リーマンのクシー関数のソースを表示

[[Image:Complex Riemann Xi.jpg|right|thumb|300px|[[複素平面]]におけるリーマンのクシー関数 {{math|''&xi;''(''s'')}}. 点 {{mvar|s}} の色は関数の値を表している。より暗い色は {{math|0}} により近い値を表し、色相は値の[[複素数|偏角]]を表す。]]

[[数学]]において、'''リーマンのクシー関数'''（リーマンのクシーかんすう、{{lang-en-short|Riemann Xi function}}）は[[リーマンのゼータ関数]]の変形で、とりわけ単純な[[関数等式]]をもつように定義される。関数は[[ベルンハルト・リーマン]]に敬意を表して名づけられている。

== 定義 ==
リーマンのもともとの小文字のクシー関数、{{mvar|ξ}} は[[エトムント・ランダウ]]によって大文字のクシー {{math|Ξ}} に改名された（下記参照）。ランダウの小文字クシー {{mvar|ξ}} は次のように定義される<ref>Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.</ref>： {{math|''s'' &isin; '''C'''}} に対して
:<math>\xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \Gamma\left(\frac{1}{2} s\right) \zeta(s).</math>
ここで {{math|''&zeta;''(''s'')}} は[[リーマンのゼータ関数]]を表し、{{math|&Gamma;(''s'')}} は[[ガンマ関数]]である。クシーの関数等式（あるいは {{仮リンク|reflection formula|en|reflection formula}}）は
:<math>\xi(1-s) = \xi(s)</math> 
である。大文字のクシー {{math|Ξ}} は Landau (loc. cit., §71) によって
:<math>\Xi(z) = \xi\left(\frac12+zi\right)</math>
と定義され、関数等式
:<math>\Xi(-z) =\Xi(z)</math>
をもつ。Landau (loc. cit., p.&nbsp;894) によって報告されているようにこの関数 {{math|Ξ}} はリーマンがもともと {{mvar|ξ}} によって表記した関数である。

==値==
偶数に対する一般式は
:<math>\xi(2n) = (-1)^{n+1}\frac{1}{(2n)!}B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)!</math>
である、ただし {{mvar|B<sub>n</sub>}} は {{mvar|n}} 番目の[[ベルヌーイ数]]を表す。例えば
:<math>\xi(2) = {\pi \over 6} </math>
である。

==級数表現==
クシー関数は級数展開

:<math>\frac{d}{dz} \log \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right) = 
       \sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n</math>

をもつ、ただし

:<math>\lambda_n = \frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{d^n}{ds^n} 
\left[s^{n-1} \log \xi(s) \right] \right|_{s=1} = \sum_{\rho} \left[1- 
\left(1-\frac{1}{\rho}\right)^n\right]</math>

であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 {{mvar|ρ}} を {{math|{{mabs|Im(''&rho;'')}}}} の順番で渡る。

この展開は {{仮リンク|Li's criterion|en|Li's criterion}} においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、[[リーマン予想]]はすべての正の {{mvar|n}} に対して {{math|''&lambda;{{sub|n}}'' &gt; 0}} であることと同値であるというものである。

==アダマール積==
単純な[[無限積]]展開は

:<math>\Xi(s) = \Xi(0)\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right),\!</math>
ただし {{mvar|ρ}} は {{mvar|ξ}} の根を走る。

展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち {{mvar|&rho;}} と {{math|1 − &rho;}} の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。

== 関連項目 ==
* [[与えられた数より小さい素数の個数について]] - クシー関数を導入したリーマンの論文

== 脚注 ==
{{reflist}}

==関連文献==
* {{mathworld|urlname=Xi-Function|title=Xi-Function}}
* {{cite journal
 |first1=J.B.
 |last1=Keiper
 |journal=Mathematics of Computation
 |year=1992
 |volume=58
 |issue=198
 |pages=765&ndash;773
 |title=Power series expansions of Riemann's xi function
 |doi=10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 
 |bibcode=1992MaCom..58..765K
}}

{{PlanetMath attribution|id=33943|title=Riemann &Xi; function}}

{{DEFAULTSORT:りいまんのくしいかんすう}}
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:ベルンハルト・リーマン|くしいかんすう]]
[[Category:数学に関する記事]]
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