リプシッツ領域のソースを表示

[[数学]]において'''リプシッツ領域'''（リプシッツりょういき、{{Lang-en-short|Lipschitz domain}}）あるいは'''リプシッツ境界を持つ領域'''とは、局所的には[[リプシッツ連続]]な函数のグラフと見なすことが出来る意味で「十分に正則」な境界を持つ[[ユークリッド空間]]内のある[[領域 (解析学)|領域]]のことを言う。

[[ドイツ]]の[[数学者]]である[[ルドルフ・リプシッツ]]の名にちなむ。

== 定義 ==

''n''&nbsp;∈&nbsp;'''N''' に対し、Ω を '''R'''<sup>''n''</sup> の[[開集合|開部分集合]]とする。Ω の[[境界 (位相空間論)|境界]]は ∂Ω と表す。このとき Ω が'''リプシッツ境界'''を持つ'''リプシッツ領域'''であるとは、すべての点 ''p''&nbsp;∈&nbsp;∂Ω に対して、ある半径 ''r''&nbsp;&gt;&nbsp;0 と写像 ''h''<sub>''p''</sub>&nbsp;:&nbsp;''B''<sub>''r''</sub>(''p'')&nbsp;→&nbsp;''Q'' が存在して、次が成立することを言う。
* ''h''<sub>''p''</sub> は[[全単射]]である;
* ''h''<sub>''p''</sub> と ''h''<sub>''p''</sub><sup>&minus;1</sup> はいずれもリプシッツ連続である;
* ''h''<sub>''p''</sub>(∂Ω&nbsp;∩&nbsp;''B''<sub>''r''</sub>(''p'')) = ''Q''<sub>0</sub>;
* ''h''<sub>''p''</sub>(Ω&nbsp;∩&nbsp;''B''<sub>''r''</sub>(''p'')) = ''Q''<sub>+</sub>;
ここに

:<math>B_{r} (p) := \{ x \in \mathbb{R}^{n} | \| x - p \| < r \}</math>

は ''p'' を中心とする半径 ''r'' の ''n''-[[次元 (数学)|次元]][[球体|開球]]を表し、''Q'' は単位球 ''B''<sub>1</sub>(0) を表す。また

:<math>Q_{0} := \{ (x_{1}, \dots, x_{n}) \in Q | x_{n} = 0 \};</math>
:<math>Q_{+} := \{ (x_{1}, \dots, x_{n}) \in Q | x_{n} > 0 \}</math>

である。

== リプシッツ領域の応用 ==

[[ソボレフ不等式|ソボレフの埋め込み定理]]の多くは、考えている領域がリプシッツ領域であることを必要とする。結果として、多くの[[偏微分方程式]]や[[変分法|変分問題]]はリプシッツ領域上で定義される。

== 参考文献 ==

* {{cite book | author=Dacorogna, B. | title=Introduction to the Calculus of Variations | publisher=Imperial College Press, London | year=2004 | isbn=1-86094-508-2 }}

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