ルジャンドルの関係式のソースを表示

数学において、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]の関係式(Legendre relation)は第一種完全[[楕円積分]]と第二種完全楕円積分の間に成立する恒等式である。
:<math>K(k)E\left(\sqrt{1-k^2}\right)+E(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)-K(k)K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{\pi}{2}</math>

== 証明 ==
完全楕円積分の導関数
:<math>\begin{align}k\frac{d}{dk}E(k)
&=k\frac{d}{dk}\frac{\pi}{2}\left(1-\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{2n-1}}\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\left(-\frac{1}{2n-1}-1\right)k^{2n}\\
&=E(k)-K(k)
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}k\frac{d}{dk}K(k)
&=k\frac{d}{dk}\frac{\pi}{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\left(\frac{(2n)^2}{(2n-1)^2}(2n-2+1)-\frac{1}{2n-1}-1\right)k^{2n}}\\
&=k^2\left(k \frac{d}{dk}K(k)+K(k)\right)+E(k)-K(k)
\end{align}</math>
:<math>k(1-k^2)\frac{d}{dk}K(k)=E(k)-(1-k^2)K(k)</math>
から、微分方程式
:<math>\begin{align}\frac{d}{dk}\left(k(1-k^2)\frac{d}{dk}K(k)\right)
&=\frac{E(k)-K(k)}{k}-(1-k^2)\frac{E(k)-(1-k^2)K(k)}{k(1-k^2)}+2kK(k)\\
&=\frac{E(k)-K(k)-E(k)+(1-k^2)K(k)}{k}+2kK(k)\\
&=kK(k)\\
\end{align}</math>
が得られるが、ここで<math>k'=\sqrt{1-k^2}</math>とすれば
:<math>\begin{align}\frac{d}{dk}\left(k(1-k^2)\frac{d}{dk}K(k')\right)
&=\frac{dk'}{dk}\frac{d}{dk'}\left(k(1-k^2)\frac{dk'}{dk}\frac{d}{dk'}K(k')\right)\\
&=\frac{k}{\sqrt{1-k^2}}\frac{d}{dk'}\left(k^2\sqrt{1-k^2}\frac{d}{dk'}K(k')\right)\\
&=\frac{k}{k'}\frac{d}{dk}\left((1-k'^2)k'\frac{d}{dk'}K(k')\right)\\
\end{align}</math>
であるから<math>K'(k)=K(k')</math>も同じ微分方程式の解になる。<math>Y(k)=\sqrt{k(1-k^2)}K(k)</math>とすれば
:<math>\begin{align}\frac{d^2}{dk^2}Y(k)
&=\sqrt{k(1-k^2)}\frac{d^2}{dk^2}K(k)+\frac{(1-3k^2)}{\sqrt{k(1-k^2)}}\frac{d}{dk}K(k)+\frac{3k^4-6k^2-1}{4\sqrt{k(1-k^2)}\;k(1-k^2)}K(k)\\
&=\frac{1}{\sqrt{k(1-k^2)}}\left(k(1-k^2)\frac{d^2}{dk^2}K(k)+(1-3k^2)\frac{d}{dk}K(k)+\frac{3k^4-6k^2-1}{4k(1-k^2)}K(k)\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{k(1-k^2)}}\left(\frac{d}{dk}\left(k(1-k^2)\frac{d}{dk}K(k)\right)+\frac{3k^4-6k^2-1}{4k(1-k^2)}K(k)\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{k(1-k^2)}}\left(kK(k)+\frac{3k^4-6k^2-1}{4k(1-k^2)}K(k)\right)\\
&=-\frac{(1+k^2)^2}{4k^2(1-k^2)^2}Y(k)\\
\end{align}</math>
となり、<math>Y'(k)=\sqrt{k(1-k^2)}K'(k)</math>も同様である。故に
:<math>\frac{\frac{d^2}{dk^2}Y(k)}{Y(k)}=-\frac{(1+k^2)^2}{4k^2(1-k^2)^2}=\frac{\frac{d^2}{dk^2}Y'(k)}{Y'(k)}</math>
であるから
:<math>Y(k)\frac{d^2}{dk^2}Y'(k)-Y'(k)\frac{d^2}{dk^2}Y(k)=0</math>
:<math>\sqrt{k(1-k^2)}K(k)\frac{d^2}{dk^2}\left(\sqrt{k(1-k^2)}K'(k)\right)-\sqrt{k(1-k^2)}K'(k)\frac{d^2}{dk^2}\left(\sqrt{k(1-k^2)}K(k)\right)=0</math>
が成立する。積分して整理すると
:<math>k(1-k^2)\left(K(k)\frac{d}{dk}K'(k)-K'(k)\frac{d}{dk}K(k)\right)=C</math>
となり、これに
:<math>\frac{d}{dk}K(k)=\frac{E(k)-(1-k^2)K(k)}{k(1-k^2)}</math>
:<math>\frac{d}{dk}K'(k)=\frac{d}{dk}K\left(\sqrt{1-k^2}\right)=\frac{-k}{\sqrt{1-k^2}}\frac{E\left(\sqrt{1-k^2}\right)-k^2K\left(\sqrt{1-k^2}\right)}{\sqrt{1-k^2}\;k^2}=-\frac{E'(k)-k^2K'(k)}{k(1-k^2)}</math>
を代入すると
:<math>K(k)E'(k)+E(k)K'(k)-K(k)K'(k)=-C</math>
が得られる。不完全楕円積分の極限を用いて
:<math>\begin{align}-C&=K(k)E'(k)+E(k)K'(k)-K(k)K'(k)\\
&=\lim_{x\to1}F(x,0)E(x,1)+E(x,0)F(x,1)-F(x,0)F(x,1)\\
&=\lim_{x\to1}\sin^{-1}x\left(x+\tanh^{-1}x-\tanh^{-1}x\right)\\
&=\frac{\pi}{2}\\
\end{align}</math>
が得られる。

== 出典 ==
*[http://mathworld.wolfram.com/LegendreRelation.html Wolfram MathWorld: Legendre Relation]

{{analysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:るしやんとるのかんけいしき}}
[[Category:数式]]
[[Category:アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]
[[Category:数学に関する記事]]