リーマンの素数公式のソースを表示

'''リーマンの素数公式'''（'''Riemann's prime number formula'''）とは、[[ドイツ]]の数学者[[ベルンハルト・リーマン]]が1859年に自身の論文「[[与えられた数より小さい素数の個数について]]」において発表した、[[素数]]の個数関数 &pi;(''x'') を[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]の非自明な[[零点]]を用いて表示する公式である。素数公式のリーマン自身の証明は同論文の他のいくつかの結果同様不完全だったが、[[ハンス・フォン・マンゴルド]]によって1895年に厳密に証明された。

== 概要 ==
<!--（ここに前文より細かい紹介を書きたい）-->
リーマンの定義した素数の個数関数とは、大きさが ''x'' 以下の素数の個数を表す関数で、厳密には下のように定義される。
{{Indent|<math>\pi(x)={\sum_{p \leqq x}}^{\prime} 1</math>}}
ここで ''p'' は素数を表し、&Sigma;' はちょうど ''x'' が項数が増える整数のときは和の最後の項を半分にして足すことを示す。すなわち、不連続点における値を左右両極限値の平均として定めることを意味する。参考のためいくつかの特殊値を書けば &pi;(1) = 0, &pi;(2) = 1/2, &pi;(3) = 3/2, &pi;(4) = 2 である。リーマンはまず補助関数として次のような関数 &Pi;(''x'')<ref>リーマン自身は ''f''(''x'') と表している。</ref>を導入した。
{{Indent|<math>\Pi(x)=\sum_{k \geqq 1} \frac{1}{k} \pi (x^{\frac{1}{k}})</math>}}
''x'' &lt; 2 のとき &pi;(''x'') = 0（したがって &Pi;(''x'') も 0）なので実質有限和であることに注意する。この式に[[メビウス関数#メビウスの反転公式|メビウスの反転公式]]を用いると、
{{Indent|<math>\pi(x)=\sum_{m \geqq 1} \frac{\mu(m)}{m} \Pi(x^{\frac{1}{m}})=\sum_{m \leqq \log_2 x}\frac{\mu(m)}{m} \Pi(x^{\frac{1}{m}})</math>}}
を得る。ここに &mu;(''m'') は[[メビウス関数]]であり、2つの目の等式は上述の注意による。

リーマンは同論文でゼータ関数 &zeta;(''s'')<ref>実変数の場合はすでに[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]が考察していた。この記号はリーマンによる。</ref>を複素変数に拡張し、[[解析接続]]を行った上で次の等式、
{{Indent|<math>\frac{1}{s} \log \zeta(s)=\int_0^{\infty} \Pi(x) x^{-s-1}\,dx</math>}}
を示し、この式に[[メリン変換]]の反転公式を適用することで
{{Indent|<math>\Pi(x)={\rm li} (x) - \sum_{\rho} {\rm li} (x^{\rho}) - \log 2 + \int_{x}^{\infty} \frac{dt}{t(t^2-1)\log t} </math>}}
が成り立つことを示した。ただし、第2項の和は &rho; が &zeta;(''s'') の非自明な零点<ref>非自明な零点 &rho; に対しては　0 &lt; Re &rho; &lt; 1 が成り立つこと知られている。もっと強く Re &rho; = 1/2 が成り立つのではないか？という主張がリーマン予想である。</ref>（実軸上にない零点）全体をわたり、実軸に近い順番<ref>この和は[[総和#絶対収束・条件収束|条件収束]]であるため、順序は重要である。</ref>に足していく、つまり
{{Indent|<math>\sum_{\rho}=\lim_{T \to \infty} \sum_{|\Im \rho| \leqq T}</math>}}
と解釈するものとする。上記の式を併せると、リーマンの素数公式、
<blockquote style="padding: 1ex; border: 2px solid #808080; background: #ffffff">
{{Indent|<math>\pi(x)=\sum_{m \leqq \log_2 x} \frac{\mu (m)}{m} \left( {\rm li} (x^{\frac{1}{m}}) - \sum_{\rho} {\rm li} (x^{\frac{\rho}{m}}) - \log 2 + \int_{x^{\frac{1}{m}}}^{\infty} \frac{dt}{t(t^2-1)\log t} \right)</math>}}
</blockquote>
を得る。

この公式において li(''x'') の次に大きい数項は全て負の符号を持っているため、リーマンは論文中に「&pi;(''x'') &lt; li(''x'') が 常に成り立つというガウスの予想を支持する」と書いているが、この予想はのちに[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]による、&pi;(''x'') - li(''x'') は無限回符号を変える、という結果によって否定されることになる。

論文のタイトルにも現れているようにこの公式がリーマンの主たる目的であったため、同じ論文において述べられた[[リーマン予想]]に関しては「厳密な証明がほしいが、調べている直接の対象には必要がない」と述べるにとどまっている。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*ジョン・ダービーシャー『素数に憑かれた人たち～リーマン予想への挑戦～』[[松浦俊輔]]訳、日経BP社、2004年 ISBN 482228204X
*[[松本耕二]]『リーマンのゼータ関数』朝倉書店、2005年 ISBN 4254117310

== 関連項目 ==
*[[与えられた数より小さい素数の個数について]]
*[[素数定理]]
*[[リーマンゼータ関数|ゼータ関数]]
*[[リーマン予想]]
*[[明示公式|L-函数の明示公式]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=RiemannPrimeCountingFunction|title=Riemann Prime Counting Function}}

{{ウィキポータルリンク|数学}}
{{DEFAULTSORT:りいまんのそすうこうしき}}
[[Category:数論の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]