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[[数学]]における'''リース平均'''（リースへいきん、{{Lang-en-short|Riesz mean}}）とは、ある[[級数]]に関する項の[[平均]]のことを言う。1911年、[[リース・マルツェル]]によって[[チェザロ平均]]を改善するものとして導入された{{ref|Rie11}}{{ref|Hard16}}。{{仮リンク|ボホナー＝リース平均|en|Bochner–Riesz mean}}や強リース平均（strong-Riesz mean）とは異なる。

== 定義 ==

級数 <math>\{s_n\}</math> に対するリース平均は、次で定義される。

:<math>s^\delta(\lambda) = 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n </math>

しばしば次の一般化リース平均も用いられる。

:<math>R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k. </math>

ここで <math>\lambda_n</math> は、<math>n\to\infty</math> に対して <math>\lambda_n\to\infty</math> と <math>\lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1</math> を満たす数列である。それ以外の性質に関しては <math>\lambda_n</math> は任意に選ばれる。

リース平均はしばしば、数列の[[発散級数|総和可能性]]を調べるために用いられる。総和可能性に関する典型的な定理では、ある列 <math>\{a_n\}</math> に対して <math>s_n = \sum_{k=0}^n a_n</math> となる場合が扱われる。通常、列が総和可能であるための十分条件は、極限 <math>\lim_{n\to\infty} R_n</math> あるいは <math>\lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda)</math> が存在することである。ただし厳密には追加条件が課されることもしばしばある。

== 特別な場合 ==

すべての <math>n</math> に対して <math>a_n=1</math> の場合を考える。このとき

:<math> 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta
= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s \, ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}
</math>

となる。ここで <math>c>1</math> であり、<math>\Gamma(s)</math> は[[ガンマ函数]]、<math>\zeta(s)</math> は[[リーマンゼータ函数]]である。冪級数

:<math>\sum_n b_n \lambda^{-n}</math>

は、<math>\lambda > 1</math> に対して収束することが示される。この形式の積分は[[メリン変換|メリン逆変換]]であることに注意されたい。

その他、[[数論]]と関連する興味深いケースは、{{仮リンク|フォン・マンゴールト函数|en|Von Mangoldt function}} <math>\Lambda(n)</math> に対して <math>a_n=\Lambda(n)</math> とすることで得られる。このとき

:<math> 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n)
= - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} 
\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s \, ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + 
\sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}
+\sum_n c_n \lambda^{-n}
</math>

となる。ここで再び ''c''&nbsp;>&nbsp;1 であり、''ρ'' についての和はリーマンゼータ函数の零点についての和を意味し、

:<math>\sum_n c_n \lambda^{-n} \, </math>

は ''λ''&nbsp;>&nbsp;1 に対して収束する。

ここで現れる積分は[[ネアルン＝ライス積分]]に似たものである。非常に大雑把に言うと、それらは[[ペロンの公式]]によって関連付けられる。

== 関連項目 ==
* [[平均]]
* {{仮リンク|ボホナー＝リース平均|en|Bochner–Riesz mean}}

== 参考文献 ==
* {{note|Rie11}} M. Riesz, ''Comptes Rendus'', 12 June 1911
* {{note|Hard16}} {{Cite journal|first=G. H. |last=Hardy |name-list-style=amp |first2=J. E. |last2=Littlewood |url=http://www.ift.uni.wroc.pl/%7Emwolf/Hardy_Littlewood%20zeta.pdf |title=Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes |journal=[[Acta Mathematica]] |volume=41 |issue= |year=1916 |pages=119–196 |doi=10.1007/BF02422942 }}
* {{SpringerEOM|title=Riesz summation method|last=Volkov|first=I.I.|urlname=Riesz_summation_method}}

{{DEFAULTSORT:りいすへいきん}}
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