ルジャンドル記号のソースを表示

[[数論]]において、'''ルジャンドル記号'''（るじゃんどるきごう、{{lang-en-short|Legendre symbol}}）は数 {{mvar|a}} が[[奇素数]]（すなわち 3 以上の[[素数]]）{{mvar|p}} を法とするゼロでない[[平方剰余]]かを分類する[[乗法的関数]]である。ルジャンドル記号の値はそれぞれ、{{mvar|p}} を法として {{mvar|a}} がゼロでない[[平方剰余]]なら 1、非平方剰余なら &minus;1、ゼロなら 0 となる。
名称はこの[[関数 (数学)|関数]]を導入した数学者、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]に因む。

ルジャンドル記号は、1798年<ref>{{cite book|first=A. M.|last=Legendre|title=Essai sur la théorie des nombres|url=https://archive.org/details/essaisurlathor00lege|location=Paris|date=1798|page=[https://archive.org/details/essaisurlathor00lege/page/186 186]}}</ref>に[[平方剰余の相互法則|平方剰余の法則]]を証明しようとしたアドリアン＝マリ・ルジャンドルにより導入された。この記号の一般化には高次の[[ヤコビ記号]]や[[ディリクレ指標]]が含まれる。ルジャンドル記号の表記上の便利さは、{{仮リンク|ヒルベルト記号|en|Hilbert symbol}}や[[アルティン相互法則|アルティン記号]]などの[[代数的整数論]]で使用される他のいくつかの「記号」の導入に影響を与えた。

{| class="wikitable floatright"
|+ いくつかの {{mvar|a}} と {{mvar|p}} のときのルジャンドル記号 ({{math|{{sfrac|''a''|''p''}}}})
! !! {{math|1=''a''=0}} !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10
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! {{math|1=''p''=3}}
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{{mvar|p}} を法として合同ならルジャンドル記号の値は等しくなるため、{{math|1=0 ≤ ''a'' < ''p''}} の場合の値のみ示す。表では {{mvar|a}} が[[平方剰余]]となる（ルジャンドル記号の値が 0 または 1）部分を黄色で強調している。
|}









== 定義 ==
<math>p</math> を奇数の[[素数]]とする。整数 <math>a</math> が <math>p</math> を法とする完全平方と[[合同算術|合同]]である場合は、<math>a</math> は <math>p</math> を法とする[[平方剰余]]であり、そうでない場合は <math>p</math> を法とする平方非剰余である。'''ルジャンドル記号'''は次のように定義される <math>a</math> と <math>p</math> の関数である。

:<math>\left(\frac{a}{p}\right) = 
\begin{cases}
 1 & \text{if } a \text{ is a quadratic residue modulo } p \text{ and } a \not\equiv 0\pmod p, \\
-1 & \text{if } a \text{ is a non-quadratic residue modulo } p, \\
 0 & \text{if } a \equiv 0 \pmod p.
\end{cases}</math>

ルジャンドルによる最初の定義は、次のように式を明示したものだった。

:<math> \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p \quad \text{ and } \quad\left(\frac{a}{p}\right) \in \{-1,0,1\}. </math>

先に発見されルジャンドルにも知られていた[[オイラーの規準]]によると、これら2つの定義は同等である<ref>Hardy & Wright, Thm. 83.</ref>。よって、ルジャンルドルが貢献したのは、mod pでのaの平方剰余性を記録する便利な表記法を導入したことにあった。比較の目的で、[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]はaがpを法とする剰余であるか非剰余であるかに応じて、''a''R''p''と''a''N''p''という表記を使用した。印刷の都合上、ルジャンドル記号は(''a''&nbsp;|&nbsp;''p'') または (''a''/''p'') と表記されることがある。''a'' が0, 1, 2,...であるときの数列 (''a''&nbsp;|&nbsp;''p'') は周期pで周期的であり、'''ルジャンドル数列'''と呼ばれることがある。{0,1,−1}という値は{1,0,1}または{0,1,0}であることがある<ref name=KimSong01>{{cite journal|first1=Jeong-Heon|last1=Kim|first2=Hong-Yeop|last2=Song|title=Trace Representation of Legendre Sequences|journal=Designs, Codes, and Cryptography|volume=24|pages=343–348|date=2001}}</ref>。次の表の各行は、説明したように周期性を示していることが分かる。

==値の表==
ルジャンドル記号 <math>\left(\frac{a}{p}\right)</math> の表 (''p''&nbsp;≤&nbsp;127, ''a''&nbsp;≤&nbsp;30, ''p'' は奇素数)

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== ルジャンドル記号の性質 ==
ルジャンドル記号には[[平方剰余]]の法則とともに効率的に計算するために使うことのできる便利な性質がいくつかある。

* <math>p \equiv 3 (\text{mod }  4)</math> の場合、
*:<math> \frac{p+1}{4} + \frac{p+1}{4} = \frac{(p-1)+2}{2}</math> という事実は<math>a = x^{(p+1)/4}</math> が平方剰余 <math>x</math> の平方根であることを提供する。
* ''a'' ≡ ''b'' (mod ''p'')の場合、ルジャンドル記号は1番目の（上の）引数において周期的である。
*:<math> \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right).</math>
* ルジャンドル記号は、上の引数の完全乗法的関数([[:en:completely multiplicative function]])である。
*:<math>\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right).</math> 
* 特に、pを法とし共に平方剰余である、またはともに平方非剰余である2つの数の積は剰余であるが、剰余と非剰余の積は非剰余である。特別なケースは平方数のルジャンドル記号である。
*:<math>\left(\frac{x^2}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \mbox{if }p\nmid x\\ 0 & \mbox{if }p\mid x. \end{cases}</math>
* ''a'' の関数としてみた時、ルジャンドル記号 <math>\left(\frac{a}{p}\right) </math> はpを法とする一意の2次[[ディリクレ指標]]となる。
* 平方剰余の法則の第1補足
*:<math>\left(\frac{-1}{p}\right)  = (-1)^{\frac{p-1}{2}} =
  \begin{cases}
     1 & \mbox{ if }p \equiv 1\pmod{4} \\
    -1 & \mbox{ if }p \equiv 3\pmod{4}.  
  \end{cases}</math>
* 平方剰余の法則の第2補足
*:<math> \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^\tfrac{p^2-1}{8} =
  \begin{cases}
     1 & \mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\
    -1 & \mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8}.
  \end{cases}</math>
* a が小さい場合のルジャンドル記号 <math>\left(\frac{a}{p}\right) </math> の特別式
** ''p''&nbsp;≠&nbsp;3である奇素数
**:<math> \left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\big\lfloor \frac{p+1}{6}\big\rfloor} =
  \begin{cases}
     1 & \mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\
    -1 & \mbox{ if }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12}.
  \end{cases}</math>
** ''p''&nbsp;≠&nbsp;5である奇素数
**:<math> \left(\frac{5}{p}\right) =(-1)^{\big\lfloor \frac{2p+2}{5}\big \rfloor} =
  \begin{cases}
     1 & \mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\
    -1 & \mbox{ if }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5.
  \end{cases}</math>
* [[フィボナッチ数]] 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … は漸化式{{nowrap|''F''<sub>1</sub> {{=}} ''F''<sub>2</sub> {{=}} 1,}} {{nowrap|''F''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''F<sub>n</sub>'' + ''F''<sub>''n''−1</sub>.}} により定義される。''p'' が素数の場合
*:<math> F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod p, \qquad F_{p} \equiv \left(\frac{p}{5}\right) \pmod p. </math> 
:例えば
::<math>\begin{align}
    \left(\tfrac{2}{5}\right)  &= -1, &    F_3 &= 2,  &    F_2 &= 1,  \\ 
    \left(\tfrac{3}{5}\right)  &= -1, &    F_4 &= 3,  &    F_3 &= 2,  \\ 
    \left(\tfrac{5}{5}\right)  &=  0, &    F_5 &= 5,  &        &      \\ 
    \left(\tfrac{7}{5}\right)  &= -1, &    F_8 &= 21, &    F_7 &= 13, \\ 
    \left(\tfrac{11}{5}\right) &=  1, & F_{10} &= 55, & F_{11} &= 89.
  \end{align}</math> 
*この結果は、[[素数判定]]で使用される[[リュカ数列]]の理論に基づいている<ref>Ribenboim, p. 64; Lemmermeyer, ex. 2.25–2.28, pp. 73–74.</ref>。[[:en:Wall–Sun–Sun prime]]参照。

== ルジャンドル記号と平方剰余 ==
''p'' と ''q'' を別々の奇素数とする。ルジャンドル記号を使用すると、[[平方剰余]]の法則を次のように簡潔に表すことができる。

: <math>\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\tfrac{p-1}{2}\cdot\tfrac{q-1}{2}}.</math>

多くの平方剰余の証明([[:en:proofs of quadratic reciprocity]])はルジャンドルの式に基づく。

:<math>\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\tfrac{p-1}{2}} \pmod p.</math>

さらに、平方剰余の法則の様々な証明を作るために、ルジャンドル記号の代わりとなる表現がいくつか考案された。

* ガウスは[[:en:quadratic Gauss sum]]を導入し、自身の4番目<ref>Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art" (1811), reprinted in ''Untersuchungen ...'' pp. 463–495</ref>および6番目<ref>Gauss, "Neue Beweise und Erweiterungen des Fundamentalsatzes in der Lehre von den quadratischen Resten" (1818) reprinted in ''Untersuchungen ...'' pp. 501–505</ref>の平方剰余の証明に下式を用いた。

::<math>\sum_{k=0}^{p-1}\zeta^{ak^2}=\left(\frac{a}{p}\right)\sum_{k=0}^{p-1}\zeta^{k^2},\qquad \zeta = e^{\frac{2\pi i}{p}}</math>

* [[レオポルト・クロネッカー|クロネッカ－]]の証明は<ref>Lemmermeyer, ex. p. 31, 1.34</ref>初めに下式を立て、''p'' と ''q'' の役割を反対にすることで({{sfrac|''p''|''q''}}) と ({{sfrac|''q''|''p''}}) の関係を得た。

::<math>\left(\frac{p}{q}\right) =\sgn\left(\prod_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{k}{p}-\frac{i}{q}\right)\right).</math>

* [[フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン|アイゼンシュタイン]]の証明<ref>Lemmermeyer, pp. 236 ff.</ref>は次を示すことから始まる。

::<math>\left(\frac{q}{p}\right) =\prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{\sin\left(\frac{2\pi qn}{p}\right)}{\sin\left(\frac{2\pi n}{p}\right)}.</math>

: [[正弦関数]]ではなく特定の[[楕円関数]]を使用することで、エイゼンシュタインは3次および4次の相互作用も証明することができた。

== 関連する関数 ==
* [[ヤコビ記号]] ({{sfrac|''a''|''n''}}) はルジャンドル記号の一般化であり、合成数で2番目（下）の引数nの場合も可能であるが、nは奇数かつ正でなければならない。この一般化は途中で因数分解をせずにすべてのルジャンドル記号を計算する効率的な方法を提供する。
* さらに拡大したものはクロネッカー記号([[:en:Kronecker symbol]])であり、下の引数は任意の整数である。
* 冪剰余記号([[:en:power residue symbol]]) ({{sfrac|''a''|''n''}}){{sub|''n''}} はルジャンドル記号をより高い冪 ''n'' に一般化する。ルジャンドル記号はn = 2の場合の冪剰余記号を表す。

== 計算例 ==
平方剰余の法則を含む上記の性質をルジャンドル記号を評価するために使用できる。例えば

:<math>\begin{align}
\left ( \frac{12345}{331}\right )&=\left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{823}{331}\right ) \\
&= \left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{161}{331}\right ) \\
&= \left ( \frac{3}{331}\right ) \left ( \frac{5}{331}\right ) \left ( \frac{7}{331}\right ) \left ( \frac{23}{331}\right ) \\
&= (-1)\left (\frac{331}{3}\right) \left(\frac{331}{5}\right) (-1) \left(\frac{331}{7}\right) (-1)\left (\frac{331}{23}\right ) \\
&= -\left ( \frac{1}{3}\right ) \left ( \frac{1}{5}\right ) \left ( \frac{2}{7}\right ) \left ( \frac{9}{23}\right )\\
&= -\left ( \frac{1}{3}\right ) \left ( \frac{1}{5}\right ) \left ( \frac{2}{7}\right ) \left ( \frac{3^2}{23}\right )\\
&= -(1) (1) (1) (1) \\
&= -1.
\end{align}</math>

またはより効率的な計算では
:<math>\left ( \frac{12345}{331}\right )=\left ( \frac{98}{331}\right )=\left ( \frac{2 \cdot 7^2}{331}\right )=\left ( \frac{2}{331}\right )=(-1)^\tfrac{331^2-1}{8}=-1.</math>
ヤコビ記号の記事([[:en:Jacobi symbol#Calculations using the Legendre symbol]])にはルジャンドル記号の操作の例がさらにある。

==出典==

{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==

*{{citation
  | last1 = Gauss  | first1 = Carl Friedrich
  | last2 = Maser | first2 = H. (translator into German)  
  | title = Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition)
  | publisher = Chelsea
  | location = New York
  | year = 1965
  | isbn = 0-8284-0191-8}}
*{{citation
  | last1 = Gauss  | first1 = Carl Friedrich
  | last2 = Clarke | first2 = Arthur A. (translator into English)  
  | title = Disquisitiones Arithmeticae (Second, corrected edition)
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = New York
  | year = 1986
  | isbn = 0-387-96254-9}}
*{{citation
  | last1 = Bach  | first1 = Eric
  | last2 = Shallit | first2 = Jeffrey 
  | title = Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms)
  | publisher = [[The MIT Press]]
  | location = Cambridge
  | year = 1996
  | isbn = 0-262-02405-5}}
*{{citation |last1       = Hardy
 |first1      = G. H.
 |authorlink1 = G. H. Hardy
 |last2       = Wright
 |first2      = E. M.
 |title       = An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition)
 |publisher   = [[Oxford University Press]]
 |location    = Oxford
 |year        = 1980
 |isbn        = 978-0-19-853171-5
 |url-access  = registration
 |url         = https://archive.org/details/introductiontoth00hard
}}
*{{citation
  | last1 = Ireland  | first1 = Kenneth
  | last2 = Rosen  | first2 = Michael
  | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = New York
  | year = 1990
  | isbn = 0-387-97329-X}}
*{{citation
  | last1 = Lemmermeyer  | first1 = Franz
  | title = Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = Berlin
  | year = 2000
  | isbn = 3-540-66957-4}}
*{{citation
  | last1 = Ribenboim  | first1 = Paulo
  | title = The New Book of Prime Number Records
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = New York
  | year = 1996
  | isbn = 0-387-94457-5}}

== 外部リンク ==
*[http://math.fau.edu/richman/jacobi.htm Jacobi symbol calculator]
*{{高校数学の美しい物語|843|ルジャンドル記号とオイラーの規準}}

{{DEFAULTSORT:るしやんとるきこう}}
[[Category:合同算術]]
[[Category:平方剰余]]
[[Category:アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]