リーマン多様体のソースを表示

[[微分幾何学]]における'''リーマン多様体'''（リーマンたようたい、{{lang-en-short|Riemannian manifold}}）とは、[[可微分多様体]]のうちその各点に基本計量テンソル {{mvar|g}} が与えられるものを言う。[[ベルンハルト・リーマン]]によって導入された。

== はじめに ==
リーマン多様体の考え方は1828年に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が証明した『[[Theorema Egregium]]』までさかのぼる。この定理は曲面の曲率(厳密には[[ガウス曲率]])が、曲面が三次元空間にどのように埋め込まれるかに依存せず、単に角度や長さを定める計量テンソルにのみ依存するというものである。ガウスの弟子であったリーマンはガウスの定理を多様体と呼ばれる高次元空間に拡張した。この応用として、[[アルベルト・アインシュタイン]]が[[相対性理論]]においてリーマン多様体の考え方を利用している。

リーマン距離とは多様体上の各点に与えられた計量テンソルにより、点と点を結ぶ距離を多様化したものである。リーマン距離を用いると、角度や曲線の長さなどの幾何的性質が多様体上で定義可能である。

== 概要 ==
滑らかな多様体M上の接束(接ベクトル空間の非交叉和集合)の元は多様体の各点に接ベクトル空間を対応させるような対応だと考えられる。おのおのの接ベクトル空間には[[内積]]が定義可能である。接束上の内積の集まりを滑らかに多様化すると、接ベクトル空間上で個々の点においてのみ定義されていた内積を多様体上の有限領域のおける類似表現に拡張することができる。例えば滑らかな曲線α(''t''): [0, 1] → ''M''が接ベクトル空間T''M''(α(''t''<sub>0</sub>))上の接ベクトルα&prime;(''t''<sub>0</sub>) (''t''<sub>0</sub> ∈ (0, 1))を持つとする。このとき、各々の接ベクトルにおいて自分自身との内積によってノルム‖α&prime;(''t''<sub>0</sub>)‖が定義できるとするならば、曲線αの長さL(α)は次のように表される。

:<math>L(\alpha) = \int_0^1{\|\alpha'(t)\|\, \mathrm{d}t}.</math>

この式においてα(''t'')の[0, 1]上での連続性から''L''(α)がこの曲線の長さとして表される。多くの場合において、[[線形代数]]的な考え方を微分幾何に応用する場合、この滑らかさという考え方は非常に重要である。

'''R'''<sup>''n''</sup>上の部分多様体がリーマン計量''g''を持つ場合、''g''は各々の接ベクトル空間における'''R'''<sup>''n''</sup>上の内積から制限される。実際、[[ナッシュ埋め込み定理|ナッシュの埋め込み定理]]に従えば、全てのリーマン多様体は、このように'''R'''<sup>''n''</sup>上の内積を何らかの方法で多様体上に写すことで実される。ある滑らかな部分多様体上で、'''R'''<sup>''n''</sup>からの内積で距離が定義されるとすると、多様体上に等距離性が自然に導入される。この定義は理論的に不十分なところもあるが、リーマン幾何学を幾何学的な直感に基づいて理解しようとする場合には非常に役立つものである。

=== 距離空間としてのリーマン多様体 ===
リーマン多様体は[[距離空間]]と見ることができる。連続かつ微分可能な曲線γ: [''a'', ''b''] → ''M'' がリーマン多様体 ''M'' 上で与えられるとき、この曲線の長さ ''L''(γ) は次のように表される。

:<math>L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\, \mathrm{d}t.</math>

この定義において、全ての連結リーマン多様体 ''M'' は距離空間となり、点''x''および点''y''との距離 ''d''&thinsp;(''x'', ''y'') は

:''d''&thinsp;(''x'',''y'') = [[順序集合|inf]] { ''L''(&gamma;) : &gamma; は ''x'' と ''y'' を結ぶ連続的に微分可能な曲線 }

と与えられる。リーマン多様体上では、異なる2点 ''x'' と ''y'' を結ぶ線は多くの場合「[[曲線]]」であるわけだが、局所的に見て、最短距離で点と点を結んでいるという点においては「[[直線]]」であると考えることもできる。多様体が[[コンパクト_(数学)|コンパクト]]であるという前提をおくと、任意の2点 ''x'' および ''y'' について長さ ''d''&thinsp;(''x'', ''y'') の接続を考えることができる。もしコンパクト性がない場合には、最短距離が決まらない可能性があり、これは真ではない。

なお、リーマン計量 ''g'' が正定値の場合には、これにより定まる内積が距離を与えることは明らかである。''g'' が正定値ではないが非退化 (行列でいうところの正則行列) であるならば、この計量を[[擬リーマン多様体|擬リーマン]]計量とよぶ。この擬リーマン計量は相対性理論において用いられるミンコフスキー空間をなすための重要な考え方である。

=== 性質 ===
リーマン多様体において、測地的なコンパクト性や[[トポロジー]]のコンパクト性、距離のコンパクト性というのは同義であり、Hopf-Rinowの定理を示唆するものである。

== リーマン計量 ==
{{main|計量テンソル}}
''M'' を ''n'' 次元可微分多様体とする。''M'' 上のリーマン計量とは次のような（正定値）内積
:<math>g_p \colon T_pM\times T_pM\longrightarrow \mathbf R,\qquad p\in M</math>

の族である。''M'' 上のすべての可微分ベクトル場 ''X'', ''Y'' に対して、
:<math> p\mapsto g_p(X(p), Y(p))</math>

は滑らかな関数 ''M''&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R''' を定義する。

言い換えると、リーマン計量 ''g'' は正定値（すなわちすべての接ベクトル ''X'' ≠ 0 に対して ''g''(''X'', ''X'') > 0 である）対称 (0,&nbsp;2)-テンソルである。

''n'' 個の実数値関数 ''x''<sup>1</sup>,''x''<sup>2</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup> によって与えられる、多様体 ''M'' 上の{{仮リンク|局所座標|en|local coordinates}}系において、ベクトル場
:<math>\left\{\frac{\partial}{\partial x^1},\dotsc, \frac{\partial}{\partial x^n}\right\}</math>

は ''M'' の各点において[[接空間|接ベクトル]]の[[ハメル基底|基底]]を与える。この座標系に関して、計量テンソルの成分は、各点 ''p'' において、
:<math>g_{ij}(p):=g_p\Biggl(\left(\frac{\partial }{\partial x^i}\right)_p,\left(\frac{\partial }{\partial x^j}\right)_p\Biggr).</math>

同じことだが、[[計量テンソル]]は余接束の[[双対基底]] {d''x''<sup>1</sup>, …, d''x''<sup>''n''</sup>} のことばで次のように書くことができる。
:<math> g=\sum_{i,j}g_{ij}\mathrm d x^i\otimes \mathrm d x^j.</math>

この計量が与えられた多様体 (''M'', ''g'') が'''リーマン多様体''' (Riemannian manifold) である。

=== 例 ===
* <math>\frac{\partial }{\partial x^i}</math> を ''e<sub>i</sub>'' = (0, …, 1, …, 0) と同一視すると、[[開集合]] ''U'' ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup> 上の標準計量が、

::<math>g^{\mathrm{can}}_p \colon T_pU\times T_pU\longrightarrow \mathbf R,\qquad \left(\sum_ia_i\frac{\partial}{\partial x^i},\sum_jb_j\frac{\partial}{\partial x^j}\right)\longmapsto \sum_i a_ib_i</math>

:で定義される。すると、''g'' はリーマン計量で、
::<math>g^{\mathrm{can}}_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}</math>

:である。この計量を持った '''R'''<sup>''n''</sup> は次元 ''n'' の'''[[ユークリッド空間]]'''と呼ばれ、''g''<sub>ij</sub><sup>can</sup> は（標準）'''[[ユークリッド計量]]'''と呼ばれる。
* (''M'', ''g'') をリーマン多様体、''N'' ⊂ ''M'' を ''M'' の[[部分多様体]]とすると、''g'' の ''N'' に接するベクトルへの[[制限 (数学)|制限]]は、''N'' 上のリーマン計量を定義する。
* より一般的に、''f'': ''M''<sup>''n''</sup>&rarr;''N''<sup>''n''+''k''</sup> を[[はめ込み]](immersion)とする。''N'' がリーマン計量を持っていれば、''f'' は{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|pullback (differential geometry)}}(pullback)を通して、''M'' 上のリーマン計量を誘導する。

::<math>g^M_p \colon T_pM\times T_pM\longrightarrow \mathbf R,</math>
::<math>(u,v)\longmapsto g^M_p(u,v):=g^N_{f(p)}(T_pf(u), T_pf(v)).</math>

:すると、これは計量である。正定値性は、はめ込みの微分の単射性から従う。
* (''M'', ''g''<sup>''M''</sup>) をリーマン多様体、''h'':''M''<sup>''n''+''k''</sup>&rarr;''N''<sup>''k''</sup> を微分可能写像、''q''&isin;''N'' を ''h'' の[[正則値]]（[[微分写像|微分]] ''dh''(''p'') がすべての ''p''&isin;''h''<sup>&minus;1</sup>(''q'') に対して全射）とする。すると、''h''<sup>&minus;1</sup>(''q'')&sub;''M'' は ''M'' の ''n'' 次元部分多様体である。したがって、''h''<sup>&minus;1</sup>(''q'') は包含から引き起こされるリーマン計量を持っている。
<!--
* In particular, consider the following map :
::<math>h\colon \mathbf R^n\longrightarrow \mathbf R,\qquad (x^1, \dotsc, x^n)\longmapsto \sum_{i=1}^n(x^i)^2-1.</math>

:Then, ''0'' is a regular value of ''h'' and 
::<math>h^{-1}(0)= \left \{x\in\mathbf R^n\vert \sum_{i=1}^n(x^i)^2=1 \right \}= \mathbf{S}^{n-1}</math>

:is the unit sphere '''S'''<sup>''n'' &minus; 1</sup> ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup>. The metric induced from '''R'''<sup>''n''</sup> on '''S'''<sup>''n'' &minus; 1</sup> is called the '''canonical metric''' of '''S'''<sup>''n'' &minus; 1</sup>.
* Let ''M''<sub>1</sub> and ''M''<sub>2</sub> be two Riemannian manifolds and consider the cartesian product ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> with the product structure. Furthermore, let π<sub>1</sub>: ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> → ''M''<sub>1</sub> and π<sub>2</sub>: ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> → ''M''<sub>2</sub> be the natural projections. For (''p,q'') ∈ ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub>, a Riemannian metric on ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> can be introduced as follows :

::<math>g^{M_1\times M_2}_{(p,q)}\colon T_{(p,q)}(M_1\times M_2)\times T_{(p,q)}(M_1\times M_2) \longrightarrow \mathbf R,</math>
::<math>(u,v)\longmapsto g^{M_1}_p(T_{(p,q)}\pi_1(u), T_{(p,q)}\pi_1(v))+g^{M_2}_q(T_{(p,q)}\pi_2(u), T_{(p,q)}\pi_2(v)).</math>

:The identification
::<math>T_{(p,q)}(M_1\times M_2) \cong T_pM_1\oplus T_qM_2</math>

:allows us to conclude that this defines a metric on the product space.

:The torus '''S'''<sup>1</sup> × … × '''S'''<sup>1</sup> = '''T'''<sup>''n''</sup> possesses for example a Riemannian structure obtained by choosing the induced Riemannian metric from '''R'''<sup>2</sup> on the circle '''S'''<sup>1</sup> ⊂ '''R'''<sup>2</sup> and then taking the product metric. The torus '''T'''<sup>''n''</sup> endowed with this metric is called the [[flat torus]].
* Let ''g''<sub>0</sub>, ''g''<sub>1</sub> be two metrics on ''M''. Then,
::<math>\tilde g:=\lambda g_0 + (1-\lambda)g_1,\qquad \lambda\in [0,1],</math>

:is also a metric on ''M''.
=== Examples ===
* With <math>\frac{\partial }{\partial x^i}</math> identified with ''e<sub>i</sub>'' = (0, …, 1, …, 0), the standard metric over an [[open set|open subset]] ''U'' ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup> is defined by

::<math>g^{\mathrm{can}}_p \colon T_pU\times T_pU\longrightarrow \mathbf R,\qquad \left(\sum_ia_i\frac{\partial}{\partial x^i},\sum_jb_j\frac{\partial}{\partial x^j}\right)\longmapsto \sum_i a_ib_i.</math>

:Then ''g'' is a Riemannian metric, and
::<math>g^{\mathrm{can}}_{ij}=\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}.</math>

:Equipped with this metric, '''R'''<sup>''n''</sup> is called '''[[Euclidean space]]''' of dimension ''n'' and ''g''<sub>ij</sub><sup>can</sup> is called the (canonical) '''[[Euclidean metric]]'''.
* Let (''M'',''g'') be a Riemannian manifold and ''N'' ⊂ ''M'' be a [[submanifold]] of ''M''. Then the [[Restriction (mathematics)|restriction]] of ''g'' to vectors tangent along ''N'' defines a Riemannian metric over ''N''.
* More generally, let ''f'': ''M''<sup>''n''</sup>&rarr;''N''<sup>''n''+''k''</sup> be an [[immersion (mathematics)|immersion]]. Then, if ''N'' has a Riemannian metric, ''f'' induces a Riemannian metric on ''M'' via [[pullback (differential geometry)|pullback]]:

::<math>g^M_p \colon T_pM\times T_pM\longrightarrow \mathbf R,</math>
::<math>(u,v)\longmapsto g^M_p(u,v):=g^N_{f(p)}(T_pf(u), T_pf(v)).</math>

:This is then a metric; the positive definiteness follows on the injectivity of the differential of an immersion.
* Let (''M'', ''g''<sup>''M''</sup>) be a Riemannian manifold, ''h'':''M''<sup>''n''+''k''</sup>&rarr;''N''<sup>''k''</sup> be a differentiable map and ''q''&isin;''N'' be a [[regular value]] of ''h'' (the [[pushforward (differential)|differential]] ''dh''(''p'') is surjective for all ''p''&isin;''h''<sup>&minus;1</sup>(''q'')). Then ''h''<sup>&minus;1</sup>(''q'')&sub;''M'' is a submanifold of ''M'' of dimension ''n''. Thus ''h''<sup>&minus;1</sup>(''q'') carries the Riemannian metric induced by inclusion.

* In particular, consider the following map :
::<math>h\colon \mathbf R^n\longrightarrow \mathbf R,\qquad (x^1, \dotsc, x^n)\longmapsto \sum_{i=1}^n(x^i)^2-1.</math>

:Then, ''0'' is a regular value of ''h'' and 
::<math>h^{-1}(0)= \left \{x\in\mathbf R^n\vert \sum_{i=1}^n(x^i)^2=1 \right \}= \mathbf{S}^{n-1}</math>

:is the unit sphere '''S'''<sup>''n'' &minus; 1</sup> ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup>. The metric induced from '''R'''<sup>''n''</sup> on '''S'''<sup>''n'' &minus; 1</sup> is called the '''canonical metric''' of '''S'''<sup>''n'' &minus; 1</sup>.
* Let ''M''<sub>1</sub> and ''M''<sub>2</sub> be two Riemannian manifolds and consider the cartesian product ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> with the product structure. Furthermore, let π<sub>1</sub>: ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> → ''M''<sub>1</sub> and π<sub>2</sub>: ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> → ''M''<sub>2</sub> be the natural projections. For (''p,q'') ∈ ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub>, a Riemannian metric on ''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> can be introduced as follows :

::<math>g^{M_1\times M_2}_{(p,q)}\colon T_{(p,q)}(M_1\times M_2)\times T_{(p,q)}(M_1\times M_2) \longrightarrow \mathbf R,</math>
::<math>(u,v)\longmapsto g^{M_1}_p(T_{(p,q)}\pi_1(u), T_{(p,q)}\pi_1(v))+g^{M_2}_q(T_{(p,q)}\pi_2(u), T_{(p,q)}\pi_2(v)).</math>

:The identification
::<math>T_{(p,q)}(M_1\times M_2) \cong T_pM_1\oplus T_qM_2</math>

:allows us to conclude that this defines a metric on the product space.

:The torus '''S'''<sup>1</sup> × … × '''S'''<sup>1</sup> = '''T'''<sup>''n''</sup> possesses for example a Riemannian structure obtained by choosing the induced Riemannian metric from '''R'''<sup>2</sup> on the circle '''S'''<sup>1</sup> ⊂ '''R'''<sup>2</sup> and then taking the product metric. The torus '''T'''<sup>''n''</sup> endowed with this metric is called the [[flat torus]].
* Let ''g''<sub>0</sub>, ''g''<sub>1</sub> be two metrics on ''M''. Then,
::<math>\tilde g:=\lambda g_0 + (1-\lambda)g_1,\qquad \lambda\in [0,1],</math>

:is also a metric on ''M''.-->
<!--
== 脚注 ==
<references />-->

== 関連項目 ==
* [[多様体]]
* [[接ベクトル空間]]
* [[距離空間]]
* [[リーマン幾何学]]
* [[部分リーマン多様体の接続と曲率]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* {{Citation | last1=Jost | first1=Jürgen | title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=5th | isbn=978-3540773405 | year=2008}}
* {{Citation | last1=do Carmo | first1=Manfredo | title=Riemannian geometry | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | isbn=978-0-8176-3490-2 | year=1992}} {{ASIN|0817634908|fr}}
（英語版「[[:en:Riemannian Manifold|英:Riemannian Manifold]]」より引用）
* {{cite book |和書| author=リーマン,リッチ,レビ=チビタ,アインシュタイン,マイヤー | title=リーマン幾何とその応用 | editor=矢野健太郎（訳） | year=1971 | publisher=共立出版 | ref=矢野(1971) }}
* {{cite book | 和書 | author=矢野 健太郎 | title=微分幾何学 | publisher=朝倉書店 | year=1949 | ref=矢野(1949) }}
* {{cite book | 和書 | author=矢野 健太郎 | title=接続の幾何学 | publisher=河出書房 | year=1948 | ref=矢野(1948) }}
* {{cite book | 和書 | author=矢野 健太郎 | title=リーマン幾何学入門 | publisher=森北出版 | year=1971 | ref=矢野(1971) }}

{{Differential-geometry-stub}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:りいまんたようたい}}
[[Category:リーマン多様体|*]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:ベルンハルト・リーマン|たようたい]]