リュイリエの公式のソースを表示

[[Image:Spherical trigonometry basic triangle.svg|thumb|250px|単位球上の球面三角形]]
'''リュイリエの公式'''（リュイリエのこうしき、{{lang-en|L'Huilier's formula}}）は、[[単位球]]における任意の球面三角形の3辺 ''a'', ''b'', ''c'' の長さから球過量 ''E'' を求める[[公式]]。[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]が[[18世紀]]末に発表した著書『''Eléments de géométrie''』の中で「この非常にエレガントな式は[[サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエ]]による」旨の言及をしている<ref>{{cite web |author=Adrien-Marie Legendre |title=Éléments de géométrie, avec des notes; 2è édition |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6212886v/f387.image |year=An VIII |page=363 |accessdate=2019-06-25}}</ref>ことから彼に帰せられる。

== 概要 ==
この公式は単位球における球面三角形の球過量 ''E'' を求めるものであるが、球過量は任意の球における球面三角形の面積に直接的に関係することから、リュイリエの公式は平面[[三角形]]における[[ヘロンの公式]]の球面三角形版に相当している。

== 公式 ==
{{Math_theorem|リュイリエの公式|単位球における球面三角形において、3辺の長さを ''a'', ''b'', ''c'' とし、[[半周長]]を ''s'' とすると、当該球面三角形の球過量 ''E'' は
:<math>E = 4\tan^{-1}\sqrt{\tan\frac{s}{2}\tan\frac{s-a}{2}\tan\frac{s-b}{2}\tan\frac{s-c}{2}}.</math>}}

== 証明 ==
球過量に関する最も基本的な公式である{{仮リンク|アルベール・ジラール|label=ジラール|fr|Albert Girard|en|Albert Girard}}の公式から出発して、[[球面三角法#ドランブル_(Delambre)_の公式|ドランブルの公式]]、[[三角関数の公式の一覧#和積公式と積和公式|三角関数の和積公式と積和公式]]、[[比例式]]における[[分数#加比の理|合除比の理]] ([[:en:Mediant_(mathematics)#Properties|Componendo and Dividendo Theorems]]) を用いた簡潔な証明が和文にて紹介されている{{Sfn|河瀬|2019}}。

==脚注==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|和書|author = 河瀬和重|authorlink = 河瀬和重|year = 2019|title = 球面三角法の簡潔かつ体系的な理解への試み|url=https://www.gsi.go.jp/common/000213916.pdf|journal = 国土地理院時報|volume = 132|pages =115–118|publisher = [[国土地理院]]|doi = 10.57499/JOURNAL_132_18|ref = {{SfnRef|河瀬|2019}} }}
* {{Cite book|和書 |title=[[理科年表]] |publisher=[[丸善出版]] |chapter=附録 数学公式 球面三角公式 |editor=国立天文台 |editor-link=国立天文台 }}

== 関連項目 ==
* [[球面三角法]]
* [[ヘロンの公式]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=L'Huilier's Theorem|urlname=LHuiliersTheorem}}
* {{Cite web |url=https://maps.gsi.go.jp/help/pdf/calc_area.pdf |title=地理院地図の計測機能（面積） |access-date=2024-12-03 |publisher=国土地理院 |website=[[地理院地図]]}}

{{DEFAULTSORT:りゆいりえのこうしき}}
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