リーマンゼータ関数のソースを表示

{{No footnotes|date=2023年7月}}
{{Calculus}}
[[ファイル:Complex zeta.jpg|right|thumb|300px|複素数平面上のリーマンゼータ関数。点 {{math|''s''}} における色が {{math|''ζ''&thinsp;(''s'')}} の値を表しており、濃いほど {{math|0}} に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。{{math|''s'' {{=}} 1}} における白い点は[[極（複素解析）|極]]であり、実軸の負の部分および臨界線 {{math|Re ''s'' {{=}} 1/2}} 上の黒い点は[[零点]]である。]]
[[ファイル:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|right|thumb|300px|19世紀を代表する数学者、[[ベルンハルト・リーマン]]。]]

[[数学]]における'''リーマンゼータ関数'''（リーマンゼータかんすう、{{lang-en-short|Riemann zeta function}}、{{lang-de-short|Riemannsche zeta funktion}}、{{lang-zh-short|黎曼泽塔函数}}）は、18世紀に[[バーゼル問題]]を解決した[[レオンハルト・オイラー]]による（現在リーマンゼータ関数と呼ばれる）関数の特殊値に関する重要な発見から始まり、後世により重要な貢献をした[[ベルンハルト・リーマン]]が用いた [[ギリシャ文字|{{math|''ζ''}}]] による表記にちなみ、'''リーマンゼータ関数'''または'''リーマンのゼータ関数'''とも呼ばれる。リーマンゼータ関数は、数学の分野のひとつである[[解析的整数論]]において[[素数定理|素数分布]]の研究をはじめとした重要な研究対象であり、[[数論]]や力学系の研究をはじめ数学や物理学などの様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数の中でも、最も歴史的に古いものである。

リーマンゼータ関数は、{{math|''s''}} を[[複素数]]、{{math|''n''}} を[[自然数]]とするとき、

:<math> \zeta(s) := \sum^\infty_{n=1} \frac1{n^s} = 1 + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \frac1{4^s} + \cdots</math>

で定義される[[関数 (数学)|関数]] {{math|''ζ''}} のことをいう。上記の級数は {{math|''s''}} の[[実部]]が {{math|1}} より真に大きい[[複素数]]のとき，すなわち {{math|Re ''s'' > 1}} のときに収束する（なお {{math|''s'' {{=}} 1}} のとき[[調和級数]]となり発散する）が、[[解析接続]]によって {{math|''s'' {{=}} 1}} を一位の極とし、それ以外のすべての複素数において[[正則関数|正則]]な[[有理型関数]]となる。

[[整数論]]に対する[[リーマン予想]]とその応用の重要性が際立っているため、リーマンゼータ関数に関連するトピックは依然として数学研究の中心分野として残っている。特に、{{仮リンク|エルンスト・リンデレーフ|en|Ernst Leonard Lindelöf}}、[[ジャック・アダマール]]、{{仮リンク|チャーリー・ジャン|en|Charles Jean de la Vallée Poussin}}、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ゴットフレイ・ハーディ]]、[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|ジョン・リトルウッド]]、[[アトル・セルバーグ]]、{{仮リンク|セルゲイ・ヴォロニン|de|Sergei Michailowitsch Woronin}}、{{仮リンク|ブライアン・コーレイ|en|Brian Conrey}}などの数学者により、リーマンゼータ関数は決定的な進歩を遂げた。

== 解析接続 ==
{{節スタブ|date=2023年1月}}
=== ディリクレ級数とオイラー積 ===
ゼータ関数の重要な特徴は[[素数]]との関わりが深いことであり、この関係を最初に発見したオイラーにちなんで'''オイラー積'''と名付けられた。任意の自然数は、一意の素因数分解をもつ。このため {{math|''s'' > 1}} とし、

:<math>\prod_{p\text{:prime}}\sum_{n_p=0}^\infty \frac1{p^{s \cdot n_p}}=\biggl( 1 + \frac1{2^s} + \frac1{2^{2s}} + \cdots \biggr)\!\biggl( 1 + \frac1{3^s} + \frac1{3^{2s}} + \cdots \biggr)\!\biggl( 1 + \frac1{5^s} + \frac1{5^{2s}} + \cdots \biggr)\cdots</math>

を考え、右辺の括弧を展開すれば、右辺にはどのような自然数 {{math|''n''}} についても {{math|''n''{{sup|&minus;''s''}}}} が一度だけ現れる。このため次が成り立つ。

:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_{p\text{:prime}} \sum_{n_p=0}^\infty \frac1{p^{s \cdot n_p}} = \prod_{p\text{:prime}} \sum_{n_p=0}^\infty p^{-s \cdot n_p} = \prod_{p\text{:prime}} \frac1{1 - p^{-s}}</math>

ただし、無限積はすべての素数 {{math|''p''}} について取る。これが、リーマンゼータ関数のオイラー積表示である。これを拡張し、ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、一方右辺はそのオイラー積で、実部が {{math|1}} より大きい複素数 {{math|''s''}} に対して、関数 {{math|''f''&thinsp;(''n'')}} が乗法的関数（すなわち {{math|''f''&thinsp;(''mn'') {{=}} ''f''&thinsp;(''m'') ''f''&thinsp;(''n'')}} が成り立つ関数）であるのならば、

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s} = \prod_{p\text{:prime}} \frac{1}{1- f(p)\,p^{-s}}</math>

と表示される。

=== メリン変換 ===
ゼータ関数を解析接続するためには、オイラーが導入した[[ガンマ関数]] {{math|''Γ''&thinsp;(''s'')}} が必要となる。ガンマ関数 {{math|''Γ''&thinsp;(''s'')}} は、{{math|Re (''s'') > 0}} となる複素数の範囲で、

:<math> \varGamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} \, t^{s-1} \, {\rm d}t </math>

のように定義されており、ここにおいて {{math|''t'' {{=}} ''nx''}} と変数を変換し、積分変数を {{math|''x''}} と決定すれば、

:<math> \varGamma(s) =
\int_0^\infty n^{s} \, e^{-nx} \, x^{s-1} \, {\rm d}x </math>

から、

:<math>\frac{1}{n^s}=\frac{1}{\varGamma(s)}\int_0^{\infty}e^{-nx}\,x^{s-1}\,{\rm d}x</math>

となる。これをゼータ関数に代入したとき、被積分関数は[[コンパクト一様収束|広義一様]]に[[絶対収束]]するため項別に積分する（極限と積分を入れ替える）ことができて、

:<math>\zeta(s) = \frac1{\varGamma(s)} \int_0^\infty \! \frac{x^{s-1}}{e^x -1}\,{\rm d}x</math>

となる。これによって、リーマンゼータ関数 {{math|''&zeta;'' (''s'')}} が積分によって表示された。

=== 解析接続 ===
まず、ゼータ関数が {{math|Re ''s'' > 1}} のもとで絶対収束することを以下に証明する。
{{math proof|

ゼータ関数において変数を {{math|''s'' {{=}} ''a'' + ''bi''}} と定め、これらを実部と虚部に分解すれば、

:<math>n^{-s}=n^{-a} \, n^{-ib}=n^{-a} \, e^{-ib\log n}</math>

である。このために {{math|{{abs|''n''{{sup|&minus;''s''}}}} {{=}} ''n''{{sup|&minus;''a''}}}} である。特に {{math|''n'' &le; ''t'' &le; ''n'' + 1}} において {{math|''a'' > 1}} ならば、{{math|''n''{{sup|&minus;''a''}} > 0}} かつ {{math|''t''{{sup|&minus;''a''}} > 0}} であるから、

:<math> \begin{align}
& n^{-a} \ge t^{-a} \ge (n+1)^{-a} \\
& \Longleftrightarrow \int_n^{n+1} n^{-a} \, {\rm d}t \ge \int_n^{t=n+1} t^{-a} \, {\rm d}t \ge \int_n^{n+1}(n+1)^{-a} \, {\rm d}t \\
&\Longleftrightarrow n^{-a} \ge \int_n^{n+1} t^{-a} \, {\rm d}t \ge (n+1)^{-a} \end{align} </math>

ここで {{math|''n''}} について {{math|1}} から {{math|''N''}} までの和を取れば、右の不等式は、
:<math> \int_1^{N+1} t^{-a} \, {\rm d}t \ge -1^{-a} + \sum_{n=1}^{N+1} n^{-a} </math>

さらに、

:<math> \sum_{n=1}^{N+1} n^{-a} \le 1 + \frac1{a-1} </math>

であるから、左辺の級数は各項が正で上界を持つため  {{math|''N'' → ∞}} の極限で収束する。このためにゼータ関数は {{math|Re ''s'' > 1}} で[[絶対収束]]する。|drop=yes|title=ゼータ関数が {{math|Re ''s'' > 1}} で収束することの証明}}

前項でゼータ関数の積分表示を示した。すなわち、

:<math> \zeta(s) = \frac1{\varGamma(s)} \int_0^\infty \! \frac{x^{s-1}}{e^x -1} \, {\rm d}x </math>

である。この積分表示に対して、[[ベルヌーイ数]]の[[指数型母関数]]を {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} とおき、さらに、

:<math>g(s) = \int_0^1 \! \frac{x^{s-1}}{e^x -1} \, {\rm d}x + \int_1^\infty \! \frac{x^{s-1}}{e^x -1} \, {\rm d}x </math>

のように記述すれば、

:<math> g(s) = \int_0^{\infty} x^{s-2} \, f(x) \, {\rm d}x </math>
であり、{{math|''g''&thinsp;(''s'')}} は {{math|Re ''s'' > 1}} で収束する。これに部分積分を適用すると、
:<math> g(s) = \Biggl[\dfrac{x^{s-1}}{s-1} \, f(x) \Biggr]_0^\infty - \frac1{s-1} \int_0^\infty x^{s-1} \, f'(x) \, {\rm d}x </math>
が得られる。

== ゼータ関数の特殊値 ==
{{main|リーマンゼータ関数の特殊値}}
リーマンゼータ関数に整数を代入した際の値を'''リーマンゼータ値'''または単に'''ゼータ値'''という。任意の正の偶数 {{math|2''n''}} に対して、

:<math> \zeta (2n) = \frac{(-1)^{n+1} \, (2\pi)^{2n} \, B_{2n}}{2 \, (2n)!} </math>

と表すことができる。ここで、{{math|''B''{{sub|2''n''}}}} は {{math|2''n''}} 番目のベルヌーイ数である。

{{math proof|[[三角関数|余接関数]]の指数関数による定義から、

:<math> \pi z \cot \pi z = i\pi z \, \frac{e^{i\pi z} + e^{-i\pi z}}{e^{i\pi z} - e^{-i\pi z}} </math>

である。ただし、ここで {{math|''i''}} は[[虚数|虚数単位]]である。ここで右辺は、

:<math> i\pi z \, \frac{e^{i\pi z} + e^{-i\pi z}}{e^{i\pi z} - e^{-i\pi z}} = i\pi z + \frac{2i\pi z}{e^{2i\pi z} - 1} </math>

であり、ベルヌーイ数の定義から、

:<math> \pi z \cot \pi z = i\pi z + \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i\pi z)^n \, B_n}{n!} </math>

となるので、ベルヌーイ数の特殊値を利用し、

:<math>\pi z \cot \pi z = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(2i\pi z)^{2n} \, B_{2n}}{(2n)!} </math>

一方、[[三角関数|正弦関数]]の[[三角関数の無限乗積展開|無限乗積]]の[[対数]]は、

:<math> \log\sin\pi z = \log\pi z + \sum_{k=1}^\infty \log \! \biggl( 1-\frac{z^2}{k^2} \biggr) </math>

であり、両辺を[[微分法|微分]]して {{math|''z''}} を乗じると、

:<math> \pi z \cot \pi z = 1 - \sum_{k=1}^\infty \frac1{1-z^2\!/k^2}\frac{2z^2}{k^2} </math>

となるが、これを[[テイラー展開]]して整理すると、

:<math> \pi z \cot \pi z = 1 - 2\sum_{n=1}^\infty \zeta(2n) \, z^{2n} </math>

それぞれで導いた {{math|''&pi;z'' cot ''&pi;z''}} を比較して、

:<math> \zeta (2n) = \frac{(-1)^{n+1} \, (2\pi)^{2n} \, B_{2n}}{2 \, (2n)!} </math>

|drop=yes|title=偶数に対するリーマンゼータ値の証明}}

また {{math|''n'' &ge; 1}} のとき、
: <math>\zeta (-n)=\frac{(-1)^n\, B_{n+1}\, }{\, n+1\, }</math>
が成り立つ。

{{math proof|[[ヘルマン・ハンケル|ハンケル]]によるリーマンゼータ関数の積分表示：

:<math> \zeta(s) = -\frac{\varGamma(1-s)}{2\pi i} \oint_C \! \frac{(-z)^{s-1}}{e^z - 1} \, {\rm d}z  </math>

から始める。ただし、ここで {{mvar|s}} は自然数ではない複素数で、積分路 {{mvar|C}} は{{仮リンク|ハンケルの積分路|en|Hankel contour}}である。ここで {{mvar|n}} を自然数として {{math|''s'' {{=}} &minus; ''n''}} とすると、

:<math> \zeta(-n) = \frac{in!}{2\pi} \oint_C \!\frac1{(-z)^{n+2}} \frac{-z}{e^z - 1} \, {\rm d}z </math>

となる。[[留数定理]]に基づいてこの複素積分を実行すれば、

:<math> \zeta(-n) = -\frac{in!}{2\pi} \, 2\pi i \operatorname{Res}\!\biggl(\frac1{(-z)^{n+2}} \frac{-z}{e^z - 1} ,\, 0\biggr) </math>

となるのでベルヌーイ数の定義から，

:<math> \zeta(-n) = n! \, (-1)^n \operatorname{Res} \! \Biggl( \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{k}}{k!}\, z^{k-n-2} ,\, 0 \Biggr) </math>

ここで、右辺の留数は、

:<math> \operatorname{Res} \! \Biggl( \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k!} \, z^{k-n-2} ,\, 0 \Biggr) = \frac{B_{n+1}}{(n+1)!} </math>

であるから、

:<math> \zeta(-n) = \frac{(-1)^n \, B_{n+1}}{n+1} </math>

|drop=yes|title=非負整数に対するリーマンゼータ値の証明}}

しかるに複素数 {{math|''s''}} が負の偶数であれば {{math|''&zeta;''&thinsp;(''s'') {{=}} 0}} であり、これらをリーマンゼータ関数の '''自明な零点''' と呼ぶ。これらの表示はオイラーによる。具体的には、
<dl style="line-height: 70px;">
<dd><math>\zeta (0)=-\frac{1}{2}</math>
</dd><dd><math>\zeta (2)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over{n^2}}={\pi^2 \over 6} =1.6449\dots</math>（→[[バーゼル問題]]）
</dd><dd><math>\zeta (4)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over{n^4}}={\pi^4 \over 90} =1.0823\dots</math>
</dd><dd><math>\zeta (6)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over{n^6}}={\pi^6 \over 945} =1.0173\dots</math>
</dd><dd><math>\zeta (8)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over{n^8}}=\frac{\pi^8}{9450} =1.00407\dots</math>
</dd><dd><math>\zeta (10)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over{n^{10}}}=\frac{\pi^{10}}{93555} =1.000994\dots</math>
</dd><dd><math>\zeta (12)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over{n^{12}}}=\frac{691\pi^{12}}{638512875} =1.000246\dots</math>
</dd><dd><math>\zeta (14)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over{n^{14}}}=\frac{2\pi^{14}}{18243225} =1.0000612\dots</math>
</dd></dl>
が成り立つ。ここで、
: <math>\zeta (2n) = \eta_n \, \pi^{2n}</math>
とおくと、
<dl style="line-height: 70px;">
<dd><math>\eta_1 = \frac{1}{6}</math>
</dd><dd><math>\eta_n =\sum_{\ell=1}^{n-1} (-1)^{\ell-1} \, \frac{\eta_{n-\ell}}{(2\ell+1)!} +(-1)^{n+1} \, \frac{n}{(2n+1)!}</math>
</dd></dl>
が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。

<math>s</math><math>=2n+1,\{\,n\mid\,n\in\mathbb{Z}^+\}</math>、つまり、3以上の正の奇数の場合、積分表示をすれば次の通りである。尚、次の <math>B_{2n+1}(x)</math> は、[[ベルヌーイ多項式]]である。
: <math>\zeta (2n+1)=\dfrac{(-1)^{n+1}(2\pi)^{2n+1}}{2\cdot(2n+1)!}\, \int_{0}^{1}\dfrac{ B_{2n+1}(x)}{\tan(\pi x)}\,\mathrm{d} x</math>
また[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]などは彼が産み出した[[保型形式]]により次のような表示式を得ている。尚、<math>B_n</math>はベルヌーイ数である。
: <math>\zeta (4n-1)=\frac{(2\pi)^{4n-1}}{2} \sum^{2n}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{4n-2k}}{(4n-2k)!} -2 \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{-4n+1}}{e^{2\pi k}-1}</math>
: <math>\zeta (4n+1)=\frac{(2\pi)^{4n+1}}{2^{4n+1}-2} \sum^{2n+1}_{k=0} (-1)^{k+1} \, \frac{2^{2k}B_{2k}}{(2k)!} \, \frac{B_{4n+2-2k}}{(4n+2-2k)!} -\frac{2^{4n+1}}{2^{4n}-1} \sum^{\infin}_{k=1} \frac{k^{-4n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k}}</math>
小さい正の奇数については、
<dl style="line-height: 70px;">
<dd><math>\zeta(1)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over {n}} = \infty</math> （→[[調和級数]]）
</dd><dd><math>\zeta (3)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over {n^3}} = 1.20205\dots</math>（[[アペリーの定数]]）
</dd><dd><math>\zeta (5)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over {n^5}} = 1.03692\dots</math>
</dd><dd><math>\zeta (7)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over {n^7}} = 1.00834\dots</math>
</dd><dd><math>\zeta (9)=\sum^{\infin}_{n=1} {1\over {n^9}} = 1.002008\dots</math>
</dd></dl>
などが数値的に成り立っている。これらに関して、
<dl style="line-height: 70px;">
<dd><math>\zeta (3)=\frac{\pi^2}{7} \left\{ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) \, 2^{2k}} \right\}</math>
</dd><dd><math>\zeta (5)=\frac{1}{294}\,\pi^5 -\frac{72}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \, (e^{2\pi n} -1)}-\frac{2}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \, (e^{2\pi n} +1)}</math>
</dd><dd><math>\zeta (5)=\frac{1}{270}\,\pi^5 -\frac{32}{15} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \, \left(e^{\pi n} +(-1)^{n}\right)}</math>
</dd><dd><math>\zeta (5)=12\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \, \sinh \pi n} -\frac{39}{20} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \, (e^{2\pi n} -1)} -\frac{1}{20} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \, (e^{2\pi n} +1)}</math>
</dd><dd><math>\zeta (7)=\frac{19}{56700}\, \pi^7 -2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^7 \, (e^{2\pi n} -1)}</math>
</dd></dl>
という級数が知られている。[[アペリーの定理]]によると {{Math|''ζ''(3)}} は無理数である（1978年、ロジェ・アペリ）。また、{{Math|''ζ''(5)'', ζ''(7)'', ζ''(9)'', ζ''(11)}}のうち少なくとも1つは無理数であること<ref>{{cite journal|author=W. Zudilin|year=2001|title=One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational|journal=Russ. Math. Surv.|volume=56|issue=4|pages=774–776|doi=10.1070/RM2001v056n04ABEH000427}}</ref>、{{Math|''ζ''(2''n''+1)}}のうち無限個は無理数であることも証明されている<ref>{{cite journal|last1=Rivoal|first1=T.|year=2000|title=La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs|url=|journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique|volume=331|issue=|pages=267–270|arxiv=math/0008051|doi=10.1016/S0764-4442(00)01624-4}}</ref>。

また負の奇数に対しては[[代数的K理論]]のK群を用いた表示がRognes-Weibelにより得られている：kを1以上の整数とすると

: <math>\zeta (1-2k)=2\cdot (-1)^k\cdot \dfrac{|K_{4k-2}(\mathbb{Z})|}{|K_{4k-1}(\mathbb{Z})|}</math>

== 級数との関係 ==
[[File:ZetaSpiral.gif|thumb|300px|ゼータ関数と級数の関係の視覚化。 黄色線はk=1...50に対する<math>k^{-s}</math>を表し、これらの連結は級数を表す。赤の破線は<math>\frac{n^{-s+1}}{-s+1}+\zeta(s)</math>を表す。緑線はsの実数部を-0.5から1.5まで変化させたときの<math>\zeta(s)</math>の軌道を表す。オレンジの線は級数の軌道を表す。]]
[[File:ZetaSpiral2.gif|thumb|right|300px|ゼータ関数と級数の関係の視覚化。緑線はsの虚数部を0.01から10まで変化させたときの<math>\zeta(s)</math>の軌道を表す。]]

複素平面上で複素数はベクトルとして表され、和はベクトルの和で表される。このため級数

<math>\sum_{k=1}^{n}k^{-s}</math>  

は <math>k=1..n</math> に対する <math>k^{-s}</math> を連結したものとなる。この図形は<math>n</math>が大きくなると、<math>\zeta(s)</math>を中心とする螺旋に漸近する。実際に<math>n</math>が大きいとき以下の近似式が成り立つ。

<math>\sum_{k=1}^{n}k^{-s} \approx \frac{n^{-s+1}}{-s+1}+\zeta (s)</math>

このことは <math>\zeta(s)</math> が [[オイラー・マスケローニ定数]]の一般化とみなせることを示している。

<math>\mathrm{Re}(s)>1</math> のとき、<math>n</math>を変化させたときの <math>\frac{n^{-s+1}}{-s+1}</math> が描く軌跡は原点に収束する螺旋となり、<math>\mathrm{Re}(s)=1</math> のとき、原点を中心とする半径 <math>\frac{1}{\mathrm{Im}(s)}</math> の円、<math>\mathrm{Re}(s)<1</math> のとき、原点を中心として外に広がる螺旋となる。このために、級数は<math>\mathrm{Re}(s)>1</math>で<math>\zeta(s)</math>に収束し、それ以外の場合は「 <math>\zeta(s)</math> を中心として」発散する。

<math>s=1+i y</math> とし、<math>y</math> を 0 に近づけると、<math>\zeta (s)</math> の実数部は[[オイラー・マスケローニ定数]]に収束し、虚数部は<math>y</math>が正の方向から近づくとき<math>-\infty</math>、<math>y</math>が負の方向から近づくとき<math>\infty</math> となる。

== オイラー積 ==


ゼータ関数と[[素数]]との最初の関連はオイラーによって示された。リーマンゼータ関数は、全ての素数 {{Mvar|p}} に関する[[総乗|無限積]]である
: <math>\zeta (s)=\prod_{p:\text{prime}}\! \frac {1}{1-p^{-s}}</math>
という形で表すことができる。これを'''[[オイラー積]]'''あるいは'''オイラー表示'''という。この無限積が ''s''の[[複素数#定義|実部]]{{Math|Re(''s'') > 1}} のときゼータ関数に絶対収束していることは、[[幾何級数]]（等比級数）の公式
: <math>\frac{1}{1-p^{ -s}} =\sum_{n=0}^{\infty} (p^{-s})^n =1+p^{\! -s} +p^{\! -2s} +\cdots</math>
が絶対収束すること（特に有限和のように[[分配法則]]が成り立つこと）に注意して、十分に大きな素数 {{Mvar|p}} を固定し、それ以下の素数 {{Mvar|p}} をわたる有限積を作り、その<math>p \to \infty</math> とした極限を考えることで示すことができる。この部分有限積の展開について、自然数 {{Mvar|n}} の最大素因数が {{Mvar|p}} であれば、そこまでの有限積の中に {{Mvar|n}} が含まれるため、上のようなゼータ関数のオイラー積表示が成り立っている。{{節リンク|オイラー積|ゼータ関数に対するオイラー積}}も参照。

== オイラー積に基づく等式 ==
２つのゼータ関数値の関係を表す、次の等式がある。
: <math>\prod_{p:\text{prime}}\! \frac {p^s+1}{p^s-1}=\frac{\zeta (s)^2}{\zeta(2s)},\quad \{s\mid s\in\mathbb{R^+}\}</math>
この等式は、次の通りオイラー積に基づく単純な式変形により導かれる。
: <math>\prod_{p:\text{prime}}\! \frac {p^s+1}{p^s-1}=\prod_{p:\text{prime}}\! \frac {p^s+1}{p^s-1}\frac {p^s-1}{p^s-1}
=\prod_{p:\text{prime}}\! \frac {1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^2}=\frac{\zeta (s)^2}{\zeta(2s)}</math>．
この等式の発見者について、[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]は包括的なオイラー積の生みの親であるが、[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]は{{Math|1=s = 2}}の場合を発見していたとされる。

{{Math|1=s = 2}}の場合、等式は次の通りである。
: <math>\prod_{p:\text{prime}}\! \frac {p^2+1}{p^2-1}=\frac{\zeta (2)^2}{\zeta(4)}
=\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2/\left(\frac{\pi^4}{90}\right)=\frac{5}{2}</math>．
{{Math|s}} が正の偶数の場合、ゼータ関数の特殊値より、この等式の値は、[[ベルヌーイ数]]と整数階乗のみの計算となるため、結果的に有理数となる。

== ゼータ関数の表示と関数等式 ==
ゼータ関数は次のような表示も持つ：
: <math>\zeta(s)=\exp\!\left(\frac{\gamma +\log \pi}{2}\,s-\log 2\right) \frac{1}{s-1}\, \prod_{\rho}\left(1-\frac{s}{\rho}\right)\, \prod^{\infin}_{n=1} \left(1+ \frac{s}{2n}\right)e^{\!-{s/2n}}</math>
ここで  {{Mvar|ρ}} に関する積はリーマン・ゼータ関数の複素零点全体をわたるものとする。この式から、
: <math>\zeta(s)-\frac{1}{s-1}</math>
は[[整関数]]であることが分かる。実際
: <math>\zeta (s)-\frac{1}{s-1} =\gamma -\gamma_1 (s-1)+\gamma_2 (s-1)^2 -\dots</math>
ここで  {{Mvar|γ}} は[[オイラーの定数]]、{{Math|''γ{{sub|i}}''}} は[[スティルチェス定数]]と呼ばれているものである。オイラーは1749年に
: <math>\zeta (s)(1-{2^{\,1-s} })= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}</math>
という式を推測している。

またゼータ関数は、[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]の1859年の論文『[[与えられた数より小さい素数の個数について]]』の中で
: <math>\zeta (s)=2^s\, \pi^{s-1} \, \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right)\, \Gamma(1-s)\, \zeta (1-s)</math>
という関数等式を持つことが示された。ここで {{Math|Γ}} は[[ガンマ関数]]である。これは複素解析的関数の[[解析接続]]が初めて明示的に行われた例である。

{{Math|1=''s'' = &minus;2''n''}} （{{Mvar|n}} は正の整数）を代入すると
: <math>\zeta (-2n) = 2^{-2n}\, \pi ^{\! -2n-1} \sin(-n\pi) \, \Gamma \! (1 + 2n) \zeta(1 + 2n)</math>
:{{Math|1=sin (&minus;''nπ'') = 0}} であり他の因子は有限値なので {{Math|1=''ζ''(&minus;2''n'') = 0}} である。したがって {{Math|&minus;2''n''}} はゼータ関数の零点である。

次のように修正されたゼータ関数（これは実質的にリーマンによって導入され、完備化されたゼータ関数と呼ばれる）

: <math>\xi (s)=\pi^{\!-s/2} \,\, \Gamma \! \left( \frac{s}{2} \right)\, \zeta (s)</math>

は {{Mvar|s}} と {{Math|1 &minus; ''s''}} に関する以下のような対称的な関数等式を持つ：

: <math> \xi (s)= \xi (1-s) </math>

（[[リーマンのクシー関数]]も参照。）

また、次のような重積分でも表記できる。

<math> \zeta (n)=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{1}{1-x_1x_2x_3\cdots x_n}dx_1dx_2dx_3\cdots dx_n </math>


<math> \zeta(n)=\frac{1}{1-2^{1-n}}\int_0^1\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{1}{1+x_1x_2x_3\cdots x_n}dx_1dx_2dx_3\cdots dx_n </math>



https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12796956450.html　参照

== 関数等式の導出 ==

関数等式は以下のようにして求まる。[[ガンマ関数]]の定義と変数の置き換えにより

:<math>\int_0^\infty x^{s\over2}e^{-n^2\pi x}\, \frac{dx}{x} = {\Gamma \left({s\over2}\right)\over{n^s\pi^{s\over2}}}.</math>

<math>\mathrm{Re}(s) > 1</math>であるならば、以下の式の和と積分を入れ替えることができる。

:<math> \frac{\Gamma\left(\frac s 2\right)\zeta(s)}{\pi^{s/2}} = \sum_{n=1}^\infty \int\limits_0^\infty x^{s\over 2} e^{-n^2 \pi x}\, \frac{dx}{x} = \int_0^\infty x^{s\over 2} \sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 \pi x}\, \frac{dx}{x}.</math>  

ここで  <math>\psi(x) := \sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 \pi x}</math>  とおくと 

<math>\zeta(s) = {\pi^{s\over2}\over\Gamma({s \over 2})} \int\limits_0^\infty x^{\frac{s}{2}} \psi(x)\, \frac{dx}{x}</math>  

となる。ここで <math>f(x) = e^{-\pi x^2} </math> とおくと、<math>f(x) </math> はフーリエ変換に対し不変である。 <math>\hat{f}(y) = e^{-\pi y^2} </math>  

また、フーリエ変換の定数倍の公式より、<math>g(x) = f(a x) </math> のフーリエ変換は  <math>\hat{g}(x) = \frac{1}{|a|} f\left(\frac{x}{a}\right) </math> である。 

よって[[ポアソン和公式]]から以下が成り立つ。

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty {e^{-n^2 \pi x}} = {1 \over \sqrt x}\sum_{n=-\infty}^\infty {e^{-n^2 \pi \over x}}</math>

よって

:<math>2 \psi(x)+1 = {1\over \sqrt x} \left\{2\psi \left ( {1 \over x} \right )+1\right\}</math>  

である。よって

:<math>\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s) = \int_0^1 x^{s\over 2} \psi(x) \, \frac{dx}{x} + \int_1^\infty x^{s\over 2}\psi(x) \, \frac{dx}{x}</math>  

は以下の式と等しい。

:<math>\int\limits_0^1 x^{s\over 2} \left\{ {1\over \sqrt x} \psi \left ( {1 \over x} \right ) + {1\over 2 \sqrt x} - {1 \over 2} \right\} \, \frac{dx}{x} + \int\limits_1^\infty x^{s\over 2} \psi(x) \, \frac{dx}{x}</math>  

つまり

:<math>
{1 \over {s-1}} - {1\over s} + \int\limits_0^1 x^{{s-1}\over 2} \psi \left ( {1 \over x} \right ) \, \frac{dx}{x} + \int\limits_1^\infty x^{{s}\over 2} \psi(x) \, \frac{dx}{x}</math>

よって

:<math>
\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s)=-{1 \over {s({1-s})}} + \int\limits_1^\infty \left ({x^{{{1-s}\over 2}} + x^{{s}\over 2}} \right ) \psi(x) \, \frac{dx}{x}
</math>  

この式はすべての<math>s</math>について収束する。また、右辺は<math>s</math>を<math>1-s</math>に変えても変化しないことから以下の等式が成り立つ。

:<math>\pi^{-{s \over 2}} \Gamma \left ( {s \over 2} \right ) \zeta (s) = \pi^{-\frac{1-s}{2}} \Gamma \left ( \frac{1-s}{2} \right ) \zeta (1-s)</math>

[[ガンマ関数#乗法公式|ガンマ関数の乗法公式]]および[[ガンマ関数#相反公式|相反公式]]より

:<math>\frac{\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)} = \frac{\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right) \Gamma\left(1-\frac{s}{2}\right) }{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \Gamma\left(1-\frac{s}{2}\right)} = 2^s \pi^{\frac{1}{2}} \Gamma(1-s) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)}{\pi} = 2^s \pi^{-\frac{1}{2}} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) </math>

よって

:<math>\zeta (s)=2^s\, \pi^{s-1} \, \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right)\, \Gamma(1-s)\, \zeta (1-s)</math>

== ゼータ関数と数論的関数 ==
ゼータ関数を適当に組み合わせることにより、様々な数論的関数を係数とする[[ディリクレ級数]]の母関数を得ることができる。

たとえば、ゼータ関数の[[逆数]]は[[メビウス関数]] {{Math|''μ''(''n'')}} を用いて
: <math>\frac{1}{\zeta (s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu (n)}{n^s}</math>
と表せる。この式と {{Math|[[バーゼル問題|''ζ''(2)]]}} の値から、分布が[[一様分布|一様]]であるという仮定の下、任意に取り出した2つの整数が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である[[確率]]は <math>\frac{6}{\pi^2}</math> であることが証明できる。

自然数 {{Mvar|n}} の（正の）[[約数]]の個数と全ての約数の和は、どちらも[[約数関数]]として定義され、それぞれ、{{Math|''d''(''n'')}}、 {{Math|''σ''(''n'')}} で表すことができる。このとき、
{{Indent|<math>
{\zeta (s)}^2 =\sum_{n=1}^\infin \frac{d(n)}{n^s}
</math><br />
<math>
{\zeta (s)}\,{\zeta (s-1)} =\sum_{n=1}^\infin \frac{\sigma (n)}{n^s}
</math>}}
が成り立ち、また、{{Mvar|n}} と互いに素な {{Mvar|n}} 以下の自然数の個数を
[[オイラーのφ関数]] {{Math|''φ''(''n'')}} で表すとき、
: <math>\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)} =\sum_{n=1}^\infin \frac{\varphi (n)}{n^s}</math>
なども成り立つ。

== ゼータ関数と素数計数関数 ==
以下に素数分布、すなわち[[素数計数関数]] {{Math|π(''x'')}} とゼータ関数との関係を述べる。

まずゼータ関数のオイラー積表示の両辺において対数をとり、[[テイラー展開]]で和の中の対数を展開する：
: <math>\log \zeta (s)=\log \prod_p \frac{1}{1-p^{\!-s}} =\sum_p \log \frac{1}{1-p^{-s}}
= \sum_p \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{np^{\,ns}} =\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n} \,\sum_p \frac{1}{p^{\,ns}}</math>
ここで各 {{Math|''n'' ≥ 1}} について
: <math>\frac{1}{p^{\,ns}} =s\!\int^{\infin}_{p^n} \!\!x^{\!-s-1} \,dx</math>
と変形して、先の式に代入すると
{{Indent|<math>\log \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infin\! \frac{1}{n}\, \sum_p \frac{1}{p^{\,ns}} =s\!\sum_{n=1}^\infin \!\frac{1}{n}\, \sum_p \!\int^\infin_{p^n} \!\! x^{\!-s-1} \,dx
= s\!\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n} \,\int^\infin_1 \!\! \pi (x^{1/n} ) \,x^{\!-s-1} \,\mathrm dx</math>}}
通常
: <math>\Pi (x)=\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n}\, \pi (x^{1/n})</math>
と置いて、最終的に上式は次のように書かれる。
: <math>\frac{\log \zeta (s)}{s} =\int^\infin_1\!\! \Pi (x)\,x^{\!-s-1}\, \mathrm dx</math>
この公式に、[[メリン変換]]などと呼ばれる積分の反転公式を使うと、{{Math|π(''x'')}} を表示する公式を求めることができる。この公式は、[[リーマンの素数公式]]、あるいは[[明示公式]] ({{Lang|en|explicit formula}}) などと呼ばれている。なおメビウスの反転公式によって {{Math|π(''x'')}} は
{{Indent|<math>
\pi (x)=\sum_{n=1}^\infin \frac{\mu (n)}{n}\, \Pi (x^{1/n})
</math>}}
と書けることを注意しておこう。

ゼータ関数の零点の分布に関する[[数学上の未解決問題|未解決問題]]である[[リーマン予想]]は、素数公式の近似精度に関連している。この予想は純粋数学における最も重要な未解決問題であると考える数学者は多い。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|author=本橋洋一 |title=解析的整数論 |series=朝倉数学大系 ; 1 |issue=1 (素数分布論) |publisher=朝倉書店 |year=2009 |id={{国立国会図書館書誌ID|000010611029}} |url=https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000010611029 |ISBN=978-4-254-11821-6}}
* Motohashi, Yoichi, "Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function". Cambridge University Press, 1997. ISBN 9780521445207
* Harold M. Edwards, ''Riemann's Zeta Function'', Dover Publications, 2001. ISBN 0486417409
* E. C. Titchmarsh, ''The Theory of the Riemann Zeta-Function'', Oxford University Press: USA, 2nd ed. (rev. by D. R. Heath-Brown), 1987. ISBN 0198533691
* 日本数学会 『岩波数学辞典（第3版）』 岩波書店、1985年。ISBN 4000800167
* 本橋洋一：「リーマンゼータ函数と保型波動」、共立出版（共立講座 21世紀の数学 21）、ISBN 4-320-01573-8 (1999年1月25日).
* [[松本耕二]] 『リーマンのゼータ関数』 朝倉書店、2005年。ISBN 4254117310
* [[小山信也]] 『素数とゼータ関数』 共立出版、ISBN 978-4-320-11200-1 (2015年10月25日)
* 黒川信重、小山信也：「ゼータへの招待」、日本評論社、ISBN 978-4-535-60351-6 (2018年2月25日).

== 関連項目 ==
* 他のゼータ関数
** [[デデキントゼータ関数]]
** [[セルバーグゼータ函数|セルバーグゼータ関数]]
** [[リーマンのクシー関数]]
** [[フルヴィッツのゼータ函数|フルヴィッツゼータ関数]]
** [[ハーディゼータ関数]]
* [[合同ゼータ関数]]
* [[ゼータ関数正規化]]
* 多重ゼータ関数
* [[レオンハルト・オイラー]] - 元々は「オイラー・ゼータ関数」であった。
* [[素数]] - 素数分布と関係がある
** [[素数定理]]
* [[解析的整数論]]
* [[ディリクレのL関数]]
* [[リーマン予想]]
* [[メビウス関数]]
* [[フェルマーの最終定理]]{{要説明|date=2022年3月|title=リーマンゼータ関数との関係性を説明してほしい}}
* [[アペリーの定理]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=RiemannZetaFunction|title=Riemann Zeta Function}}
* {{MathWorld|urlname=ZetaFunction|title=Zeta Function}}
* [http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?id=system/2006/1161228679 ゼータ関数の計算]
* [https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I027831606 月刊ゼータ：リーマンゼータ関数の非自明なゼロ点の虚数値] ISSN 2432-7050
* [https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I028716201 リーマンゼータ関数の最初の非自明なゼロ点1000000桁表] ISBN 978-4-87310-112-5
*新しい関数の定義「ゼータワン関数」（ゼータdenominator-α関数）　https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12251869172.html

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:りいまんせえたかんすう}}
[[Category:有理型関数]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:ベルンハルト・リーマン|せえたかんすう]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学のエポニム]]