リース兄弟の定理のソースを表示

[[数学]]における'''リース兄弟の定理'''（リースきょうだいのていり、{{Lang-en-short|F. and M. Riesz theorem}}）とは、[[リース・フリジェシュ]]と[[リース・マルツェル]]の兄弟によって得られた「解析的測度」（analytic measure）に関する結果である。その定理によれば、[[円 (数学)|円]]上の[[測度]] μ の任意の部分が[[ルベーグ測度]] ''d''θ について[[絶対連続]]でないことは、[[フーリエ級数|フーリエ係数]]によって調べることが出来る。より正確に言うと、<math>\mu</math> のフーリエ＝スティルチェス係数が
:<math>\hat\mu_n=\int_0^{2\pi}{\rm e}^{-in\theta}\frac{d\mu(\theta)}{2\pi}=0,\ </math>
を任意の <math>n<0</math> に対して満たすなら、μ は ''d''θ について絶対連続となる。

元々の定理の内容は異なる（Zygmund, ''Trigonometric Series'', VII.8 を参照）。ここで紹介した内容は Rudin, ''Real and Complex Analysis'', p.335 によるものである。証明には[[ポアソン核]]と、[[ハーディ空間]] ''H''<sup>1</sup> に対する境界値の存在が利用されている。

== 参考文献 ==
*F. and M. Riesz, ''Über die Randwerte einer analytischen Funktion'', Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Stockholm, (1916), pp. 27-44.


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