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{{要改訳}}
数学の一分野である[[表現論]]では、'''リー代数の表現'''(リーだいすうのひょうげん、representation of a Lie algebra)は、[[リー代数]]を[[行列]]の集合（[[ベクトル空間]]の[[準同型]]）として記述する方法である。この方法により、[[リー代数#定義|リーブラケット]]は[[交換子]]により与えられる。

考え方は[[リー群の表現]]の考え方と密接に関連する。大まかには、リー代数の表現は、リー群の表現の微分した形であり、一方、リー群の[[被覆空間#普遍被覆|普遍被覆]]の表現は、リー代数の表現の積分した形である。

リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する[[普遍包絡代数]]と呼ばれる特別な[[環 (数学)|環]]は、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。
<!--In the [[mathematics|mathematical]] field of [[representation theory]], a '''Lie algebra representation''' or '''representation of a Lie algebra''' is a way of writing a [[Lie algebra]] as a set of [[matrix (mathematics)|matrices]] (or [[endomorphism]]s of a [[vector space]]) in such a way that the Lie bracket is given by the [[commutator]].

The notion is closely related to that of a [[representation of a Lie group]]. Roughly speaking, the representations of Lie algebras are the differentiated form of representations of Lie groups, while the representations of the [[universal cover]] of a Lie group are the integrated form of the representations of its Lie algebra.

In the study of representations of a Lie algebra, a particular [[ring (mathematics)|ring]], called the [[universal enveloping algebra]], associated with the Lie algebra plays a decisive role. The universality of this construction of this ring says that the category of representations of a Lie algebra is the same as the category of modules over its enveloping algebra.--><!--(これは[[群環]]の場合と非常に良く似ている。) さらに、包絡代数の中心 Z は可換代数であり、リー代数の表現の上に作用し、リー代数の表現は Z の[[環のスペクトル|スペクトル]]上の層と考えることができる。最近の発展では、このアプローチが広く利用されてきていて、{{仮リンク|数論幾何|en|algebraic geometry}}(algebraic geometry)の分野で大きな主題となっている。--><!--(This is very similar to the case of [[group ring]].) Furthermore, since the center ''Z'' of the enveloping algebra is a commutative ring and it acts on Lie algebra representations, Lie algebra representations may be thought of as sheaves on the [[spectrum of a ring|spectrum]] of ''Z''. In the recent developments, this appralch has been exploited extensively, making the subject largely a part of [[algebraic geometry]].-->

==公式な定義==
[[リー代数]] <math>\mathfrak g</math> の'''表現'''は、<math>\mathfrak g</math> から[[ベクトル空間]] V 上の[[準同型]]のリー代数への{{仮リンク|リー代数の準同型|label=準同型|en|Lie algebra homomorphism}}(Lie algebra homomorphism)
:<math>\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)</math>
であり、[[交換子]]をリーブラケットとして持ち、<math>\mathfrak g</math> の元 x を <math>\mathfrak{gl}(V)</math> の元 ρ<sub>x</sub> へ写像する。

明らかに、このことは、<math>\mathfrak g</math> の中のすべての x,y に対し、
:<math>\rho_{[x,y]} = [\rho_x,\rho_y] = \rho_x\rho_y - \rho_y\rho_x</math>
であることを意味する。ベクトル空間 V は、表現 ρ とともに、'''<math>\mathfrak g</math>-加群'''と呼ばれる（用語を省略し、V を表現ということも多い）。

表現 <math>\rho</math> が単射のとき、'''忠実'''(faithful)と呼ばれる。

同値な定義であるが、<math>\mathfrak g</math>-加群をベクトル空間 V と[[双線型写像]] <math>\mathfrak g \times V\to V</math> と定義し、<math>\mathfrak g</math> の中のすべての x,y と V のすべての v に対して、
:<math>[x,y]\cdot v = x\cdot(y\cdot v) - y\cdot(x\cdot v)</math>
であるように定義することもできる。この定義は、x を v = ρ<sub>x</sub> (v) と置くと上の定義に関係付く。
<!--==Formal definition==
A '''representation''' of a [[Lie algebra]] <math>\mathfrak g</math> is a [[Lie algebra homomorphism]]
:<math>\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)</math>
from <math>\mathfrak g</math> to the Lie algebra of [[endomorphism]]s on a [[vector space]] ''V'' (with the [[commutator]] as the Lie bracket), sending an element ''x'' of <math>\mathfrak g</math> to an element ''ρ''<sub>''x''</sub> of <math>\mathfrak{gl}(V)</math>.

Explicitly, this means that
:<math>\rho_{[x,y]} = [\rho_x,\rho_y] = \rho_x\rho_y - \rho_y\rho_x\,</math>
for all ''x,y'' in <math>\mathfrak g</math>. The vector space ''V'', together with the representation ρ, is called a '''<math>\mathfrak g</math>-module'''.  (Many authors abuse terminology and refer to ''V'' itself as the representation).

The representation <math>\rho</math> is said to be '''faithful''' if it is injective.

One can equivalently define a <math>\mathfrak g</math>-module as a vector space ''V'' together with a [[bilinear map]] <math>\mathfrak g \times V\to V</math> such that
:<math>[x,y]\cdot v = x\cdot(y\cdot v) - y\cdot(x\cdot v)</math>
for all ''x,y'' in <math>\mathfrak g</math> and ''v'' in ''V''. This is related to the previous definition by setting ''x'' ⋅ ''v'' = ρ<sub>''x''</sub> (v).-->

== 例 ==

===随伴表現===
{{main|リー代数の随伴表現}}
リー代数の表現の最も基本的な例は、リー代数 <math>\mathfrak{g}</math> の自分自身の上での随伴表現
:<math>\textrm{ad}:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}), \quad x \mapsto \operatorname{ad}_x, \quad \operatorname{ad}_x(y) = [x, y].</math>
である。実際、[[ヤコビ恒等式]]により、<math>\operatorname{ad}</math> はリー代数の準同型である。
<!--==Examples ==

===Adjoint representations===
{{main|Adjoint representation of a Lie algebra}}
The most basic example of a Lie algebra representation is the adjoint representation of a Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> on itself:
:<math>\textrm{ad}:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}), \quad x \mapsto \operatorname{ad}_x, \quad \operatorname{ad}_x(y) = [x, y].</math>
Indeed, by virtue of the [[Jacobi identity]], <math>\operatorname{ad}</math> is a Lie algebra homomorphism.-->

===無限小リー群表現===
リー代数の表現は自然に発生する。φ: G → H を（実、もしくは、複素）[[リー群]]の[[準同型]]とし、<math>\mathfrak g</math> と <math>\mathfrak h</math> をそれぞれ G と H の[[リー代数]]とすると、恒等元上での[[接空間]]上の{{仮リンク|プッシュフォワード (微分幾何学)|label=微分|en|pushforward (differential)}}(differential) <math>d \phi: \mathfrak g \to \mathfrak h</math> はリー代数の準同型である。特に、有限次元ベクトル空間 V に対して、[[リー群の表現]]
:<math>\phi: G\to \mathrm{GL}(V)</math>
は、<math>\mathfrak g</math> から[[一般線型群]] GL(V) つまり、V の自己準同型の代数へのリー代数の準同型
:<math>d_e \phi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)</math>
を決定する。

たとえば、<math>c_g(x) = gxg^{-1}</math> とすると、<math>c_g: G \to G</math> の恒等元での微分は、<math>\mathrm{GL}(\mathfrak{g})</math> の元である。これを <math>\operatorname{Ad}(g)</math> と表わすと、ベクトル空間 <math>\mathfrak{g}</math> 上の G の表現 <math>\operatorname{Ad}</math> を得る。先行して適用すると、リー代数の表現 <math>d \operatorname{Ad}</math> を得る。このことから <math>d_e\operatorname{Ad} = \operatorname{ad}</math> を示すことができる。

以上のステートメントの部分的な逆は、すべての有限次元（実、複素）リー代数の表現は、一意に随伴[[単連結空間|単連結]]なリー群の表現へ持ち上げることができることを意味している。従って、単連結なリー群の表現と、それらのリー代数の表現とは 1 対 1 に対応する。
<!--===Infinitesimal Lie group representations===
A Lie algebra representation also arises in nature. If φ: ''G'' → ''H'' is a [[homomorphism]] of (real or complex) [[Lie group]]s, and <math>\mathfrak g</math> and <math>\mathfrak h</math> are the [[Lie algebra]]s of ''G'' and ''H'' respectively, then the [[pushforward (differential)|differential]] <math>d \phi: \mathfrak g \to \mathfrak h</math> on [[tangent space]]s at the identities is a Lie algebra homomorphism. In particular, for a finite-dimensional vector space ''V'', a [[representation of Lie groups]]
:<math>\phi: G\to \mathrm{GL}(V)\,</math>
determines a Lie algebra homomorphism
:<math>d_e \phi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)</math>
from <math>\mathfrak g</math> to the Lie algebra of the [[general linear group]] GL(''V''), i.e. the endomorphism algebra of ''V''.

For example, let <math>c_g(x) = gxg^{-1}</math>. Then the differential of <math>c_g: G \to G</math> at the identity is an element of <math>\mathrm{GL}(\mathfrak{g})</math>. Denoting it by <math>\operatorname{Ad}(g)</math> one obtains a representation <math>\operatorname{Ad}</math> of ''G'' on the vector space <math>\mathfrak{g}</math>. Applying the preceding, one gets the Lie algebra representation <math>d\operatorname{Ad}</math>. It can be shown that <math>d_e\operatorname{Ad} = \operatorname{ad}.</math>

A partial converse to this statement says that every representation of a finite-dimensional (real or complex) Lie algebra lifts to a unique representation of the associated [[simply connected]] Lie group, so that representations of simply-connected Lie groups are in one-to-one correspondence with representations of their Lie algebras.-->

== 基本概念 ==
<math>\mathfrak{g}</math> を[[リー代数]]、V, W を <math>\mathfrak{g}</math>-加群とすると、線型写像 <math>f: V \to W</math> が、<math>\mathfrak{g}</math>-同変であるとき、つまり、任意の <math>x \in \mathfrak{g}, v \in V</math> に対して、<math>f(xv) = xf(v)</math> であるとき、この線型写像は、<math>\mathfrak{g}</math>-線型である。f が全単射であれば、<math>V, W</math> は、'''同変'''であるという。同様に、加群の理論の多くのほかの抽象代数学の構成が、この設定から導き出される。部分加群、商、部分商、直和、ジョルダン・ホルダー系列、など、

V を <math>\mathfrak{g}</math>-加群とすると、V が次の同値な条件を満たすとき、V を'''半単純'''、もしくは'''完全可約'''という。（[[半単純加群]]を参照）
# V は単純加群の直和
# V は単純部分加群の和
# V のすべての部分加群は、[[直和]]、V のすべての部分加群 W に対し、補完加群 P が存在し V&nbsp;=&nbsp;W&nbsp;⊕&nbsp;P となる。

<math>\mathfrak{g}</math> が標数 0 の体上の有限次元[[半単純リー代数]]であれば、V は半単純である（{{仮リンク|ワイルの完全可約定理|en|Weyl's complete reducibility theorem}}(Weyl's complete reducibility theorem)。<ref>{{harvnb|Dixmier|1977|loc=Theorem 1.6.3}}</ref> リー代数は、随伴表現が半単純であるとき、{{仮リンク|可約リー代数|label=可約|en|Reductive Lie algebra}}(reductive)と呼ぶ。このように、半単純リー代数は可約である。V の元 v は、すべての <math>x \in \mathfrak{g}</math> に対し <math>xv = 0</math> となるときに、<math>\mathfrak{g}</math>-不変と呼ぶ。すべての不変な元の集合は、<math>V^\mathfrak{g}</math> と書かれる。<math>V \mapsto V^\mathfrak{g}</math> は左完全函手である。
<!--== Basic concepts ==
Let <math>\mathfrak{g}</math> be a [[Lie algebra]]. Let ''V'', ''W'' be <math>\mathfrak{g}</math>-modules. Then a linear map <math>f: V \to W</math> is a homomorphism of <math>\mathfrak{g}</math>-modules if it is <math>\mathfrak{g}</math>-equivariant; i.e., <math>f(xv) = xf(v)</math> for any <math>x \in \mathfrak{g}, v \in V</math>. If ''f'' is bijective, <math>V, W</math> are said to be ''equivalent''. Similarly, many other constructions from module theory in abstract algebra carry over to this setting: submodule, quotient, subquotient, direct sum, Jordan-Hölder series, etc.

Let ''V'' be a <math>\mathfrak{g}</math>-module. Then ''V'' is said to be ''semisimple'' or ''completely reducible'' if it satisfies the following equivalent conditions: (cf. [[semisimple module]])
# ''V'' is a direct sum of simple modules.
# ''V'' is the sum of its simple submodules.
# Every submodule of ''V'' is a [[direct summand]]: for every submodule ''W'' of ''V'', there is a complement ''P'' such that ''V''&nbsp;=&nbsp;''W''&nbsp;⊕&nbsp;''P''.

If <math>\mathfrak{g}</math> is a finite-dimensional [[semisimple Lie algebra]] over a field of characteristic zero and ''V'' is finite-dimensional, then ''V'' is semisimple ([[Weyl's complete reducibility theorem]]).<ref>{{harvnb|Dixmier|1977|loc=Theorem 1.6.3}}</ref> A Lie algebra is said to be [[Reductive Lie algebra|reductive]] if the adjoint representation is semisimple. Thus, a semisimple Lie algebra is reductive. An element ''v'' of ''V'' is said to be <math>\mathfrak{g}</math>-invariant if <math>xv = 0</math> for all <math>x \in \mathfrak{g}</math>. The set of all invariant elements is denoted by <math>V^\mathfrak{g}</math>. <math>V \mapsto V^\mathfrak{g}</math> is a left-exact functor.-->

==基本構成==
基礎となるベクトル空間を、V<sub>1</sub> と V<sub>2</sub> とし、表現を ·[·]<sub>1</sub> と ·[·]<sub>2</sub> とした 2つの表現とすると、これらの表現の積は V<sub>1</sub> ⊗ V<sub>2</sub> を基礎となるベクトル空間で、表現は

:<math>x[v_1\otimes v_2]=x[v_1]\otimes v_2+v_1\otimes x[v_2] </math>
である。L を実リー群、ρ: L × V → V を L の複素上限とすると、次のようにしてその双対表現と呼ばれる L の別のもうひとつの表現を構成することができる。

V<sup>∗</sup> を V の双対ベクトル空間とする。言い換えると、V<sup>∗</sup> はV から '''C''' へのすべての線型写像の集合で、普通の方法で定義されているが、スカラー倍の定義は、'''C''' の任意の z と V<sup>∗</sup> の元  &omega; と V の元 X に対し、<math>(z\omega)[X]=\bar{z}\omega[X]</math> である。これは通常、[[半双線型形式]] &lang;·,·&rang; つまり、ω[X] として定義された &lang;ω,X&rang; で書き換えられる。

<math>\bar{\rho}</math> は次のように定義される。L の任意の A、V<sup>∗</sup> の ω、V の中の X に対し

:<math>(\bar{\rho}(A)[\omega],X) + (\omega, \rho A[X]) = 0 </math>

とする。これは <math>\bar{\rho}</math> を一意に定義する。

<math>V, W</math> を <math>\mathfrak{g}</math>-加群、<math>\mathfrak{g}</math> リー代数とすると、<math>\operatorname{Hom}(V, W)</math> は <math>(x \cdot f)(v) = x f(v) - f (x v)</math> と置くことにより、<math>\mathfrak{g}</math>-加群となる。特に、<math>\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^\mathfrak{g}</math> である。任意の体は自明な作用により <math>\mathfrak{g}</math>-加群となるので、W を基礎体とすると、双対ベクトル空間 <math>V^*</math> は <math>\mathfrak{g}</math>-加群となる。
<!--==Basic constructions==
If we have two representations, with ''V''<sub>1</sub> and ''V''<sub>2</sub> as their underlying vector spaces and ·[·]<sub>1</sub> and ·[·]<sub>2</sub> as the representations, then the product of both representations would have ''V''<sub>1</sub> ⊗ ''V''<sub>2</sub> as the underlying vector space and

:<math>x[v_1\otimes v_2]=x[v_1]\otimes v_2+v_1\otimes x[v_2] .</math>

If ''L'' is a real Lie algebra and ρ: ''L'' × ''V''→ ''V'' is a complex representation of it, we can construct another representation of ''L'' called its dual representation as follows.

Let ''V''<sup>∗</sup> be the dual vector space of ''V''. In other words, ''V''<sup>∗</sup> is the set of all linear maps from ''V'' to '''C''' with addition defined over it in the usual linear way, but scalar multiplication defined over it such that <math>(z\omega)[X]=\bar{z}\omega[X]</math> for any ''z'' in '''C''', &omega; in ''V''<sup>∗</sup> and ''X'' in ''V''. This is usually rewritten as a contraction with a [[sesquilinear]] form &lang;·,·&rang;. i.e. &lang;ω,''X''&rang; is defined to be ω[''X''].

We define <math>\bar{\rho}</math> as follows:

:&lang;<math>\bar{\rho}</math>(''A'')[ω],''X''&rang; + &lang;ω, ρ''A''[''X'']&rang; = 0,

for any ''A'' in ''L'', ω in ''V''<sup>∗</sup> and ''X'' in ''V''. This defines <math>\bar{\rho}</math> uniquely.

Let <math>V, W</math> be <math>\mathfrak{g}</math>-modules, <math>\mathfrak{g}</math> a Lie algebra. Then <math>\operatorname{Hom}(V, W)</math> becomes a <math>\mathfrak{g}</math>-module by setting <math>(x \cdot f)(v) = x f(v) - f (x v)</math>. In particular, <math>\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^\mathfrak{g}</math>. Since any field becomes a <math>\mathfrak{g}</math>-module with a trivial action, taking ''W'' to be the base field, the dual vector space <math>V^*</math> becomes a <math>\mathfrak{g}</math>-module.-->

== 包絡代数 ==
体 k 上の任意のリー代数 <math>\mathfrak{g}</math> に対し、<math>\mathfrak{g}</math> の[[普遍包絡代数]]と呼ばれるある[[環 (数学)|環]]を関連させることができる。（PBW定理に従うと、）構成は普遍的で結論的には、<math>\mathfrak{g}</math> の表現は、<math>\mathfrak{g}</math> の普遍包絡代数の{{仮リンク|代数表現|en|algebra representation}}(algebra representation)と 1 対 1 に対応する。この構成は次のようになる。<ref>{{harvnb|Jacobson|1962}}</ref> T をベクトル空間 <math>\mathfrak{g}</math> の[[テンソル代数]]とする。定義により、<math>T = \oplus_{n=0}^\infty \otimes_1^n \mathfrak{g}</math> とこの積は、<math>\otimes</math> で与えられる。<math>U(\mathfrak{g})</math> を元 <math>[x, y] - x \otimes y + y \otimes x</math> により生成されるイデアルで割った[[商環]] とする。<math>U(\mathfrak{g})</math> は体 k 上の[[結合多元環|結合代数]]であるので、交換子 <math>[x, y] = x y - yx</math> （<math>\otimes</math> を省略して記載した）を通してリー代数とすることができる。リー代数には <math>T \to U(\mathfrak{g})</math> をひとつのピースの次数を制限することにより標準的な射 <math>\mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> が存在する。{{仮リンク|PBW定理|en|PBW theorem}}(PBW theorem)は、標準的な射は実際、単射であることを意味している。<math>\mathfrak{g}</math> が[[リー代数#可換リー代数|アーベル的]]ならば、<math>U(\mathfrak{g})</math> はベクトル空間 <math>\mathfrak{g}</math> の対称代数となる。

<math>\mathfrak{g}</math> は随伴表現を通して自分自身の上の加群であるので、包絡代数 <math>U(\mathfrak{g})</math> は随伴表現を拡張することで、<math>\mathfrak{g}</math>-加群となる。しかし、左と右の[[正則表現 (数学)|正則表現]]を使い、包絡代数を<math>\mathfrak{g}</math>-加群とすることができる。つまり、記法 <math>l_x(y) = xy, x \in \mathfrak{g}, y \in U(\mathfrak{g})</math> により、写像 <math>x \mapsto l_x</math> は <math>U(\mathfrak{g})</math> の上の <math>\mathfrak{g}</math> の表現を定義する。右正則表現も同様に定義される。
<!--== Enveloping algebras ==
To each Lie algebra <math>\mathfrak{g}</math> over a field ''k'', one can associate a certain [[ring (mathematics)|ring]] called the [[universal enveloping algebra]] of <math>\mathfrak{g}</math>. The construction is universal and consequently (along with the PBW theorem) representations of <math>\mathfrak{g}</math> corresponds in one-to-one with [[algebra representation]]s of universal enveloping algebra of <math>\mathfrak{g}</math>. The construction is as follows.<ref>{{harvnb|Jacobson|1962}}</ref> Let ''T'' be the [[tensor algebra]] of the vector space <math>\mathfrak{g}</math>. Thus, by definition, <math>T = \oplus_{n=0}^\infty \otimes_1^n \mathfrak{g}</math> and the multiplication on it is given by <math>\otimes</math>. Let <math>U(\mathfrak{g})</math> be the [[quotient ring]] of ''T'' by the ideal generated by elements <math>[x, y] - x \otimes y + y \otimes x</math>. Since <math>U(\mathfrak{g})</math> is an associative [[algebra over a field|algebra]] over the field ''k'', it can be turned into a Lie algebra via the commutator <math>[x, y] = x y - yx</math> (omitting <math>\otimes</math> from the notation). There is a canonical morphism of Lie algebras <math>\mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> obtained by restricting <math>T \to U(\mathfrak{g})</math> to degree one piece. The [[PBW theorem]] implies that the canonical map is actually injective. Note if <math>\mathfrak{g}</math> is [[abelian Lie algebra|abelian]], then <math>U(\mathfrak{g})</math> is the symmetric algebra of the vector space <math>\mathfrak{g}</math>.

Since <math>\mathfrak{g}</math> is a module over itself via adjoint representation, the enveloping algebra <math>U(\mathfrak{g})</math> becomes a <math>\mathfrak{g}</math>-module by extending the adjoint representation. But one can also use the left and right [[regular representation]] to make the enveloping algebra a <math>\mathfrak{g}</math>-module; namely, with the notation <math>l_x(y) = xy, x \in \mathfrak{g}, y \in U(\mathfrak{g})</math>, the mapping <math>x \mapsto l_x</math> defines a representation of <math>\mathfrak{g}</math> on <math>U(\mathfrak{g})</math>. The right regular representation is defined similarly.-->

== 誘導表現 ==
<math>\mathfrak{g}</math> を標数 0 の体上の有限次元リー代数とし、<math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}</math> を部分代数とする。<math>U(\mathfrak{h})</math> は <math>U(\mathfrak{g})</math> 上へ右から作用しているとすると、任意の <math>\mathfrak{h}</math>-加群 W に対し、左 <math>U(\mathfrak{g})</math>-加群 <math>U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{h})} W</math> を構成することができ、<math>\mathfrak{g}</math>-加群として <math>\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W</math> と書かれ、W により誘導された <math>\mathfrak{g}</math>-加群という。この表現は、以下のような普遍的な性質を持ち、実際、この普遍的性質により特徴付けることもできる。任意の <math>\mathfrak{g}</math>-加群 E に対し、
:<math>\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W, E) \simeq \operatorname{Hom}_\mathfrak{h}(W, \operatorname{Res}^\mathfrak{g}_\mathfrak{h} E)</math>
である。さらに、<math>\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g}</math> が <math>\mathfrak{h}</math>-加群の圏から <math>\mathfrak{g}</math>-加群の圏への完全函手である。これらは <math>U(\mathfrak{g})</math> が <math>U(\mathfrak{h})</math> 上の自由右加群である。特に、<math>\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W</math> が単純であれば（絶対単純であれば）、W はそれぞれ、単純（絶対単純）である。ここで、<math>\mathfrak{g}</math>-加群 V が絶対単純とは、<math>V \otimes_k F</math> が任意の体の拡大 <math>F/k</math> に対し単純である場合をいう。

誘導が推移的である場合、任意のリー部分代数 <math>\mathfrak{h'} \subset \mathfrak{g}</math> と任意のリー代数 <math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{h}'</math> に対し、<math>\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} \simeq \operatorname{Ind}_\mathfrak{h'}^\mathfrak{g} \circ \operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{h'}</math> である。誘導表現は、制限と可換である。<math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}</math> を部分代数、<math>\mathfrak{n}</math> を <math>\mathfrak{h}</math> に含まれる <math>\mathfrak{g}</math> のイデアルとする。<math>\mathfrak{g}_1 = \mathfrak{g}/\mathfrak{n}</math> とし、<math>\mathfrak{h}_1 = \mathfrak{h}/\mathfrak{n}</math> とすると、<math>\operatorname{Ind}^\mathfrak{g}_\mathfrak{h} \circ \operatorname{Res}_\mathfrak{h} \simeq \operatorname{Res}_\mathfrak{g} \circ \operatorname{Ind}^\mathfrak{g_1}_\mathfrak{h_1}</math> である。
<!--== Induced representation ==
Let <math>\mathfrak{g}</math> be a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic zero and <math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}</math> a subalgebra. <math>U(\mathfrak{h})</math> acts on <math>U(\mathfrak{g})</math> from the right and thus, for any <math>\mathfrak{h}</math>-module ''W'', one can form the left <math>U(\mathfrak{g})</math>-module <math>U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{h})} W</math>. It is a <math>\mathfrak{g}</math>-module denoted by <math>\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W</math> and called the <math>\mathfrak{g}</math>-module induced by ''W''. It satisfies (and is in fact characterized by) the universal property: for any <math>\mathfrak{g}</math>-module ''E''
:<math>\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W, E) \simeq \operatorname{Hom}_\mathfrak{h}(W, \operatorname{Res}^\mathfrak{g}_\mathfrak{h} E)</math>.
Furthermore, <math>\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g}</math> is an exact functor from the category of <math>\mathfrak{h}</math>-modules to the category of <math>\mathfrak{g}</math>-modules. These uses the fact that <math>U(\mathfrak{g})</math> is a free right module over <math>U(\mathfrak{h})</math>. In particular, if <math>\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W</math> is simple (resp. absolutely simple), then ''W'' is simple (resp. absolutely simple). Here, a <math>\mathfrak{g}</math>-module ''V'' is absolutely simple if <math>V \otimes_k F</math> is simple for any field extension <math>F/k</math>.

The induction is transitive: <math>\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} \simeq \operatorname{Ind}_\mathfrak{h'}^\mathfrak{g} \circ \operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{h'}</math>
for any Lie subalgebra <math>\mathfrak{h'} \subset \mathfrak{g}</math> and any Lie subalgebra <math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{h}'</math>. The induction commutes with restriction: let <math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}</math> be subalgebra and <math>\mathfrak{n}</math> an ideal of <math>\mathfrak{g}</math> that is contained in <math>\mathfrak{h}</math>. Set <math>\mathfrak{g}_1 = \mathfrak{g}/\mathfrak{n}</math> and <math>\mathfrak{h}_1 = \mathfrak{h}/\mathfrak{n}</math>. Then <math>\operatorname{Ind}^\mathfrak{g}_\mathfrak{h} \circ \operatorname{Res}_\mathfrak{h} \simeq \operatorname{Res}_\mathfrak{g} \circ \operatorname{Ind}^\mathfrak{g_1}_\mathfrak{h_1}</math>.-->
<!--== 半単純リー代数の表現 ==
<math>\mathfrak{g}</math> を標数 0 の体上の有限次元半単純リー代数とする。（可解の場合や、べき零の場合は、studies [[primitive ideal]]s of the enveloping algebra; cf. Dixmier for the definitive account.)

<math>\mathfrak{g}</math> 上の加群の圏は、ホモロジー代数の手法を使うには、あまりに大きすぎることがわかる。より小さな部分圏 {{仮リンク|カテゴリ 0|en|category O}}(category O)は、標数 0 での半単純な場合の表現にとって、よりよい状況がある。たとえば、カテゴリ 0 は {{仮リンク|BGG相互法則|en|BGG reciprocity}}(BGG reciprocity)turned out to be of a right size to formulate the celebrated [[BGG reciprocity]].<ref>http://mathoverflow.net/questions/64931/why-the-bgg-category-o</ref>-->
<!--== Representations of a semisimple Lie algebra ==
Let <math>\mathfrak{g}</math> be a finite-dimensional semisimple Lie algebra over a field of characteristic zero. (in the solvable or nilpotent case, one studies [[primitive ideal]]s of the enveloping algebra; cf. Dixmier for the definitive account.)

The category of modules over <math>\mathfrak{g}</math> turns out to be too large especially for homological algebra methods to be useful: it was realized that a smaller subcategory [[category O]] is a better place for the representation theory in the semisimple case in zero characteristic. For instance, the category O turned out to be of a right size to formulate the celebrated [[BGG reciprocity]].<ref>http://mathoverflow.net/questions/64931/why-the-bgg-category-o</ref>-->

== (g,K)-加群 ==
{{main|{{仮リンク|(g,K)-加群|en|(g,K)-module}}|{{仮リンク|ハリッシュ･チャンドラ加群|en|Harish-Chandra module}} }}

リー代数の表現の最も重要な応用のひとつは、実簡約リー群の表現論である。<math>\pi</math> を連結な実半単純線型リー群 G のヒルベルト空間上の表現とすると、2つの自然な作用をもつ。ひとつは、複素化された <math>\mathfrak{g}</math> であり、もうひとつは、連結{{仮リンク|極大コンパクト部分群|en|maximal compact subgroup}}(maximal compact subgroup) K である。<math>\pi</math> の <math>\mathfrak{g}</math>-加群構造は、代数的なホモロジカルな方法を適用することができ、特に、<math>K</math>-加群構造は調和解析を適用でき、そこで連結コンパクト半単純リー群と同じ方法を使うことができる。
<!--== (g,K)-module ==
{{main|(g,K)-module|Harish-Chandra module}}

One of the most important applications of Lie algebra representations is to the representation theory of real reductive Lie group. The application is based on the idea that if <math>\pi</math> is a Hilbert-space representation of, say, a connected real semisimple linear Lie group ''G'', then it has two natural actions: the complexification <math>\mathfrak{g}</math> and the connected [[maximal compact subgroup]] ''K''. The <math>\mathfrak{g}</math>-module structure of <math>\pi</math> allows algebraic especially homological methods to be applied and <math>K</math>-module structure allows harmonic analysis to be carried out in a way similar to that on connected compact semisimple Lie groups.-->

==分類==

===半単純リー代数の有限次元表現===
{{Expand section|date=December 2009}}
{{details|[[ウェイト (表現論)]] }}
[[半単純リー代数]]の分類方法と同様に、半単純リー代数の有限次元表現を分類することができる。これは、非常に美しいと広く考えられている分類理論であり、標準的な参考として、{{Harv|Fulton|Harris|1992}} がある。

半単純リー代数の有限次元表現は、[[半単純リー代数#完全可約性|完全可約]]であり、従って、規約な（単純な）表現へ分類することが充分可能である。半単純リー代数は、随伴表現のウェイトのことば、いわゆる[[ルート系]](root system)で分類される。同様な方法で、すべて有限次元既約表現はウェイトのことばで理解することができる。詳細は、[[ウェイト (表現論)]]を参照。
<!--==Classification==

===Finite-dimensional representations of semisimple Lie algebras===
{{Expand section|date=December 2009}}
{{details|Weight (representation theory)}}
Similarly to how [[semisimple Lie algebra]]s can be classified, the finite-dimensional representations of semisimple Lie algebras can be classified. This is a classical theory, widely regarded as beautiful, and a standard reference is {{Harv|Fulton|Harris|1992}}.

Briefly, finite-dimensional representations of a semisimple Lie algebra are [[Semisimple Lie algebra|completely reducible]], so it suffices to classify irreducible (simple) representations. Semisimple Lie algebras are classified in terms of the [[Weight (representation theory)|weights]] of the adjoint representation, the so-called [[root system]]; in a similar manner all finite-dimensional irreducible representations can be understood in terms of weights; see [[weight (representation theory)]] for details.-->

==代数上の表現==
L を超代数とすると、L の代数上の表現は、（[[結合法則|結合的]]である必要はない）[[次数付き代数|'''Z'''<sub>2</sub> 次数付き]][[体上の多元環|代数]] A である。A は'''Z'''<sub>2</sub> [[次数付きベクトル空間]](graded vector space)上の L の表現であり、加えて、L の元は A 上に {{仮リンク|微分 (微分代数)|label=微分|en|Derivation (diffferential algebra)}}(derivation)/{{仮リンク|微分 (微分代数)|label=反微分|en|Derivation (diffferential algebra)}}(antiderivation) として作用する。

さらに、特に H が L の[[元素|純粋元]]であり、x と y が A の純粋元であれば、

:<math>H[[xy] = (H[x])y + (-1)^{xH}x(H[y])</math>

である。また、A が[[単位的環|単位的]]であれば、

:<math>H[1] = 0</math>

である。

ところで、'''リー代数の表現'''に対し、単純に次数を (&minus;1) を同じべきの因子へ写し、なくすることができる。

（超）リー代数はリー代数であり、それ自身の[[随伴表現]]を持っているので、随伴表現は代数の上の表現である。（反）微分の性質は、{{仮リンク|超リー代数|label=超|en|superJacobi identity}}(super)[[ヤコビ恒等式]]である。

ベクトル空間が双方とも[[結合多元環|結合代数]]であり、リー代数であり、リー代数自身の上への随伴表現が代数上の表現（つまり結合代数上の微分が作用していると）であれば、このリー代数は{{仮リンク|ポアソン代数|en|Poisson algebra}}(Poisson algebra)である。超リー代数での類似の事実が、{{仮リンク|ポアソン超代数|en|Poisson superalgebra}}(Poisson superalgebra)の考えをもたらす。
<!--==Representation on an algebra==
If we have a Lie superalgebra ''L'', then a representation of ''L'' on an algebra is a (not necessarily [[associative]]) [[graded algebra|'''Z'''<sub>2</sub> graded]] [[algebra over a field|algebra]] ''A'' which is a representation of ''L'' as a '''Z'''<sub>2</sub> [[graded vector space]] and in addition, the elements of ''L'' acts as [[Derivation (abstract algebra)|derivation]]s/[[antiderivation]]s on ''A''.

More specifically, if ''H'' is a [[pure element]] of ''L'' and ''x'' and ''y'' are [[pure element]]s of ''A'',

:''H''[''xy''] = (''H''[''x''])''y'' + (&minus;1)<sup>''xH''</sup>''x''(''H''[''y''])

Also, if ''A'' is [[unital algebra|unital]], then

:''H''[1] = 0

Now, for the case of a '''representation of a Lie algebra''', we simply drop all the gradings and the (&minus;1) to the some power factors.

A Lie (super)algebra is an algebra and it has an [[adjoint endomorphism|adjoint representation]] of itself. This is a representation on an algebra: the (anti)derivation property is the [[superJacobi identity|super]][[Jacobi identity]].

If a vector space is both an [[associative algebra]] and a [[Lie algebra]] and the adjoint representation of the Lie algebra on itself is a representation on an algebra (i.e., acts by derivations on the associative algebra structure), then it is a [[Poisson algebra]]. The analogous observation for Lie superalgebras gives the notion of a [[Poisson superalgebra]].-->

==参照項目==
*{{仮リンク|キレンの補題|en|Quillen's lemma}}(Quillen's lemma) - [[シューアの補題]]の類似で、体 k 上の有限次元リー代数の包絡環上の単純加群の自己準同型は k 上代数的であることを言っているのが、キレン(Quillen)の補題である。
*{{仮リンク|ヴァルマ加群|en|Verma module}}(Verma module)
*{{仮リンク|幾何学的量子化|en|Geometric quantization}}(Geometric quantization)
*[[カジュダン-ルスティック多項式|カジュダン-ルスティック予想]]
*{{仮リンク|超リー代数の表現|en|Representation of a Lie superalgebra}}(Representation of a Lie superalgebra)
*{{仮リンク|ホワイトヘッドの補題 (リー代数)|label=ホワイトヘッドの補題|en|Whitehead's lemma (Lie algebras)}}(Whitehead's lemma)

== 脚注 ==
{{reflist}}

==参考文献==
*Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., "Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight," Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
*{{citation|last=Dixmier|first=J.|title=Enveloping Algebras|publisher=North-Holland|publication-place=Amsterdam, New York, Oxford|year=1977|isbn=0-444-11077-1}}.
*A. Beilinson and J. Bernstein, "Localisation de g-modules," C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., vol. 292, iss. 1, pp.&nbsp;15–18, 1981.
* {{Fulton-Harris}}
* D. Gaitsgory, [http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/267y/index.html Geometric Representation theory, Math 267y, Fall 2005]
* Ryoshi Hotta, Kiyoshi Takeuchi, Toshiyuki Tanisaki, ''D-modules, perverse sheaves, and representation theory''; translated by Kiyoshi Takeuch
* J.Humphreys, ''Introduction to Lie algebras and representation theory'', Birkhäuser, 2000.
*N. Jacobson, ''Lie algebras'', Courier Dover Publications, 1979.

== 追加参考文献 ==
*{{cite arXiv |first=David |last=Ben-Zvi |first2=David |last2=Nadler |eprint=1209.0188v1 |title=Beilinson-Bernstein localization over the Harish-Chandra center |year=2012 }}
* {{cite journal | author1=Garrett Birkhoff|authorlink1=Garrett Birkhoff |author2= Philip M. Whitman |authorlink2=Philip M. Whitman | title=Representation of Jordan and Lie Algebras | journal=[[Trans. Amer. Math. Soc.]] | volume=65 | pages=116-136 | url=http://www.ams.org/tran/1949-065-01/S0002-9947-1949-0029366-6/S0002-9947-1949-0029366-6.pdf | year=1949 }}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:りいたいすうのひようけん}}
[[Category:リー環論|ひようけん]]
[[Category:表現論]]
[[Category:リー環の表現論|*]]
[[Category:数学に関する記事]]