リースの補題のソースを表示

[[数学]]の[[関数解析学]]の分野における'''リースの補題'''（リースのほだい、{{Lang-en-short|Riesz's lemma}}）は、[[リース・フリジェシュ]]の名にちなむ[[補題]]である。この補題は、[[ノルム線型空間]]の中の[[線型部分空間]]が[[稠密集合|稠密]]であるための条件を明示するものである。「リース補題」（Riesz lemma）や「リース不等式」（Riesz inequality）と呼ばれることもある。内積空間でない場合は、直交性の代わりと見なすことも出来る。

== 内容 ==

補題の内容について述べる前に、いくつかの記号を定める。''X'' を、ノルム |·| を備えるノルム線型空間とし、''x'' を ''X'' の元とする。''Y'' を、''X'' 内の閉部分空間とする。元 ''x'' と空間 ''Y'' との距離は、次で定義される。

: <math>d(x, Y) = \inf_{y \in Y} |x - y|.</math>

補題の内容は次のようなものである：

<blockquote>'''リースの補題''' ''X'' をノルム線型空間、''Y'' を ''X'' の閉真部分空間とし、α を {{nowrap|0 < α < 1}} を満たす実数とする。このとき、|''x''| = 1 を満たす ''X'' 内のある元 ''x'' で、''Y'' 内のすべての元 ''y'' に対して |''x''&nbsp;−&nbsp;''y''|&nbsp;>&nbsp;α を満たすものが存在する<ref>{{cite book|last=Rynne|first=Bryan P.|title=Linear Functional Analysis|year=2008|publisher=Springer|location=London|isbn=978-1848000049|edition=2nd|author2=Youngson, Martin A. |page=47}}</ref>。</blockquote>

''注意 1'' 有限次元の場合に対しては、等号が成り立つ場合もある。言い換えると、ノルムが 1 の元 ''x'' で ''d''(''x'',&nbsp;''Y'')&nbsp;=&nbsp;1 を満たすものが存在する。''X'' の次元が有限であるとき、単位球 ''B''&nbsp;⊂&nbsp;''X'' はコンパクトである。また距離函数 ''d''(· ,&nbsp;''Y'') は連続である。したがって、単位球 ''B'' 上の像は実数直線のコンパクト部分集合でなければならず、主張は示される。

''注意 2'' すべての有界列の空間 ℓ<sub>∞</sub> は、&nbsp;α&nbsp;=&nbsp;1 に対して補題が成立しない例を与える。

証明は、クライツィグなどの函数解析学のテキストで見られる。[http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/riesz_lemma.pdf ポール・ギャレット教授による証明の概要]もオンラインで利用可能である。

== 逆 ==

リースの補題は、無限次元ノルム空間 ''X'' の[[単位球]]は[[コンパクト空間|コンパクト]]になり得ないことを証明する上で直接的に用いられる。単位球面から一つの元 ''x''<sub>1</sub> を選ぶ。その後 ''x<sub>n</sub>'' を、次が成り立つように単位球面から選んでいく：

:{''x''<sub>1</sub> ... ''x''<sub>''n''−1</sub>} の張る線型部分空間 ''Y''<sub>''n''−1</sub> とある定数 0 < ''α'' < 1 に対して、<math>d(x_n, Y_{n-1}) > \alpha </math>。}

明らかに {''x''<sub>''n''</sub>} は収束部分列を持たないため、単位球はコンパクトでないことが分かる。

この逆は、より一般的な状況でも成り立つ。[[位相ベクトル空間]] ''X'' が[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]であるなら、それは有限次元である。すなわち局所コンパクト性は有限次元性を特徴付けるものである。この古典的結果もリースによるものである。その簡単な証明は次のようになる：''C'' を 0 ∈ ''X'' のコンパクトな近傍とする。コンパクト性より、次を満たす ''c''<sub>1</sub>, ...,  ''c<sub>n</sub>'' ∈ ''C'' が存在する：

:<math>C = \bigcup_{i=1}^n \; \left( c_i + \frac{1}{2} C \right).</math>

{''c<sub>i</sub>''} によって張られる有限次元部分空間 ''Y'' あるいはその閉包は、''X'' であることを示す。実際、スカラー乗算は連続であるので、''C'' ⊂ ''Y'' を示せば十分である。帰納法より、すべての ''m'' に対して

:<math>C \sub Y + \frac{1}{2^m} C</math>

が成り立つ。しかしコンパクト集合は[[有界]]なので、''C'' は ''Y'' の閉包に含まれる。以上で証明は完成された。

== いくつかの帰結 ==

バナッハ空間上で作用する[[コンパクト作用素のスペクトル理論|コンパクト作用素のスペクトル性]]は、行列のそれと同様である。リースの補題はこの事実を本質的に示すものである。

リースの補題により、任意の無限次元ノルム空間は、0 < ''α'' < 1 に対して <math>|x_n - x_m| > \alpha </math> を満たす単位ベクトルの列 {''x<sub>n</sub>''} を含むことが分かる。この結果は、無限次元[[バナッハ空間]]上のある[[測度]]の非存在を示す上で有用となる。

この補題はまた、ノルム線型空間 ''X'' が有限次元かどうかを示す上でも用いられる。すなわち、閉単位球がコンパクトであるなら、''X'' は有限次元である（背理法により証明される）。

== 名称 ==

リードやシモンのように、研究者によっては「[[リースの表現定理]]」のことを「リースの補題」と呼ぶこともある。しかし、その定理はこの記事で記述されているリースの補題とは関係のないものである。

== 参考文献 ==

{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:りいすのほたい}}
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[[Category:補題]]
[[Category:数学に関する記事]]