リー群の表現のソースを表示

{{要改訳}}
数学や理論物理学では、'''[[リー群]]の表現'''の考え方は、[[対称性 (物理学)#連続的対称性|連続対称性]]の研究で重要な役割を果たす。 そのような表現は、対応する「無限小」[[リー代数の表現]]研究で使用する基本的なツールであることが良く知られている。物理学の文献では、リー群の表現とリー代数の表現との間の違いを強調しないこともある<ref>{{harvnb|Hall|2003}} Chapter 2.</ref>。
<!--{{Lie groups |Representation}}

In [[mathematics]] and [[theoretical physics]], the idea of a '''representation of a [[Lie group]]''' plays an important role in the study of continuous [[symmetry]]. A great deal is known about such representations, a basic tool in their study being the use of the corresponding 'infinitesimal' [[representation of Lie algebras|representations of Lie algebras]]. The physics literature sometimes passes over the distinction between Lie groups and Lie algebras.<ref>{{harvnb|Hall|2003}} Chapter 2.</ref>-->

== 有限次元複素ベクトル空間上の表現 ==

最初に有限次元複素ベクトル空間上へ作用する表現を議論する。有限次元複素[[ベクトル空間]] ''V'' 上の[[リー群]] ''G'' の[[群の表現|表現]]は、リー群 ''G'' から ''V'' の[[自己同型群]]への滑らかな[[群準同型]] {{math|Ψ: ''G'' → Aut(''V'')}} である。

''n'' 次元の ''V'' に対し、''V'' の自己同型群は {{math|''n'' × ''n''}} の複素正方行列の部分集合と同一視できる。''V'' の自己同型群は、この同一視を使用して、滑らかな多様体の構造が与えられる。上の定義のように、Ψ が滑らかであるという条件は、Ψ が[[滑らかな多様体]](smooth manifold) ''G'' から滑らかな多様体 Aut(''V'') への滑らかな写像であることを意味する。

複素ベクトル空間 ''V'' の[[基底 (線型代数学)|基底]]が選択されると、表現は[[一般線型群]] GL(''n'',&nbsp;'''C''') への準同型として表現することができる。これは'''行列表現'''として知られている。
<!--== Representations on a complex finite-dimensional vector space ==

Let us first discuss representations acting on finite-dimensional complex vector spaces. A [[group representation|representation]] of a [[Lie group]] ''G'' on a finite-dimensional complex [[vector space]] ''V'' is a smooth [[group homomorphism]] Ψ:''G''→Aut(''V'') from ''G'' to the [[automorphism group]] of ''V''. 

For ''n''-dimensional ''V'', the automorphism group of ''V'' is identified with a subset of the complex square matrices of order ''n''. The automorphism group of ''V'' is given the structure of a [[smooth manifold]] using this identification. The condition that Ψ is smooth, in the definition above, means that Ψ is a smooth map from the smooth manifold ''G'' to the smooth manifold Aut(''V'').

If a [[basis (linear algebra)|basis]] for the complex vector space ''V'' is chosen, the representation can be expressed as a homomorphism into [[general linear group]] GL(''n'','''C'''). This is known as a ''matrix representation''.-->

== 任意の体上の有限次元ベクトル空間上の表現 ==

[[リー群]] G の（[[可換体|体]] K 上の）[[ベクトル空間]] V 上の[[群の表現|表現]]は、（微分構造について）G から V の[[自己同型|自己同型群]]への[[滑らかな関数|滑らかな]][[群準同型]] G → Aut(V) である。ベクトル空間 V に基底が選ばれていると、表現は、[[一般線型群]] GL(n,K) への準同型として表すことができる。この表現は'''行列表現'''として知られている。ベクトル空間 V, W 上の G の2つの表現は、それらが V と W に対して同じ基底の選択に関して同じ行列であれば、'''同値'''な表現であるという。

リー代数のレベルでは、リー代数 G から[[リー代数#定義|リーブラケット]] [&nbsp;,&nbsp;] を保存する [[自己準同型環|End(V)]] への対応する線形写像が存在する。リー代数の理論は[[リー代数の表現]]を参照。

準同型が、[[単射]]であるとき、表現を'''忠実'''(faithful)であるという。

[[ユニタリ表現]]は、G が[[ユニタリ行列]]であるということ以外は、同じ方法で定義される。従って、リー代数は[[歪エルミート行列|歪エルミート]](skew-hermitian)行列である。

G が[[コンパクト群#コンパクトリー群|コンパクトリー群]](compact Lie group)であれば、すべての有限次元表現は、あるユニタリ表現に同値である。
<!--== Representations on a finite-dimensional vector space over an arbitrary field ==

A [[group representation|representation]] of a [[Lie group]] ''G'' on a [[vector space]] ''V'' (over a [[field (mathematics)|field]] ''K'') is a [[smooth function|smooth]] (i.e. respecting the differential structure) [[group homomorphism]] ''G''→Aut(''V'') from ''G'' to the [[automorphism group]] of ''V''. If a basis for the vector space ''V'' is chosen, the representation can be expressed as a homomorphism into [[general linear group]] GL(''n'',''K''). This is known as a ''matrix representation''.
Two representations of ''G'' on vector spaces ''V'', ''W'' are ''equivalent'' if they have the 
same matrix representations with respect to some choices of bases 
for ''V'' and ''W''. 

On the Lie algebra level, there is a corresponding linear mapping from the Lie algebra of G to [[endomorphism|End(''V'')]] preserving the [[Lie_algebra#Definition_and_first_properties|Lie bracket]] [&nbsp;,&nbsp;]. See [[representation of Lie algebras]] for the Lie algebra theory.

If the homomorphism is in fact a [[monomorphism]], the representation is said to be ''faithful''.

A [[unitary representation]] is defined in the same way, except that G maps to [[unitary matrix|unitary matrices]]; the Lie algebra will then map to [[skew-hermitian]] matrices.

If ''G'' is a [[compact Lie group]], every finite-dimensional representation is equivalent to
a unitary one.-->

== ヒルベルト空間上の表現 ==
[[リー群]] G の複素[[ヒルベルト空間]] V 上の[[群の表現|表現]]は、G から B(V) への[[群準同型]] Ψ:G → B(V) であり、有界な逆作用素をもつような V の有界線型作用素の群である。よって、(g,v) → Ψ(g)v で与えられる写像 G&times;V → V は、連続である。

この定義は'''無限次元'''ヒルベルト空間上の表現を扱うことができる。そのような表現は[[量子力学]]の中にあるが、次の例のように[[フーリエ解析]]の中にもある。

G='''R''' とし、複素ヒルベルト空間 V を L<sup>2</sup>('''R''') とすると、表現 Ψ:'''R''' → B(L<sup>2</sup>('''R''')) を Ψ(r)(f(x)} → f(r<sup>-1</sup>x) で定義する。

[[ポアンカレ群]]の表現については、[[ウィグナーの分類]](Wigner's classification)を参照。
<!--== Representations on Hilbert spaces ==
A [[group representation|representation]] of a [[Lie group]] ''G'' on a complex [[Hilbert space]] ''V'' is a [[group homomorphism]] Ψ:''G'' → B(''V'') from ''G'' to B(''V''), the group of bounded linear operators of ''V'' which have a bounded inverse, such that the map ''G''&times;''V'' → ''V'' given by (''g'',''v'') → Ψ(''g'')''v'' is continuous.

This definition can handle representations on '''infinite-dimensional''' Hilbert spaces. Such representations can be found in e.g. [[quantum mechanics]], but also in [[Fourier analysis]] as shown in the following example.

Let ''G''='''R''', and let the complex Hilbert space ''V'' be ''L''<sup>2</sup>('''R'''). We define the representation Ψ:'''R''' → B(''L''<sup>2</sup>('''R''')) by Ψ(''r''){''f''(''x'')} → ''f''(''r''<sup>-1</sup>''x'').

See also [[Wigner's classification]] for representations of the [[Poincaré group]].-->

== 分類 ==

G が[[半単純リー群|半単純]](semisimple)であれば、有限次元表現は[[既約表現]]の{{仮リンク|表現の直和|label=直和|en|direct sum of representations}}(direct sums)へ分解することができる。既約表現は、最高[[ウェイト (表現論)|ウェイト]](weight)をインデックスとする。許容的(allowable)（'''支配的'''(dominant)）最高ウェイトは、適当な正値性条件を満たす。特に、'''基本ウェイト'''(fundamental weights)の集合が存在し、G の[[ディンキン図形]](Dynkin diagram)の頂点をインデックスとし、支配的ウェイトが単純に基本ウェイトの非負は整数係数の線型結合となる。既約表現の[[指標 (数学)|指標]]は、{{仮リンク|ワイル指標公式|en|Weyl character formula}}(Weyl character formula)で与えられる。

G が可換[[リー群]]であれば、既約表現は単純に連続指標である。[[ポントリャーギン双対性]]を参照。

商表現は[[群環]]の[[商加群]]である。
<!--== Classification ==

If G is a  [[Semisimple Lie group|semisimple]] group, its finite-dimensional representations can be decomposed as [[direct sum of representations|direct sums]] of [[irreducible representation]]s.  The irreducibles are indexed by highest [[weight (representation theory)|weight]]; the allowable (''dominant'') highest weights satisfy a suitable positivity condition.  In particular, there exists a set of ''fundamental weights'', indexed by the vertices of the [[Dynkin diagram]] of G, such that dominant weights are simply non-negative integer linear combinations of the fundamental weights. The characters of the irreducible representations are given by the [[Weyl character formula]].

If G is a commutative [[Lie group]], then its irreducible representations are simply the continuous [[Character (mathematics)|character]]s of G: see [[Pontryagin duality]] for this case.

A quotient representation is a [[quotient module]] of the [[group ring]].-->

== 定型な例 ==

'''F'''<sub>q</sub> を位数 q で標数 p の有限体とする。G をリー型の有限群、つまり、G は '''F'''<sub>q</sub> 上に定義された連結簡約群 G の '''F'''<sub>q</sub>-有理点であるとする。たとえば、n を正の整数とすると、GL(n, '''F'''<sub>q</sub>) と SL(n, '''F'''<sub>q</sub>) はリー型の有限群である。<math>J = \left [ \begin{smallmatrix}0 & I_n \\ -I_n & 0\end{smallmatrix} \right ]</math> とする。ここに I<sub>n</sub> は n&times;n の単位行列とする。

: <math>Sp_2(\mathbb{F}_q) = \left \{ g \in GL_{2n}(\mathbb{F}_q) | ^tgJg = J \right \}</math>

とすると、Sp(2,'''F'''<sub>q</sub>) はランク n のシンププレクティック群であり、リー型の有限群である。G = GL(n, '''F'''<sub>q</sub>) や SL(n, '''F'''<sub>q</sub>) （他の例もある）とすると、G の'''{{仮リンク|標準ボレル部分群|en|standard Borel subgroup}}'''(standard Borel subgroup) B は、G の上三角元からなる G の部分群である。G の'''{{仮リンク|標準放物型部分群|en|standard parabolic subgroup}}'''(standard parabolic subgroup)は、標準ボレル部分群 B を含む G の部分群である。P が GL(n, '''F'''<sub>q</sub>) の標準放物型部分群 GL(n, '''F'''<sub>q</sub>) であれば、ｎ の分割 (n<sub>1</sub>, …, n<sub>r</sub>) が存在し（正の整数の集合 <math>n_j\,\!</math> で <math>n_1 + \ldots + n_r = n\,\!</math> を満たす) 、<math>P = P_{(n_1,\ldots,n_r)} = M \times N</math> となる。<math>M \simeq GL_{n_1}(\mathbb{F}_q) \times \ldots \times GL_{n_r}(\mathbb{F}_q)</math> は次の形となる。

: <math>M = \left \{\left.\begin{pmatrix}A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & A_r\end{pmatrix}\right|A_j \in GL_{n_j}(\mathbb{F}_q), 1 \le j \le r \right \},</math>

と

: <math>N=\left \{\begin{pmatrix}I_{n_1} & * & \cdots & * \\ 0 & I_{n_2} & \cdots & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & I_{n_r}\end{pmatrix}\right\},</math>

ここに、<math>*\,\!</math> は <math>\mathbb{F}_q</math> の任意の値の構成要素とする。
<!--== Formulaic examples ==

Let '''F'''<sub>''q''</sub> be a finite field of order ''q'' and characteristic ''p''. Let ''G'' be a finite group of Lie type, that is, ''G'' is the '''F'''<sub>''q''</sub>-rational points of a connected reductive group ''G'' defined over '''F'''<sub>''q''</sub>. For example, if ''n'' is a positive integer GL(''n'', '''F'''<sub>''q''</sub>) and SL(n, '''F'''<sub>''q''</sub>) are finite groups of Lie type. Let <math>J = \left [ \begin{smallmatrix}0 & I_n \\ -I_n & 0\end{smallmatrix} \right ]</math>, where ''I''<sub>n</sub> is the ''n''&times;''n'' identity matrix. Let

: <math>Sp_2(\mathbb{F}_q) = \left \{ g \in GL_{2n}(\mathbb{F}_q) | ^tgJg = J \right \}.</math>

Then Sp(2,'''F'''<sub>''q''</sub>) is a symplectic group of rank ''n'' and is a finite group of Lie type. For ''G'' = GL(''n'', '''F'''<sub>''q''</sub>) or SL(''n'', '''F'''<sub>''q''</sub>) (and some other examples), the ''[[standard Borel subgroup]]'' ''B'' of ''G'' is the subgroup of ''G'' consisting of the upper triangular elements in ''G''. A ''[[standard parabolic subgroup]]'' of ''G'' is a subgroup of ''G'' which contains the standard Borel subgroup ''B''. If ''P'' is a standard parabolic subgroup of GL(''n'', '''F'''<sub>''q''</sub>), then there exists a partition (''n''<sub>1</sub>, …, ''n''<sub>r</sub>) of ''n'' (a set of positive integers <math>n_j\,\!</math> such that <math>n_1 + \ldots + n_r = n\,\!</math>) such that <math>P = P_{(n_1,\ldots,n_r)} = M \times N</math>, where <math>M \simeq GL_{n_1}(\mathbb{F}_q) \times \ldots \times GL_{n_r}(\mathbb{F}_q)</math> has the form

: <math>M = \left \{\left.\begin{pmatrix}A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & A_r\end{pmatrix}\right|A_j \in GL_{n_j}(\mathbb{F}_q), 1 \le j \le r \right \},</math>

and

: <math>N=\left \{\begin{pmatrix}I_{n_1} & * & \cdots & * \\ 0 & I_{n_2} & \cdots & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & I_{n_r}\end{pmatrix}\right\},</math>

where <math>*\,\!</math> denotes arbitrary entries in <math>\mathbb{F}_q</math>.-->

==関連項目==
*{{仮リンク|ローレンツ群の表現論|en|Representation theory of the Lorentz group}}(Representation theory of the Lorentz group)
*{{仮リンク|ホップ代数の表現論|en|Representation theory of Hopf algebras}}(Representation theory of Hopf algebras)
*[[随伴表現|リー群の随伴表現]](Adjoint representation of a Lie group)
*{{仮リンク|リー群のトピックスの一覧表|en|List of Lie group topics}}(List of Lie group topics)
*{{仮リンク|量子力学の対称性|en|Symmetry in quantum mechanics}}(Symmetry in quantum mechanics)

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{Fulton-Harris}}
* {{Citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction |publisher=Springer|year=2003|isbn=0-387-40122-9}}.
* {{Citation|last=Knapp|first=Anthony W.|authorlink=Anthony Knapp|title=Lie Groups Beyond an Introduction|url=http://www.math.sunysb.edu/~aknapp/books/beyond2.html|edition= 2nd|series=Progress in Mathematics|volume=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|year= 2002}}.
* {{Citation|last=Rossmann|first= Wulf |title=Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups|series= Oxford Graduate Texts in Mathematics|publisher= Oxford University Press|isbn= 978-0-19-859683-7|year=2001}}. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:りいくんのひようけん}}
[[Category:リー群論|ひようけん]]
[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]