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[[数学]]の[[調和解析]]の分野における'''リース変換'''（リースへんかん、{{Lang-en-short|Riesz transform}}）とは、次元 ''d''&nbsp;>&nbsp;1 の[[ユークリッド空間]]への[[ヒルベルト変換]]の一般化の族である。ある函数と、原点に特異性を持つ別の函数の[[畳み込み]]であることから、ある種の{{仮リンク|特異積分|label=特異積分作用素|en|Singular integral}}と見なすことが出来る。より正確に言うと、'''R'''<sup>''d''</sup> 上の複素数値函数 ƒ のリース変換は、''j''&nbsp;=&nbsp;1,2,...,''d'' に対して次式で定義される。

{{NumBlk|:|<math>R_jf(x) = c_d\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\mathbf{R}^d\backslash B_\epsilon(x)}\frac{(t_j-x_j)f(t)}{|x-t|^{d+1}}\,dt</math>|{{EquationRef|1}}}}

ここで定数 ''c''<sub>''d''</sub> は次元の正規化

:<math>c_d = \frac{1}{\pi\omega_{d-1}} = \frac{\Gamma[(d+1)/2]}{\pi^{(d+1)/2}}</math>

であり、ω<sub>''d''&minus;1</sub> は (''d''&nbsp;&minus;&nbsp;1)-次元球の体積を表す。上式の極限は様々な方法で書き表すことが出来、しばしば[[コーシーの主値|主値]]や、[[シュワルツ超函数|緩増加超函数]]（tempered distribution）

:<math>K(x) = \frac{1}{\pi\omega_{d-1}} \, p.v. \frac{x_j}{|x|^{d+1}}</math>

との[[畳み込み]]として書き表される。リース変換は、[[ポテンシャル論]]や[[調和解析]]における調和ポテンシャルの微分可能性の研究に現れる。特に、カルデロン＝ジグムントの不等式の証明に現れる{{harv|Gilbarg|Trudinger|1983|loc=§9.4}}。

== 乗数の性質 ==

リース変換は{{仮リンク|乗数 (フーリエ解析)|label=フーリエ乗数|en|Fourier multiplier}}として与えられる。実際、''R''<sub>''j''</sub>ƒ の[[フーリエ変換]]は次で与えられる。

:<math>\mathcal{F}(R_jf)(x) = i\frac{x_j}{|x|}(\mathcal{F}f)(x)</math>

（ここでフーリエ変換の正規化に依存するすべての正定数の[[違いを除いて|違いは除く]]）。この形式により、リース変換はヒルベルト変換の一般化と見なすことが出来る。この核は、次数ゼロの[[斉次函数|斉次]]な[[シュワルツ超函数|超函数]]である。このことから、特に重要な帰結として、リース変換は ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''d''</sup>) からそれ自身への[[有界作用素|有界線型作用素]]を定義することが分かる<ref>厳密に言うと、({{EquationNote|1}}) の定義は[[シュワルツ空間|シュワルツ函数]] ''f'' に対してのみ有効となる。''L''<sup>2</sup> の稠密部分空間上の有界性は、各リース変換がすべての ''L''<sup>2</sup> への連続線型拡張を許すことを意味する。</ref>。

この斉次性はフーリエ変換に頼らずともより直接的に述べることが出来る。σ<sub>''s''</sub> を、スカラー ''s'' による '''R'''<sup>''d''</sup> 上の{{仮リンク|相似変換<!-- リダイレクト先の「[[行列の相似]]」は、[[:en:Matrix similarity]] とリンク -->|label=伸張|en|Homothetic transformation|redirect=1}}、すなわち σ<sub>''s''</sub>''x''&nbsp;=&nbsp;''sx'' を満たすものとするとき、その σ<sub>''s''</sub> は{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|Pullback (differential geometry)}}を介した函数上の次の作用を定義する：

:<math>\sigma_s^* f = f\circ\sigma_s.</math>

リース変換は、この σ<sub>''s''</sub> と可換である。すなわち

:<math>\sigma_s^* (R_jf) = R_j(\sigma_x^*f)</math>

となる。同様に、リース変換は平行移動と可換となる。今 τ<sub>''a''</sub> をベクトル ''a'' に沿った '''R'''<sup>''d''</sup> 上の平行移動とする。すなわち、τ<sub>''a''</sub>(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;''a'' が満たされるものとする。このとき

:<math>\tau_a^* (R_jf) = R_j(\tau_a^*f)</math>

となる。

最後の性質を述べる上で、リース変換を単独の[[空間ベクトル|ベクトル]]成分 ''R''ƒ&nbsp;=&nbsp;(''R''<sub>1</sub>ƒ,…,''R''<sub>''d''</sub>ƒ) として見なすことが有用となる。'''R'''<sup>''d''</sup> 内の[[回転 (数学)|回転]] ρ を考える。この回転は空間変数の上で作用するため、引き戻しを介した函数の上で作用する。しかしそれはまた、空間ベクトル ''R''ƒ の上でも作用する。最後の性質は、リース変換はそれら二つの作用に関して{{仮リンク|同変写像|label=同変|en|Equivariant map}}であるということである。すなわち
:<math>\rho^* R_j [(\rho^{-1})^*f] = \sum_{k=1}^d \rho_{jk} R_kf</math>

が成立する。

以上の三つの性質は、実際次の意味でリース変換を特徴付けるものである。''T''=(''T''<sub>''1''</sub>,…,''T''<sub>''d''</sub>) を ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''d''</sup>) から ''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''d''</sup>) への有界線型作用素の ''d''-[[タプル]]で、次を満たすものとする。

* ''T'' はすべての伸張および平行移動と可換である。
* ''T'' は回転に関して同変である。

このとき、ある定数 ''c'' に対して ''T'' = ''cR'' が成り立つ。

== ラプラシアンとの関係 ==

幾分不正確な点も含むが、ƒ のリース変換は次の方程式の解の第一[[偏微分|偏導函数]]を与える。

:<math>{(-\Delta)^{\frac{1}{2}} u = f}. </math>

ここで &Delta; は[[ラプラシアン]]である。したがって ƒ のリース変換は次のように書くことが出来る：

:<math>{R f = \nabla (-\Delta)^{-\frac{1}{2}}f}. </math>

特に

:<math>R_iR_j\Delta u = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j} </math>

であるため、リース変換はそのラプラシアンのみによって、函数の全[[ヘッセ行列]]に関する情報を再び得ることを可能にする。

これをより正確に述べる。''u'' は[[シュワルツ空間|シュワルツ函数]]とする。このとき実際、フーリエ乗数の陽形式によって、次が得られる。

:<math>R_iR_j(\Delta u) = -\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}.</math>

この等式は一般に、[[シュワルツ超函数|超函数]]の意味で真ではない。例えば、''u'' が &Delta;''u''&nbsp;&isin;&nbsp;''L''<sup>2</sup>('''R'''<sup>''d''</sup>) であるような[[シュワルツ超函数|緩増加超函数]]であるなら、ある多項式 ''P''<sub>''ij''</sub> に対して

:<math>\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j} = -R_iR_j\Delta u + P_{ij}(x)</math>

と結論付けることが出来る。

== 関連項目 ==
* [[ポアソン核]]
* [[リースポテンシャル]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}<!--added under references heading by script-assisted edit-->
* {{citation|first1=D.|last=Gilbarg|first2=Neil|last2=Trudinger|authorlink2=:en:Neil Trudinger|title=Elliptic Partial Differential Equations of Second Order|publisher=Springer|publication-place=New York|year=1983|isbn=3-540-41160-7}}.
* {{citation|first=Elias|last=Stein|authorlink=:en:Elias Stein|title=Singular integrals and differentiability properties of functions|publisher=[[プリンストン大学出版局|Princeton University Press]]|year=1970}}.
* {{citation|first1=Elias|last1=Stein|authorlink1=:en:Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=0-691-08078-X}}.
* {{citation|first1=N.|last=Arcozzi|title=Riesz Transform on spheres and compact Lie groups|publisher=Springer|publication-place=New York|year=1998|issn=0004-2080}}.

{{DEFAULTSORT:りいすへんかん}}
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