ルジャンドル定数のソースを表示

[[File:Legendre's constant.svg|thumb|right|250px|n=100,000までの数列''a<sub>n</sub>'' =&nbsp;ln(''n'')&nbsp;&minus;&nbsp;''n''/''&pi;''(''n'')（赤線）。約1.08366（青線）に収束するように見える。]]
[[File:Legendre's constant 10 000 000.svg|thumb|right|250px|n=10,000,000までの同じ数列 ''a<sub>n</sub>'' =&nbsp;ln(''n'')&nbsp;&minus;&nbsp;''n''/''&pi;''(''n'')（赤線）。1.08366（青線）より小さいように見える。]]
'''ルジャンドル定数'''（ルジャンドルていすう、{{lang-en|Legendre's constant}}）は、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]により[[素数計数関数]]<math>\pi(x)</math>の漸近的振る舞いを捉えるために予想された式に含まれる[[数学定数]]である。現在、この値はぴったり[[1]]であることが分かっている。

ルジャンドルは、既知の[[素数]]に関して使用できた数値的証拠を研究し、<math>\pi(x)</math>が近似式を満たしていることを考えた。

ルジャンドルが1808年にした予想は 
:<math> \pi(x) = \frac{x}{\ln(x) - B(x)} </math>
ここで<math>\lim_{x \to \infty} B(x) = 1.08366 </math>....{{OEIS2C|A228211}}<ref name=P.Ribenboim>{{cite book|last=Ribenboim|first=Paulo|title=The Little Book of Bigger Primes|date=2004|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=0-387-20169-6|page=188}}</ref>
である。
もしくは同様にして

:<math>\lim_{n \to \infty } \left( \ln(n) - {n \over \pi(n)} \right)= B</math>

ここで''B''はルジャンドル定数である。ルジャンドルは''B''がおよそ1.08366であると推測したが、その正確な値にかかわらず''B''の存在は[[素数定理]]を暗に含む。

1849年に[[パフヌティ・チェビシェフ]]が''B''に極限が存在するとき、''B''は1に等しくなくてはならないことを証明した<ref>[[エトムント・ランダウ|Edmund Landau]]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974</ref>。より簡単な証明がPintzにより1980年に与えられている<ref>J. Pintz. On Legendre's prime number formula. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 733-735.</ref>。

これは、誤差項の明示的推定を伴う正確な形式の下での、[[素数定理]]の直接的な帰結である。

:<math> \pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty</math>

（ある正の定数''a''の場合。ここで''O''(…) は[[ランダウの記号]]である）。これは1899年に[[:en:Charles Jean de la Vallée-Poussin|Charles de La Vallée Poussin]]によって''B''が実際に1に等しいことが証明された<ref>La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1-74, 1899</ref>。（素数定理は1896年に[[ジャック・アダマール]]<ref>''Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta(s)</math> et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp.&nbsp;199–220 [http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=BSMF_1896__24__199_1 Online] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120717195014/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=BSMF_1896__24__199_1 |date=2012-07-17 }}</ref>とLa Vallée Poussin<ref>« Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, p. 183-256 et 281-361</ref>により独立に証明されたが、関連する誤差項の推定はなかった。）

このように単純な数値と評価されることで、ルジャンドル定数という用語はほぼ歴史的価値のある定数となった。（専門的には誤りであるが）しばしばルジャンドルが最初に推測した1.08366...という値が参照されることがある。

2010年に[[ピエール・デザルト]]は次の式を証明した。

:<math> \frac {x} {\ln x - 1} < \pi(x)</math> for <math>x \ge 5393</math>および

:<math> \pi(x) <  \frac {x} {\ln x - 1.1}</math> for <math>x \ge 60184</math>.<ref>{{cite arxiv |eprint=1002.0442|last1=Dusart|first1=Pierre|title=Estimates of Some Functions over Primes without R.H|class=math.NT|year=2010}}</ref>

これは次の形式と同じである。

:<math> \pi(x) = \frac{x}{\ln(x) - B(x)} </math> with <math>1 < B(x) < 1.1</math>.

==出典==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
{{reflist}}

==外部リンク==
*{{mathworld|urlname=LegendresConstant|title=Legendre's constant}}

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