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{{unsolved|数学上|{{Math|''n''{{sup|2}}}}と{{Math|(''n''+1){{sup|2}}}}の間には常に少なくとも1つの素数が存在するか}}'''ルジャンドル予想'''（{{Lang-en-short|Legendre's conjecture}}）とは、任意の[[自然数]] {{mvar|n}} について、{{math|''n''{{sup|2}}}} と {{math|(''n'' + 1){{sup|2}}}} の間には必ず[[素数]]が存在するという[[予想 (数学)|予想]]である。[[フランス]]の[[数学者]][[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]により提起された。2022年現在、[[数学上の未解決問題|未解決問題]]となっている。
{{Clear}}

== 概要 ==
ルジャンドル予想は[[素数の間隔]]に関連した予想の一つである。もし予想が正しいとすれば、素数 {{mvar|p}} と次に大きい素数までの間隔は、高々 {{math|{{sqrt|{{mvar|p}}}}}} の[[ランダウの記号|オーダー]]になる。[[スウェーデン]]の数学者[[ハラルド・クラメール]]は、素数の間隔がより小さく {{math|(log ''p''){{sup|2}}}} のオーダーになると予想した。これが正しいとすれば、十分大きな {{mvar|n}} に関してルジャンドル予想が成り立つことになる。

[[素数定理]]より、{{math|''n''{{sup|2}}}} と {{math|(''n'' + 1){{sup|2}}}} の間に含まれる素数の個数（{{OEIS|id=A014085}}）は、<math> \frac{n}{\ln n}</math> に漸近する。これは {{mvar|n}} が大きくなるに従い増加するから、ルジャンドル予想に信憑性を与えている。

== 進展 ==
[[1975年]]に[[陳景潤]]が、任意の[[自然数]] {{mvar|n}} に対し {{math|''n''{{sup|2}}}} と {{math|(''n'' + 1){{sup|2}}}} の間には必ず素数か[[半素数]]が存在することを示した<ref>http://mathworld.wolfram.com/LegendresConjecture.html</ref>。

また予想と類似の結果として、[[イギリス]]の数学者[[アルバート・イングハム]]は、{{mvar|n}} が十分大きければ {{math|''n''{{sup|3}}}} と {{math|(''n'' + 1){{sup|3}}}} の間には必ず素数が存在することを示している<ref>{{cite journal
|first = A. E.
|last = Ingham
|title = On the difference between consecutive primes
|journal = Quarterly Journal of Mathematics Oxford
|volume = 8
|year = 1937
|issue = 1
|pages = 255–266
|doi = 10.1093/qmath/os-8.1.255
}}</ref>。

他にも、十分大きな {{mvar|x}} について、区間 <math>[x,\,x+O(x^{\frac{21}{40}})]</math> は必ず素数を含むということが証明されている<ref name="baker">{{cite journal
|last = Baker
|first = R. C.
|first2 = G.
|last2 = Harman
|first3 = G.
|last3 = Pintz
|first4 = J.
|last4 = Pintz
|year = 2001
|title = The difference between consecutive primes, II
|journal = Proceedings of the London Mathematical Society
|volume = 83
|issue = 3
|pages = 532–562
|doi = 10.1112/plms/83.3.532
}}</ref>。ここで {{math|''O''(''x'')}} は[[ランダウの記号|ランダウのO-記法]]である。

[[計算]]により、{{math|4 × 10{{sup|18}}}} までの自然数に対し予想の正しさが確かめられている<ref>Jens Kruse Andersen, [http://primerecords.dk/primegaps/maximal.htm Maximal Prime Gaps]</ref>。もし {{math|4 × 10{{sup|18}}}} の付近に[[反例]]があるとすれば、通常の5000万倍近い大きさの素数ギャップが存在することになる。

== 関連項目 ==
*[[ベルトランの仮説]]
*[[リーマン予想]]
*[[アンドリカの予想]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}
{{素数に関する予想}}
{{numtheory-stub}}
{{DEFAULTSORT:るしやんとるよそう}}
[[Category:数論]]
[[Category:素数]]
[[Category:素数に関する予想]]
[[Category:アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]
[[Category:数学に関する記事]]