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[[数学]]における'''リース空間'''（リースくうかん、{{lang-en-short|''Riesz space''}}）、'''線型束空間'''あるいは'''束線型空間''' {{lang|en|(''lattice-ordered vector space'')}}、または'''ベクトル束''' {{lang|en|(''vector lattice'')}}<ref group="*">微分幾何学等で扱われる[[ベクトル束]] (vector bundle) とは異なることに注意。</ref> とは、[[順序構造]]が[[束 (束論)|束]]を成す[[順序線型空間]]のことである。リース空間の名は[[リース・フリジェシュ]]の論文 {{harv|Riesz|1928}} に因む。

リース空間の概念は[[測度論]]において重要で、[[ラドン-ニコディムの定理]]が[[フロイデンタールのスペクトル定理]]の特別な場合であるといったように、測度論における主要な結果はリース空間における結果として一般化して定式化できる。

== 定義 ==
実数体 '''R''' 上の[[ベクトル空間]] (''X'', +, &bull;) 上に[[半順序関係]] "&le;" が定義されているとき、組 (''X'', +, &bull;, &le;) が'''リース空間'''または'''ベクトル束'''であるとは、''f'', ''g'', ''h'' などは ''X'' の任意の元として

# ''f'' &le; ''g'' ならば ''f'' + ''h'' &le; ''g'' + ''h'' が成り立つ。
# [0 &le; ''a'' &isin; '''R''' かつ ''f'' &le; ''g''] ならば ''af'' &le; ''ag'' が成り立つ。
# (''X'', &le;) は順序集合として束を成す

なる公理を満たすときに言う。演算や順序が明らかで誤解の虞のない場合、通例の如く台集合と同じ記号を用いてベクトル束 ''X'' とか ''X'' はベクトル束であるなどという。また、2. の条件で '''R''' 上の順序も ''X'' 上の順序も同じ &le; で記してあるが、どの空間上の[[順序関係]]であるかは文脈から明らかであろうから、区別のための添字などは省略してある。

最初のふたつの条件は (''X'', +, &bull;, &le;) が[[順序線型空間]]となることを言うものである。2. の条件は 
: [0 &le; ''a'' &isin; '''R''' かつ 0 &le; ''f''] ならば 0 &le; ''af'' が成り立つ。 
に取り替えてもよい。束演算 "&and;", "&or;" を通例の如く定める（[[束 (束論)|束論]]参照）ならば、これらと線型演算 "+", "&bull;" との間に特定の関係 (clamp-rule) が成立する。

ベクトル束 ''X'' の元 ''p'' が'''正''' {{lang|en|(''positive'')}} あるいは'''非負''' {{lang|en|(''non-negative'')}} であるとは、0 &le; ''p'' となることをいう。''X'' の正の元全体 ''X''<sup>+</sup> はしばしば'''正錐''' {{lang|en|(''positive cone'')}} と呼ばれる。各元 ''f'' に対して、|''f''| := ''f'' &or; (&minus;''f'') を ''f'' の'''絶対値''' {{lang|en|(''modulus'')}} と呼ぶ。また、''f''<sup>+</sup> := 0 &or; ''f'' を ''f'' の'''正の成分''' {{lang|en|(''positive part'')}} といい、''f''<sup>&minus;</sup> := 0 &or; (&minus;''f'') を ''f'' の'''負の成分''' {{lang|en|(''negative part'')}} と呼ぶ。任意の ''f'' に対して、''f''<sup>+</sup>, ''f''<sup>&minus;</sup> はともに正の元で、''f'' = ''f''<sup>+</sup> &minus; ''f''<sup>&minus;</sup>, |''f''| = ''f''<sup>+</sup> + ''f''<sup>&minus;</sup> を満たす。

== 例と反例 ==

* 実数全体の成す集合 '''R''' は通常の大小関係 "&le;" に関してリース空間を成す。
* [[数空間|実数の ''n''-組全体の成す集合]] '''R'''<sup>''n''</sup> は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してリース空間を成す。
* [[数列|実数列]]全体の成す集合 '''R'''<sup>'''N'''</sup> は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してリース空間を成す。
* 0 に収斂する実数列全体の成す集合 ''c''<sub>0</sub> は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してベクトル束を成す。
* 1 &le; ''p'' &lt; &infin; なる ''p'' に対する、''p''-乗総和可能実数列の全体の成す集合 ''l''<sub>''p''</sub> は成分ごとの順序から定まる順序に関してベクトル束を成す。
* 有界実数列全体の成す集合 ''l''<sub>&infin;</sub> は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してベクトル束を成す。
* 集合 ''X'' 上の[[コンパクト台]]つき実数値連続函数の全体の成す集合 ''C''<sub>''c''</sub>(''X''; '''R''') は、点ごとの大小関係で定まる[[半順序]]<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>f\le g \iff f(x)\le g(x) \text{ for }\forall x\in X</math></div>に関してベクトル束を成す。
* 区間 [''a'', ''b''] 上の連続函数全体の成す集合 ''C''[''a'', ''b''] は点ごとの大小関係で定まる半順序に関してベクトル束を成す。
* 区間 [''a'', ''b''] 上の連続的微分可能函数全体の成す集合 ''C''<sup>1</sup>[''a'', ''b''] は順序線型空間を成すが、ベクトル束にはならない。

== 性質 ==
* ベクトル束は[[順序群#諸概念|束群]]である。
* ベクトル束 (''X'', +, &bull;, &and;, &or;) における線型構造と束構造は以下の意味で両立する。''f'', ''g'', ''h'' を ''X'' の任意の元、''a'' &ge; 0 を '''R''' の元として
** <math>(f+h)\lor(g+h)=(f\lor g) +h,</math>
** <math>(f+h)\land(g+h)=(f\land g) +h,</math>
** <math>(af)\lor (ag)=a(f\lor g),</math>
** <math>(af)\land (ag)=a(f\land g),</math>
** <math>(-f)\lor (-g)=-(f\land g),</math>
** <math>(-f)\land (-g)=-(f\lor g).</math>
* ''X'' の元 ''f'' に対し、|''f''| := ''f'' &or; (&minus;''f'') と置けば<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>\begin{align}
 f\lor g&={1\over 2} (f+g+|f-g|),\\
 f\land g&={1\over 2} (f+g-|f-g|)
\end{align}</math></div> を得る。特に<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>(f\lor g)+(f\land g)=f+g,\quad (f\lor g)-(f\land g)=|f-g|</math></div>が成り立つ。
* リース空間は束として[[分配束|分配的]]である。
** <math>(f\lor g)\land h = (f\land h) \lor (g \land h),</math>
** <math>(f\land g)\lor h = (f\lor h) \land (g \lor h).</math>

== 注 ==
<references group="*" />

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* [[ニコラ・ブルバキ|Bourbaki, Nicolas]]; <cite>Elements of Mathematics: Integration. Chapters 1–6</cite>; ISBN 3-540-41129-1
* Riesz, Frigyes; <cite>Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires</cite> , Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928) , 3 , Zanichelli  (1930)  pp. 143–148
* {{citation | last=Sobolev | first=V. I. | author-link= | contribution=Riesz space  | title=[[Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopædia of Mathematics]] | publisher=[[Springer Verlag|Springer]] | year=2001 | isbn=978-1-4020-0609-8 | url=http://eom.springer.de/R/r082290.htm }}
* Luxembrg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264

{{Functional Analysis}}
{{DEFAULTSORT:りいすくうかん}}
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