リーマンの写像定理のソースを表示

{{要改訳}}
[[File:Poincarehalfplaneconform.gif|thumb|200px|[[上半平面]] '''H''' は単位円板 '''D''' と双正則同値である。|alt=H &rarr; D, z &mapsto; i(z - i)/(z + i)]]
[[複素解析]]において'''リーマンの写像定理''' ({{lang-en-short|Riemann mapping theorem}}) は、<math>U\subsetneq\mathbb{C}</math> が空でない[[単連結]]な[[開集合]]（単連結な領域）のとき、''U'' から[[単位円板|単位開円板]]
:<math>D = \left\{z\in \mathbb{C} : |z| < 1\right\}</math>
への[[双正則写像|双正則]]な写像（[[全単射]]な[[正則函数|正則写像]]）''f'' が存在することを言っている定理である<ref>この ''f'' の存在は、[[グリーン函数]]の存在と同値である。</ref>。

この写像は'''リーマンの写像''' ({{lang-en-short|Riemann mapping}}) として知られている。

直感的には、''U'' が単連結であることは ''U'' には「穴」があいていないことを意味する。''f'' が双正則であることは、それが[[等角写像]]であり、従って角度を保つことを意味する。直感的には、そのような写像は、回転したり拡大・縮小したりはする（ただし折り返してはいけない）が、十分に小さな形を保存する。

[[アンリ・ポアンカレ]] (Henri Poincaré) は、写像 ''f'' が本質的に一意的であることを証明した。''z''<sub>0</sub> を ''U'' の元とし、φ を任意の角度とすると、ちょうど一つだけ以下を満たす上記のような ''f'' が存在する。''f''(''z''<sub>0</sub>)&nbsp;=&nbsp;0 であり、かつ点 ''z''<sub>0</sub> における ''f'' の微分の[[複素数#極形式|偏角]]が φ に等しくなる。この一意性は[[シュワルツの補題]]より容易に導ける。

この定理の系として、[[リーマン球面]]の少なくとも 2 点を取り除いた任意の 2つの単連結な開部分集合は、互いに共形的に写像することができる（理由は[[共形同値]]は同値関係だからである）。
<!---In [[complex analysis]], the '''Riemann mapping theorem''' states that if ''U'' is a non-empty [[simply connected space|simply connected]] [[open set|open subset]] of the [[complex plane|complex number plane]] '''C''' which is not all of '''C''', then there exists a [[biholomorphy|biholomorphic]] ([[bijective function|bijective]] and [[holomorphic function|holomorphic]]) mapping ''f'' from ''U'' onto the [[open unit disk]] 
:<math>D = \{z\in \mathbf{C} : |z| < 1\}</math>

This mapping is known as a '''Riemann mapping'''.

Intuitively, the condition that ''U'' be simply connected means that ''U'' does not contain any “holes”. The fact that ''f'' is biholomorphic implies that it is a [[conformal map]] and therefore angle-preserving. Intuitively, such a map preserves the shape of any sufficiently small figure, while possibly rotating and scaling (but not reflecting) it.

[[Henri Poincaré]] proved that the map ''f'' is essentially unique: if ''z''<sub>0</sub> is an element of ''U'' and φ is an arbitrary angle, then there exists precisely one ''f'' as above such that ''f''(''z''<sub>0</sub>) = 0 and that the [[Complex number#Complex plane|argument]] of the derivative of ''f'' at the point ''z''<sub>0</sub> is equal to φ. This is an easy consequence of the [[Schwarz lemma]].

As a corollary of the theorem, any two simply connected open subsets of the [[Riemann sphere]] which both lack at least two points of the sphere can be conformally mapped into each other (because conformal equivalence is an equivalence relation).-->

==歴史==
この定理は、1851年の[[ベルンハルト・リーマン]]の学位論文にて（U の[[境界 (位相空間論)|境界]]が区分的に滑らかであると仮定して）記述された。[[ラース・ヴァレリアン・アールフォルス|ラース・アールフォルス]]はかつて、この定理の元々の定式化について「現代の方法を以てしても、いかなる証明の試みをも拒絶するような言葉で定式化されていた」と述べている。リーマンの誤った証明は[[ディリクレの原理]]（命名はリーマンによる）に依存しており、この原理は当初正しいと考えられていたが、[[カール・ワイエルシュトラス]]が一般には成り立たないことを発見した。後に[[ダフィット・ヒルベルト]]が再考し、ディリクレの原理がリーマンが用いた仮定の下で広い範囲で有効であることを証明した。しかし、有効となるためには、ディリクレの原理は U の境界に関する一般の単連結領域では成り立たないある仮定を必要とする。任意の境界を持つ単連結領域は {{harvs|txt|first=William Fogg |last=Osgood|authorlink=William Fogg Osgood|year=1900}} により初めて扱われた。

正しい初の証明は[[コンスタンティン・カラテオドリ]]により1912年に出版された。彼の証明は[[リーマン面]]を使っていたが、2年後に{{仮リンク|ポール・ケーベ|en|Paul Koebe}}がこれを使わない形に簡素化した。

別証明として{{仮リンク|フェイエール・リポート|en|Lipót Fejér}}と[[リース・フリジェシュ]]が1922年に出版したものがあり、これは以前の証明より大幅に短い。この証明では、リーマンによる証明と同様に、求める写像は極値問題の解として得られる。フェジェ＝リースの証明は{{仮リンク|アレクサンダー・オストロフスキー|en|Alexander Ostrowski}}とカラテオドリにより更に簡素化された。
<!--==History==
The theorem was stated (under the assumption that the [[boundary (topology)|boundary]] of ''U'' is piecewise smooth) by [[Bernhard Riemann]] in 1851 in his PhD thesis.  [[Lars Ahlfors]] wrote once, concerning the original formulation of the theorem, that it was “ultimately formulated in terms which would defy any attempt of proof, even with modern methods”. Riemann's flawed proof depended on the [[Dirichlet principle]] (which was named by Riemann himself), which was considered sound at the time. However, [[Karl Weierstrass]] found that this principle was not universally valid. Later, [[David Hilbert]] was able to prove that, to a large extent, the Dirichlet principle is valid under the hypothesis that Riemann was working with. However, in order to be valid, the Dirichlet principle needs certain hypotheses concerning the boundary of ''U'' which are not valid for simply connected domains in general. Simply connected domains with arbitrary boundaries were first treated  by {{harvs|txt|first=William Fogg |last=Osgood|authorlink=William Fogg Osgood|year=1900}}.

The first proof of the theorem is due to [[Constantin Carathéodory]], who published it in 1912. His proof used [[Riemann surface]]s and it was simplified by [[Paul Koebe]] two years later in a way which did not require them.

Another proof, due to [[Lipót Fejér|Leopold Fejér]] and to [[Frigyes Riesz]], was published in 1922 and it was rather shorter than the previous ones. In this proof, like in Riemann's proof, the desired mapping was obtained as the solution of an extremal problem. The Fejér-Riesz proof was further simplified by [[Alexander Ostrowski]] and by Carathéodory.-->

==重要性==
リーマンの写像定理の一意性と影響力の詳細を以下に列挙する。

* たとえ相対的に単純なリーマンの写像でも（例えば、円の内部から正方形の内部への写像）[[初等関数]]のみを使い明確な公式として表すことはできない。
* 平面上の単連結な開集合は非常に難しい。例えば、集合それ自身は有界であったとしても、[[境界 (位相幾何学)|境界]]は無限の長さをもついたるところで[[微分可能関数|微分可能]]でなく[[フラクタル]]な曲線が存在する。そのような集合が'''角度を保持する'''ような方法でうまく正規な円板に写像することができるという事実は、直感に反するように見える。
* さらに複雑な領域のリーマンの写像定理の類似は正しくない。次に単純である場合は、二重連結な領域(doubly connected domain)（一つだけ穴を持った領域）である。穴のあいた円板や任意のや穴のあいた平面を除く任意の二重連結領域は、[[アニュラス]]、つまり、0 < r < 1に対し {z&nbsp;:&nbsp;r&nbsp;<&nbsp;|z|&nbsp;<&nbsp;1} に共形同値であるが、反転(inversion)や定数倍を除いて、アニュラスの間には共形写像は存在せず、従ってアニュラス {z&nbsp;:&nbsp;1&nbsp;<&nbsp;|z|&nbsp;<&nbsp;2} はアニュラス {z&nbsp;:&nbsp;1&nbsp;<&nbsp;|z|&nbsp;<&nbsp;4} は共形同値ではない（{{仮リンク|極限での長さ|en|extremal length#Some applications of extremal length}}(extremal length)を応用して証明することができる）。
* リーマンの写像定理の 3次元やそれ以上の実次元の類似は正しくない。3次元の共形写像の族は非常に貧弱で、本質的には[[メビウス変換]]しか持っていない。
* たとえ高次元で任意の[[位相同型|同相写像]]がありえたとしも、[[可縮]]な[[多様体]]は球体(ball)と同相（例えば、{{仮リンク|ホワイトヘッド多様体|label=ホワイトヘッド連続|en|Whitehead continuum}}(Whitehead continuum)）ではありえないことが分かる。
* リーマンの写像定理は、平面内の2つの単連結な領域が[[位相同型|同相]]であることを証明する最も簡単な方法である。たとえ連続写像のクラスが共形写像のクラスよりも非常に大きいとしても、領域が単連結であることのみが分かっている円板の上への 1 対 1 の函数を構成することは容易ではない。
<!---==Importance==
The following points detail the uniqueness and power of the Riemann mapping theorem:

* Even relatively simple Riemann mappings (for example a map from the interior of a circle to the interior of a square) have no explicit formula using only [[elementary function]]s.
* Simply connected open sets in the plane can be highly complicated, for instance the [[boundary (topology)|boundary]] can be a nowhere-[[differentiable]] [[fractal]] curve of infinite length, even if the set itself is bounded. The fact that such a set can be mapped in an ''angle-preserving'' manner to the nice and regular unit disc seems counter-intuitive.
* The analog of the Riemann mapping theorem for more complicated domains is not true. The next simplest case is of doubly connected domains (domains with a single hole).  Any doubly connected domain except for the punctured disk and the punctured plane is conformally equivalent to some annulus {''z''&nbsp;:&nbsp;r&nbsp;<&nbsp;|''z''|&nbsp;<&nbsp;1} with 0 < ''r'' < 1, however  there are no conformal maps between [[Annulus (mathematics)|annuli]] except inversion and multiplication by constants so the annulus {''z''&nbsp;:&nbsp;1&nbsp;<&nbsp;|''z''|&nbsp;<&nbsp;2} is not conformally equivalent to the annulus {''z''&nbsp;:&nbsp;1&nbsp;<&nbsp;|''z''|&nbsp;<&nbsp;4} (as can be [[extremal length#Some applications of extremal length|proven using extremal length]]).
* The analogue of the Riemann mapping theorem in three or more real dimensions is not true. The family of conformal maps in three dimensions is very poor, and essentially contains only [[Möbius transformation]]s.
* Even if arbitrary [[homeomorphism]]s in higher dimensions are permitted, [[contractible]] [[manifold]]s can be found that are not homeomorphic to the ball (e.g., the [[Whitehead continuum]]).
* The Riemann mapping theorem is the easiest way to prove that any two simply connected domains in the plane are [[homeomorphism|homeomorphic]]. Even though the class of continuous functions is vastly larger than that of conformal maps, it is not easy to construct a one-to-one function onto the disk knowing only that the domain is simply connected.-->

==証明のスケッチ==
U と U の中の点 z<sub>0</sub> が与えられたとすると、U を 単位円板へ z<sub>0</sub> を 0 へ移すような函数 f を構成したい。これをスケッチするために、リーマンが行ったように、U は有界で境界が滑らかと仮定しよう。また、
:<math>f(z) = (z - z_0)e^{g(z)}</math>
と書くこととする。ここに g = u + iv は、実部が u で虚部が v であるような正則函数（を定義するために）とおく。すると、明らかに、z<sub>0</sub> は f の唯一のゼロ点である。全ての z ∈ ∂U に対して、|f(z)| = 1 を要求すると、境界上では 
:<math>u(z) = -\log|z - z_0|</math>
が必要となる。u は正則函数の実部であるので、u が必然的に[[調和函数]]となり、すなわち、[[ラプラス方程式]]を満たす。
<!---==A proof sketch==
Given ''U'' and a point ''z''<sub>0</sub> in ''U'', we want to construct a function ''f'' which maps ''U'' to the unit disk and ''z''<sub>0</sub> to 0. For this sketch, we will assume that ''U'' is bounded and its boundary is smooth, much like Riemann did. Write

:<math>f(z) = (z - z_0)e^{g(z)}</math>

where ''g'' = ''u'' + ''iv'' is some (to be determined) holomorphic function with real part ''u'' and imaginary part ''v''. It is then clear that ''z''<sub>0</sub> is the only zero of ''f''. We require |''f''(''z'')| = 1 for ''z'' ∈ ∂''U'', so we need 
:<math>u(z) = -\log|z - z_0|</math>

on the boundary. Since ''u'' is the real part of a holomorphic function, we know that ''u'' is necessarily a [[harmonic function]]; i.e., it satisfies [[Laplace's equation]].-->

従って、問題は次のようになる。全ての U の上で定義され、与えられた境界をもつ実数に値をもつ調和函数 u は存在するであろうか？これへの肯定的な回答は[[ディリクレの原理]]で与えられる。一度 u の存在が確立すると、正則函数 g の[[コーシー・リーマンの関係式]]より、v を見つけることができる（この議論は U が単連結であるという前提に依存する）。一度、u と v が構成されると、結果として現れる函数 f が実際に全て要求された性質を満たすことをチェックする必要がある。
<!---The question then becomes: does a real-valued harmonic function ''u'' exist that is defined on all of ''U'' and has the given boundary condition? The positive answer is provided by the [[Dirichlet principle]]. Once the existence of ''u'' has been established, the [[Cauchy-Riemann equations]] for the holomorphic function ''g'' allow us to find ''v'' (this argument depends on the assumption that ''U'' be simply connected). Once ''u'' and ''v'' have been constructed, one has to check that the resulting function ''f'' does indeed have all the required properties.-->

==一意化定理==
リーマンの写像定理は、[[リーマン面]]の脈絡で一般化することが可能である。U をリーマン面の単連結な開部分集合とすると、U は[[リーマン球面]]、[[複素平面]] '''C'''、[[単位円板|開円板]] '''D''' のうちの一つとなる。この定理は、[[一意化定理]]として知られている。

==滑らかなリーマンの写像定理==
滑らかな境界をもった単連結な有界領域の場合は、リーマンの写像函数とその全ての微分は、連続性により領域の閉包へと拡張される。これは、{{仮リンク|平面的領域のソボレフ空間の定理|en|Sobolev spaces for planar domains#Application to smooth Riemann mapping theorem}}、あるいは、{{仮リンク|古典的ポテンシャル論|en|Neumann-Poincaré operator#Solution of Dirichlet and Neumann problems}}に従うディリクレの境界値問題の正規な性質を使い証明することができる。リーマン写像定理を証明するもう一つの方法は、{{仮リンク|核函数|en|kernel function}}(kernel function)を使う方法<ref>{{harvnb|Bell|1992}}</ref> や、{{仮リンク|ベルトラミ方程式|en|Beltrami equation#Smooth Riemann mapping theorem}}(Beltrami equation)を使う方法である。
<!---==Uniformization theorem==
The Riemann mapping theorem can be generalized to the context of [[Riemann surface]]s: If ''U'' is a simply-connected open subset of a [[Riemann surface]], then ''U'' is biholomorphic to one of the following: the [[Riemann sphere]], '''[[complex plane|C]]''' or ''[[open unit disk|D]]''. This is known as the [[uniformization theorem]].

==Smooth Riemann mapping theorem==
In the case of a simply connected bounded domain with smooth boundary, the Riemann mapping function and all its derivatives extend by continuity to the closure of the domain. This can be proved using regularity properties of solutions of the Dirichlet boundary value problem, which follow either from the theory of [[Sobolev spaces for planar domains#Application to smooth Riemann mapping theorem|Sobolev spaces for planar domains]] or from [[Neumann-Poincaré operator#Solution of Dirichlet and Neumann problems|classical potential theory]]. Other methods for proving the smooth Riemann mapping theorem include the theory of kernel functions<ref>{{harvnb|Bell|1992}}</ref> or the [[Beltrami equation#Smooth Riemann mapping theorem|Beltrami equation]].-->

==関連項目==
* [[カラテオドリの定理 (等角写像)]] (Carathéodory's theorem)
* {{仮リンク|測度的リーマン写像定理|en|Measurable Riemann mapping theorem}}(Measurable Riemann mapping theorem)
* {{仮リンク|シュワルツ・クリストフェル写像|en|Schwarz–Christoffel mapping}}(Schwarz–Christoffel mapping) - 上半平面から単体ポリゴンの内部上への共形変換
* [[ド・ブランジュの定理]](ビーベルバッハの予想）

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{citation|last=Bell|first=Steven R.|title= The Cauchy transform, potential theory, and conformal mapping|series= Studies in Advanced Mathematics|publisher= CRC Press|year= 1992|isbn=0-8493-8270-X}}
*[[John B. Conway]] (1978) ''Functions of one complex variable'', Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3
*John B. Conway (1995) ''Functions of one complex variable II'', Springer-Verlag, ISBN 0-387-94460-5
*{{Citation | last1=Gray | first1=Jeremy | title=On the history of the Riemann mapping theorem | url=http://www.math.stonybrook.edu/~bishop/classes/math401.F09/GrayRMT.pdf | mr=1295591 | year=1994 | journal=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. Supplemento | issue=34 | pages=47–94}}
*[[Steven G. Krantz]] (2006) ''Geometric Function Theory'', chapter 4: Riemann Mapping Theorem and its Generalizations, pp 83&ndash;108, [[Birkhäuser]] ISBN 0-8176-4339-7 .
*{{Citation | last1=Osgood | first1=W. F. | title=On the Existence of the Green's Function for the Most General Simply Connected Plane Region | jstor=1986285 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | jfm=31.0420.01 | year=1900 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=1 | issue=3 | pages=310–314}}
*[[Reinhold Remmert]] (1998) ''Classical topics in complex function theory'', Springer-Verlag, ISBN 0-387-98221-3
*[[Bernhard Riemann]] (1851) ''[http://www.emis.de/classics/Riemann/Grund.pdf Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse]'', Göttingen.
*{{Citation | last1=Walsh | first1=J. L. | title=History of the Riemann mapping theorem | jstor=2318448 | mr=0323996 | year=1973 | journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] | issn=0002-9890 | volume=80 | pages=270–276}}

==外部リンク==
*{{SpringerEOM|title=Riemann theorem|id=Riemann_theorem|first=E.P.|last= Dolzhenko}}

{{DEFAULTSORT:りいまんのしやそうていり}}
[[Category:ベルンハルト・リーマン|しやそうていり]]
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]