accessdate=23 April 2014|format=video}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:りつちふろお}}
[[Category:偏微分方程式]]
[[Category:3次元多様体]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]