リース・マルツェルのソースを表示

{{Infobox scientist
|name = リース・マルツェル
|image = Marcel Riesz.jpg
|birth_date = {{birth date|1886|11|16|df=y}}
|birth_place = {{AUT1867}} [[ジェール]]
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}}
'''リース・マルツェル'''（{{lang-hu|Riesz Marcell}}、{{IPA-hu|ˈriːs ˈmɒrtsɛlː|pron}}、[[1886年]][[11月16日]] - [[1969年]][[9月4日]]）は、[[ハンガリー]]生まれの[[数学者]]で、[[総和法]]や[[ポテンシャル論]]やその他[[解析学]]、[[数論]]、[[偏微分方程式]]、[[クリフォード代数]]における業績で有名である。生涯の多くを[[スウェーデン]]の[[ルンド]]で過ごした。

== 伝記 ==
リース・マルツェルは[[ハンガリー]]（[[オーストリア＝ハンガリー帝国]]）の[[ジェール]]に生まれた。数学者[[リース・フリジェシュ]]は彼の兄である。{{仮リンク|リポート・フェイェール|en|Lipót Fejér}}の指導の下、[[エトヴェシュ・ロラーンド大学]]において博士号を取得した。1911年には[[ヨースタ・ミッタク＝レフラー]]の招聘によってスウェーデンへと移動し、1911年から1925年の間は ''Stockholms högskola''（現在の[[ストックホルム大学]]）で教鞭を執った。1926年から1952年の間は[[ルンド大学]]で教授の職に就いた。引退後の10年間はアメリカの大学で過ごし、1962年にルンドに戻り、1969年に没した<ref name=garding>{{Citation|last1=Gårding|author-link=:en:Lars Gårding|first1=Lars|title=Marcel Riesz in memoriam|doi=10.1007/BF02394565|mr=0256837|year=1970|journal=[[Acta Mathematica]]|issn=0001-5962|volume=124|pages=x–xi}}</ref><ref name=peetre>{{cite journal|mr=0942253|last=Peetre|first=Jaak|chapter=Marcel Riesz in Lund|title=Function spaces and applications (Lund, 1986)|pages=1&ndash;10|series=Lecture Notes in Math|volume=1302|publisher=Springer|location=Berlin|year=1988|doi=10.1007/BFb0078859}}</ref>。

1936年には[[スウェーデン王立科学アカデミー]]の一員に選出されている<ref name=garding/>。

== 数学上の業績 ==

=== 古典解析 ===

フェイェールの指導学生としてのブダペストでのリースの業績は、次の形状の{{仮リンク|三角級数|en|trigonometric series}}に関するものであった：

:<math> \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left\{ a_n \cos (nx) + b_n \sin(nx) \right\}.\, </math>

彼の結果の一つによると、

:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{|a_n|+|b_n|}{n^2} < \infty,\, </math>

が成立し、その級数の[[フェイェール核|フェイェール平均]]がゼロに収束するなら、すべての係数 ''a''<sub>''n''</sub> と ''b''<sub>''n''</sub> はゼロとなる<ref name=horvath1>{{cite journal|mr=0651728|last=Horváth|first=Jean|title=L'œuvre mathématique de Marcel Riesz. I [The mathematical work of Marcel Riesz. I]|language=French|journal=Proceedings of the Seminar on the History of Mathematics|volume=3|pages=83&ndash;121|year=1982|url=http://www.numdam.org/item?id=CSHM_1982__3__83_0}}</ref>。

三角級数の[[発散級数|総和可能性]]に関する彼の結果には、任意の次数での[[フェイェールの定理]]の[[チェザロ平均]]への一般化が含まれる<ref>Theorem III.5.1 in {{cite book|mr=0933759|title=Trigonometric series|first=Antoni|last=Zygmund|authorlink=:en:Antoni Zygmund|publisher=Cambridge University Press|year=1968|publication-date=1988|isbn=978-0-521-35885-9|edition=2nd}}</ref>。彼はまた[[ベキ級数]]と[[ディリクレ級数]]の総和可能性を研究し、その後[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]との共著 {{harvtxt|Hardy|Riesz|1915}} を出版している<ref name=horvath1/>。

1916年、彼は[[三角多項式]]に対するリースの補間公式を導入し、{{仮リンク|ベルンシュタインの不等式|en|Bernstein's inequality (mathematical analysis)}}に対する新たな証明を与えることに成功した<ref name=horvath2>{{cite journal|last=Horvath|first=Jean|title=L'œuvre mathématique de Marcel Riesz. II [The mathematical work of Marcel Riesz. II]|language=French|journal=Proceedings of the Seminar on the History of Mathematics|volume=4|pages=1&ndash;59|mr=704360 | zbl=0508.01015|url=http://www.numdam.org/item?id=CSHM_1983__4__1_0}}</ref>。

彼はまた[[リース函数]] Riesz(''x'') を導入し、[[リーマン予想]]は任意の ''&epsilon;''&nbsp;>&nbsp;0 に対する ''x''&nbsp;&rarr;&nbsp;&infin; での限界 Riesz(''x'')&nbsp;=&nbsp;O(''x''<sup>{{frac|1|4}}&nbsp;+&nbsp;''&epsilon;''</sup>) と同値であることを示した<ref>&sect;14.32 in {{cite book|mr=0882550|last=Titchmarsh|first=E. C.|author-link=:en:Edward Charles Titchmarsh|title=The theory of the Riemann zeta-function|edition=Second|publisher=The Clarendon Press, Oxford University Press|location=New York|year=1986|isbn=0-19-853369-1}}</ref>。

彼は兄[[リース・フリジェシュ]]とともに、[[リース兄弟の定理]]を証明した。その定理では特に、''&mu;'' が

:<math> \int z^n d\mu(z) = 0, n=1,2,3\cdots \, </math>

を満たす単位円上の[[複素測度]]であるなら、その[[複素測度#複素測度の変分と極分解|変分]] |''&mu;''| と単位円上での[[ルベーグ測度]]は互いに[[絶対連続]]であることが述べられている<ref name=horvath2/><ref>{{cite journal|mr=0595749|last=Putnam|first=C. R.|title=The F. and M. Riesz theorem revisited|journal=Integral Equations Operator Theory|volume=3 |year=1980|issue=4|pages=508&ndash;514|doi=10.1007/bf01702313}}</ref>。


=== 函数解析的手法 ===

1920年代のリースの解析的な業績の一部においては、[[函数解析学]]の手法が用いられていた。

1920年代の早期、リースは{{仮リンク|モーメント問題|en|moment problem}}の研究を行い、[[リースの拡張定理]]を証明することである[[作用素論]]的手法を導入した（その定理は後の[[ハーン-バナッハの定理]]と密接に関連するものであった）<ref>{{cite journal|mr=1205676|last=Kjeldsen|first=Tinne Hoff|title=The early history of the moment problem|journal=Historia Math|volume=20|year=1993|issue=1|pages=19&ndash;44|doi=10.1006/hmat.1993.1004}}</ref><ref>{{Cite book |first=N. I. |last=Akhiezer |author-link=:en:Naum Akhiezer|title=The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis |publisher=Oliver & Boyd |year=1965 }}</ref>。

その後リースは、[[ヒルベルト変換]]は[[Lp空間|''L''<sub>''p''</sub>]]（1&nbsp;<&nbsp;''p''&nbsp;<&nbsp;&infin;）における有界作用素であることを示すためのある補間定理を発見した。その定理の彼の指導学生{{仮リンク|オロフ・ソリン|en|Olof Thorin}}による一般化は、今日[[リース＝ソリンの定理]]として知られている<ref name=peetre/><ref>{{cite book|mr=1469493|last=Gårding|first=Lars|authorlink=:en:Lars Gårding|title=Some points of analysis and their history|series=University Lecture Series|volume=11|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, RI|isbn=0-8218-0757-9|pages=31&ndash;35}}</ref>。

リースはまた、[[アンドレイ・コルモゴロフ]]とは独立に、現在「''L''<sub>''p''</sub> におけるコルモゴルフ＝リースのコンパクト性の指標」として知られている次の内容を証明した：部分集合 ''K''&nbsp;&sub;''L''<sub>''p''</sub>('''R'''<sup>''n''</sup>) が[[全有界空間|プレコンパクト]]であるための必要十分条件は、以下の三つの条件が成立していることである：(a) ''K'' は有界；(b) 任意の ''&epsilon;''&nbsp;>&nbsp;0 に対してある ''R''&nbsp;>&nbsp;0 が存在し

:<math> \int_{|x|>R} |f(x)|^p dx < \epsilon^p\,</math>

がすべての ''f''&nbsp;&isin;&nbsp;''K'' に対して成立する；(c) 任意の ''&epsilon;''&nbsp;>&nbsp;0 に対してある ''&rho;''&nbsp;>&nbsp;0 が存在し

:<math> \int_{\mathbb{R}^n} |f(x+y)-f(x)|^p dx < \epsilon^p\,</math>

が、|''y''|&nbsp;<&nbsp;''&rho;'' を満たすすべての ''y''&nbsp;&isin;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> とすべての ''f''&nbsp;&isin;&nbsp;''K'' に対して成立する<ref>{{cite journal|mr=2734454|last1=Hanche-Olsen|first1=Harald|last2=Holden|first2=Helge|title=The Kolmogorov&ndash;Riesz compactness theorem|journal=Expositiones Mathematicae|volume= 28|year=2010|issue=4|pages=385&ndash;394|doi=10.1016/j.exmath.2010.03.001}}</ref>。

=== ポテンシャル論、PDE、クリフォード代数 ===

1930年以後、リースの興味は[[ポテンシャル論]]と[[偏微分方程式]]へ移っていった。彼は{{仮リンク|リーマン＝リウヴィル積分|en|Riemann–Liouville integral}}の一般化である「一般化ポテンシャル」（generalized potential）を利用した<ref name=peetre/>。特に彼は、リーマン＝リウヴィル積分の高次元への一般化である[[リースポテンシャル]]を発見した<ref name=garding/>。

1940年代と50年代には、リースは[[クリフォード代数]]の研究を行った。1993年に完全版の出版された彼の1958年の講義録 ({{harvtxt|Riesz|1993}}) は、物理学者の{{仮リンク|デヴィッド・ヘステネス|en|David Hestenes}}によって、クリフォード代数の「再生のための助産婦」（the midwife of the rebirth）と称された<ref>{{cite book|chapter=Grassmann's legacy|last=Hestenes|first=David|authorlink=:en:David Hestenes|title=From Past to Future: Graßmann's Work in Context Graßmann Bicentennial Conference|editors=Hans-Joachim Petsche, Albert C. Lewis, Jörg Liesen and Steve Russ|publisher=Springer|year=2011|url=http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/GrassmannLegacy2.pdf}}</ref>。

=== 指導学生 ===

リースのストックホルムでの博士課程の学生には、[[ハラルド・クラメール]]や{{仮リンク|エイナー・ヒレ|en|Einar Hille}}が含まれる<ref name=garding/>。ルンドでは、リースは{{仮リンク|オットー・フロストマン|en|Otto Frostman}}や[[ラース・ヘルマンダー]]、{{仮リンク|オロフ・ソリン|en|Olof Thorin}}の論文指導を行った<ref name=peetre/>。

== 出版物 ==
* {{cite book|jfm=45.0387.03|last1=Hardy|first1=G. H.|author1-link=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|last2=Riesz|first2=M.|<!-- author2-link=Marcel Riesz -->|title=The general theory of Dirichlet{{'}}s series|publisher=Cambridge University Press|year=1915|url=http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01480002|ref=harv}}
* {{Citation|last1=Riesz|first1=Marcel|<!-- author1-link=Marcel Riesz -->|title=Collected papers|url=https://books.google.com/books?isbn=3540181156|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-18115-6|mr=962287|year=1988}}
* {{Citation|last1=Riesz|first1=Marcel|<!-- author1-link=Marcel Riesz -->|title=Clifford numbers and spinors|origyear=1958|url=http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-540-18115-6|publisher=Kluwer Academic Publishers Group|location=Dordrecht|series=Fundamental Theories of Physics|isbn=978-0-7923-2299-3|mr=1247961|year=1993|volume=54}}

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MacTutor Biography|id=Riesz_Marcel}}
* {{MathGenealogy|id=7489}}

{{DEFAULTSORT:りいすまるつえる}}
[[Category:リース・マルツェル|*]]
[[Category:ハンガリーの数学者]]
[[Category:スウェーデンの数学者]]
[[Category:19世紀の数学者|861116]]
[[Category:20世紀の数学者|-861116]]
[[Category:ルンド大学の教員]]
[[Category:スウェーデン王立科学アカデミー会員]]
[[Category:ジェール出身の人物]]
[[Category:1886年生]]
[[Category:1969年没]]