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[[数学]]において'''リース函数'''（リースかんすう、{{Lang-en-short|Riesz function}}）とは、[[リーマン予想]]との関係で[[リース・マルツェル]]によって定義された、次の冪級数で与えられる[[整函数]]のことを言う：
:<math>{\rm Riesz}(x) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)! \zeta(2k)}.</math>
<math>F(x) = \frac12 {\rm Riesz}(4 \pi^2 x)</math> とすれば、双曲余接のゼロを中心としたローラン級数展開の係数としてそれは定義される。もし
:<math>\frac{x}{2} \coth \frac{x}{2} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n = 1 + \frac{1}{12} x^2 - \frac{1}{720}x^4 + \cdots</math>
であるなら、''F'' は次で定義される。
:<math>F(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{c_{2k}(k-1)!} = 12x - 720x^2 + 15120x^3 - \cdots</math>

ζ(2k) の値は k が増加するにつれて 1 に近付き、リース函数に対する級数を <math>x\ \exp(-x)</math> に対する級数と比較することで、それは整函数を定義することが分かる。また ''F'' は
:<math> F(x) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{\overline{k+1}}x^{k}}{B_{2k}} \ </math>
で定義されることもある。

<math>n^{\overline{k}}</math> は[[ドナルド・クヌース]]の記法における[[ポッホハマー記号|上昇階乗]]であり、''B''<sub>''n''</sub> は[[ベルヌーイ数]]である。この級数は代替的な項の一つであり、函数は ''x'' が負の方向に増大するにつれて負の無限大へと発散する。正の ''x'' についてはより興味深く、繊細な問題となる。

== リース指標 ==

1/2 より大きい任意の冪乗 ''e'' に対して、次が成立する。

:<math>\operatorname{Riesz}(x) = O(x^e)\qquad (\text{as }x\to\infty)</math>

ただしこの右辺は[[ランダウの記号]]であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の ''e'' について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した<ref>M. Riesz,  «Sur l'hypothèse de Riemann», ''Acta Mathematica'', '''40''' (1916), pp.185-90.». For English  translation look [http://www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/Riesz_translation.pdf here]</ref>。ただしその同じ論文においては、やや悲観的な次の注釈も見られる «''Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse''»。


== リース函数のメリン変換 ==

リース函数は、[[メリン変換]]を介して[[リーマンゼータ函数]]と関連付けられる。今

:<math>{\mathbf M}({\rm Riesz}(z)) = \int_0^\infty {\rm Riesz(z)} z^s \frac{dz}{z}</math>

とすれば、<math>\Re(s)>-1</math> のときに

:<math>\int_0^1 {\rm Riesz}(z) z^s \frac{dz}{z}</math>

は収束し、一方 <math>\Re(s) < -\frac{1}{2} </math> であれば成長条件により

:<math>\int_1^\infty {\rm Riesz}(z) z^s \frac{dz}{z}</math>

は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域 <math>-1 < \Re(s) < -\frac12</math> の上で定義されることが分かる。この領域上では、<math>\frac{\Gamma(s+1)}{\zeta(-2s)} = {\mathbf M}({\rm Riesz}(z)) </math> が成り立つ。

するとメリン逆変換により、リース函数を式

:<math>{\rm Riesz}(z) = \int_{c - i \infty}^{c+i \infty} \frac{\Gamma(s+1)}{\zeta(-2s)} z^{-s} ds </math>

で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。

J. garcia（脚注を参照）は、{{仮リンク|ボレル和|en|Borel summation}}を使うことで <math>f(x)</math> に関する次の積分表現を得た。

:<math> \exp(-x)-1= \int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t}\rho ( \sqrt{x/t}) dt </math> 

ここで <math> \rho (x) =x-\lfloor x\rfloor </math> は 'x' の小数部分である。

==リース函数の計算==

''F'' の[[テイラー展開|マクローリン級数]]の係数の絶対値は、40番目の項 -1.753{{e|17}} において最大値を取るまで増加である。一方、109番目の項において絶対値は 1 よりも小さくなる。はじめの 1000 個の項を取ることで、<math>|z| < 9</math> に対する <math>F(z)</math> の非常に精確な値を得ることが出来る。しかしこの計算を行う際には、次数 1000 の多項式を、大きな分子あるいは分母の係数に対する有理数演算か、100 位を超える浮動小数点計算によって求める必要が生じうる。いずれの方法も、数値計算的に簡単なものではない。

その他の計算手法として、収束加速法（acceleration of convergence）が挙げられる。今

:<math>{\rm Riesz}(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)! \zeta(2k)}</math>

である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は

:<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)!} = x \exp(-x)</math>

に近付く。実際、リースは次の式を示していた：<math>\ {\sum_{n=1}^\infty \rm Riesz(x/n^2) = x \exp(-x)}</math>。

収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された

:<math>{\rm Riesz}(x) = x \exp(-x) - \sum_{k=1}^\infty \left(\zeta(2k) -1\right) \left(\frac{(-1)^{k+1}}
{(k-1)! \zeta(2k)}\right)x^k</math>

が得られる。

この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る：

:<math>{\rm Riesz}(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)! \zeta(2k)}
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)!} \left(\sum_{n=1}^\infty \mu(n)n^{-2k}\right)</math>
:<math> \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\left(x/n^2\right)^k}{(k-1)!}= x \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2} \exp\left(-\frac{x}{n^2}\right).</math>

ここで μ は[[メビウス函数]]であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、

:<math>{\rm Riesz}(x) = x \left(\frac{6}{\pi^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2}\left(\exp\left(-\frac{x}{n^2}\right) - 1\right)\right)</math>

と表すことが出来る。この項は終局的には、''n'' の 1/4 乗によって減少となる。

上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる：

:<math>{\rm Riesz}'(x) = \frac{{\rm Riesz(x)}}{x} - x\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^4} \exp\left(-\frac{x}{n^2}\right)\right).</math>

この式は次のように整理できる：

:<math>{\rm Riesz}'(x) = \frac{{\rm Riesz(x)}}{x} + x\left(-\frac{90}{\pi^4} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^4} \left(1-\exp\left(-\frac{x}{n^2}\right)\right)\right).</math>

マレク・ウォルフは <ref>M. Wolf, "[http://www.man.poznan.pl/cmst/2008/v_14_1/cmst_47-54a.pdf  Evidence in favor of the Baez-Duarte criterion for the Riemann Hypothesis]", ''Computational Methods in Science and Technology'',  '''v.14''' (2008) pp.47-54</ref> において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している：

:<math>{\rm Riesz}(x) =  const\times x^{1/4} \sin\left(\phi-\frac{1}{2}\gamma_1\log(x)\right).</math>

ここで <math>\gamma_1=14.13472514...</math> はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また <math> const=
7.7750627...\times 10^{-5}</math> および <math>\phi=-0.54916...= (-31,46447^{\circ})</math> である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された <ref>H.Wilf,  "[http://www.math.upenn.edu/~wilf/website/RieszFunction.pdf  '' On the zeros of Riesz' function in the analytic theory of numbers'']", Illinois J. Math., '''8''' (1964), pp. 639-641</ref> リース函数のゼロ点と一致する。

== 注釈 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* [[:en:Edward Charles Titchmarsh|Titchmarsh, E. C.]], ''The Theory of the Riemann Zeta Function'', second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986, [''Section'' '''14.32''']
* Jose Javier garcia Moreta '' Borel Resummation & the Solution of Integral Equations'' Prespace time Journal Vol 4, No 4 (2013)Math Physics, Modified GR Solutions & Explorations of Natural Constants http://www.prespacetime.com/index.php/pst/issue/view/42
 
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