リー環の指数写像のソースを表示

{{for|リーマン多様体の接空間の部分集合からそのリーマン多様体への指数写像|{{仮リンク|指数写像 (リーマン幾何学)|en|Exponential map (Riemannian geometry)}}}}
{{Lie groups |expanded=Algebras}}
[[リー群]]論において、'''指数写像'''（しすうしゃぞう、{{lang-en-short|exponential map}}）は、リー群の[[リー代数|リー環]]から局所的な群構造を取り出せるような、リー環からリー群への写像である。指数写像の存在はリー環のレベルでリー群を研究することの主要な正当性の1つである。

解析学の通常の[[指数関数]]は ''G'' が正の[[実数]]の乗法群（そのリー環は実数全体のなす加法群）のときの指数写像という特別な場合である。リー群の指数写像は通常の指数関数の性質と類似の多くの性質を満たすが、しかしながら、多くの重要な面において異なりもする。

==定義==

<math>G</math> を[[リー群]]とし <math>\mathfrak g</math> を（<math>G</math> の[[単位元]]における[[接空間]]として考える）その[[リー環]]とする。'''指数写像''' (exponential map) は以下のようにいくつかの異なる方法で定義できる写像
:<math>\exp\colon \mathfrak g \to G</math>
である：
*<math>\exp(X) = \gamma(1)</math>。ただし
::<math>\gamma\colon \mathbb R \to G</math>
:は単位元における[[接ベクトル]]が <math>X</math> に等しいような <math>G</math> の唯一の{{仮リンク|1パラメータ部分群|en|one-parameter subgroup}}である。[[連鎖律|チェインルール]]から <math>\exp(tX) = \gamma(t)</math> が容易に従う。写像 <math>\gamma</math> は <math>X</math> に伴う右あるいは左不変な[[ベクトル場]]の[[積分曲線]]として構成することができる。すべての実パラメータに対して積分曲線が存在することは 0 の近くでの解を右または左移動することによって従う。
*[[平行移動 (リーマン幾何学)|平行移動]]が左移動によって与えられるような ''G'' 上の標準的な左不変な[[アフィン接続]]の指数写像。つまり、<math>\exp(X) = \gamma(1)</math> ただし <math>\gamma</math> は始点が単位元で（接ベクトルと考える）始速度が ''X'' の唯一の[[測地線]]である。
*''G'' の標準的な右不変なアフィン接続の指数写像。これは通常標準的な左不変な接続とは異なるが、どちらの接続も同じ測地線（左または右からの積によって作用する1パラメータ部分群の軌道）を持つので同じ指数写像を与える。
* <math>G</math> が行列[[リー群]]であれば、指数写像は[[行列の指数関数]]と一致し、通常の級数展開によって与えられる：
::<math>\exp (X) = \sum_{k=0}^\infty\frac{X^k}{k!} = I + X + \frac{1}{2}X^2 + \frac{1}{6}X^3 + \dotsb</math>
:（ここで <math>I</math> は[[単位行列]]である）。
* ''G'' がコンパクトであれば、左及び右移動で不変なリーマン計量を持ち、指数写像は{{仮リンク|指数写像 (リーマン幾何学)|en|exponential map (Riemannian geometry)|label=このリーマン計量の指数写像}}である。
*{{仮リンク|リー群とリー環の対応|en|Lie group–Lie algebra correspondence}}もまた定義を与える：<math>\mathfrak g</math> の元 ''X'' に対し、<math>t \mapsto \exp(tX)</math> はリー環準同型 <math>t \mapsto tX</math> に対応する唯一のリー群準同型である。（注： <math>\operatorname{Lie}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}</math>）<!--cite also Bourbaki's definition. -->

== 例 ==

* [[複素平面]]で中心が 0 にある[[単位円]]は、1 における接空間が複素平面の虚数直線 <math>\{it:t\in\mathbb R\}</math> と同一視できるリー群である（[[円群]]と呼ばれる）。このリー群の指数写像は
*: <math>it \mapsto \exp(it) = e^{it} = \cos(t) + i\sin(t),\,</math>
:つまり、通常の[[複素指数関数]]と同じ公式で与えられる。
* [[分解型複素数]]平面 <math>z = x + y \jmath , \quad \jmath^2 = +1,</math> において、虚数直線 <math>\lbrace \jmath t : t \in \mathbb R \rbrace</math> は{{仮リンク|単位双曲線|en|unit hyperbola}}群 <math>\lbrace \cosh t + \jmath \ \sinh t : t \in \mathbb R \rbrace</math> のリー環をなす、なぜならば指数写像は
*:<math>\jmath t \mapsto \exp(\jmath t) = \cosh t + \jmath \ \sinh t</math>
:によって与えられるからだ。
* [[四元数]] '''H''' において 0 を中心とする単位 3 次元球面 {{mvar|S}}<sup>3</sup> は 1 での接空間が純虚四元数の空間 <math>\{it+ju + kv :t, u, v\in\mathbb R\}</math> と同一視できるリー群（特殊ユニタリ群 {{math|''SU''(2)}} と同型）である。この基本的な表現におけるこのリー群の指数写像は
*: <math>\mathbf{w} = (it+ju+kv) \mapsto \exp(it+ju+kv) = \cos(|\mathbf{w}|) + \sin(|\mathbf{w}|)\frac{\mathbf{w}}{|\mathbf{w}|}\,</math>
:によって与えられる。この写像は純虚四元数の中の半径 ''R'' の 2 次元球面を <math>\{s\in S^3 \subset \mathbf{H}: \operatorname{Re}(s) = \cos(R)\} </math>,  <math>R\not\equiv 0\pmod{2\pi}</math> のとき半径 <math>\sin(R)</math> の 2 次元球面、にうつす（cf. {{仮リンク|パウリベクトルの指数関数|en|Pauli matrices#Exponential of a Pauli vector}}。）これを上の最初の例と比較せよ。
* ''V'' を有限次元実ベクトル空間としそれを加法的なリー群と見る。すると ''V'' を 0 での接空間と同一視することで <math>\operatorname{Lie}(V) = V</math> であり、指数写像
::<math>\operatorname{exp}: \operatorname{Lie}(V) = V \to V</math>
:は恒等写像である。

== 性質 ==

*すべての <math>X\in\mathfrak g</math> に対して、写像 <math>\gamma(t) = \exp(tX)</math> は、単位元における接ベクトルが ''X'' であるような ''G'' の唯一の1パラメータ部分群である。したがって
**<math>\exp(t+s)X = (\exp tX)(\exp sX)\,</math>
**<math>\exp(-X) = (\exp X)^{-1}.\,</math>
*指数写像 <math>\exp\colon \mathfrak g \to G</math> は{{仮リンク|滑らかな写像|en|smoothness#Smooth functions between manifolds}}である。単位元における[[微分 (微分幾何学)|微分]] <math>\exp_{*}\colon \mathfrak g \to \mathfrak g</math> は（通常の同一視によって）恒等写像である。したがって指数写像は適当に制限すると <math>\mathfrak g</math> における 0 のある近傍から ''G'' における 1 のある近傍への[[微分同相]]となる。
*しかしながら指数写像は一般には[[被覆写像]]ではない。すべての点において局所微分同相とはなっていないのである。例えば、so(3) から SO(3) への写像は被覆写像でない。この不成立に関しては{{仮リンク|cut locus|en|cut locus (Riemannian manifold)}}も参照。
*指数写像の像は常に ''G'' の{{仮リンク|単位成分|en|identity component}}に入る。''G'' が[[コンパクト空間|コンパクト]]なときには、指数写像は単位元成分への全射である。
*一般に、指数写像は以下の場合に全射である： ''G'' は連結かつコンパクト、''G'' は連結かつ冪零、<math>G = GL_n(\mathbb{C})</math>。
*連結だがコンパクトでない群 ''SL''<sub>2</sub>('''R''') の指数写像の像は群全体ではない。その像は固有値が正か絶対値 1 の '''C'''-対角化可能な行列と固有値 1 の対角化可能でない三角化可能行列からなる。
*写像 <math>\gamma(t) = \exp(tX)</math> は ''X'' に伴う右左両方不変なベクトル場の単位元を通る[[積分曲線]]である。
*''X'' に伴う左不変ベクトル場 <math>X^L</math> の <math>g\in G</math> を通る積分曲線は <math>g \exp(t X)</math> によって与えられる。同様に、右不変ベクトル場 <math>X^R</math> の ''g'' を通る積分曲線は <math>\exp(t X) g</math> によって与えられる。ベクトル場 <math>X^{L,R}</math> によって生成される[[フロー (数学)|フロー]] <math>\xi^{L,R}</math> は次で与えられることが従う：
**<math>\xi^L_t = R_{\exp tX}</math>
**<math>\xi^R_t = L_{\exp tX}.</math>
:これらのフローは大域的に定義されているから、''G'' 上のすべての左及び右不変ベクトル場は{{仮リンク|完備ベクトル場|en|complete vector field|label=完備}}である。
* <math>\phi\colon G \to H</math> をリー群準同型とし、<math>\phi_{*}</math> をその単位元における微分とする。すると以下の図式は[[可換図式|可換である]]：
[[Image:ExponentialMap-01.png|center]]
*とくに、群 ''G'' のリー群の[[随伴表現]]に適用すると、
**<math>g(\exp X)g^{-1} = \exp(\mathrm{Ad}_gX)\,</math>
**<math>\mathrm{Ad}_{\exp X} = \exp(\mathrm{ad}_X).\,</math>

== 関連項目 ==
*[[:en:List of exponential topics]]
*{{仮リンク|指数写像の微分|en|Derivative of the exponential map}}

== 参考文献 ==
* {{SpringerEOM|title=Exponential mapping|urlname=Exponential_mapping}}
* {{Citation | last1=Helgason | first1=Sigurdur | title=Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-2848-9 | mr=1834454 | year=2001 | volume=34}}.
* {{citation | last1=Kobayashi |first1=Shoshichi |last2=Nomizu |first2=Katsumi | title = [[Foundations of Differential Geometry]] |volume=Vol. 1 | publisher=Wiley-Interscience | year=1996 |edition=New |isbn=0-471-15733-3}}.

{{DEFAULTSORT:りいかんのしすうしやそう}}

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[[Category:数学に関する記事]]